Analyse d’un Filtre Passe-Bas RL
Contexte : Le filtrage électroniqueProcédé qui consiste à supprimer ou atténuer certaines fréquences d'un signal électrique tout en laissant passer les autres..
Les filtres sont des composants essentiels dans la quasi-totalité des circuits électroniques, que ce soit en audio, en télécommunications ou en alimentation. Ils permettent de sélectionner les fréquences utiles d'un signal et de rejeter les fréquences indésirables (le bruit). Cet exercice se concentre sur le filtre passe-bas du premier ordre le plus simple, constitué d'une résistance (R) et d'une inductanceComposant électronique qui s'oppose aux variations du courant électrique. Son unité est le Henry (H). (L). Nous allons analyser son comportement en fréquence.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer les caractéristiques clés d'un filtre RL : sa fréquence de coupure, sa fonction de transfert, et son gain à une fréquence donnée. C'est une compétence fondamentale pour tout électronicien.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la fréquence de coupure d'un filtre RL.
- Établir et comprendre la fonction de transfert du filtre.
- Analyser le comportement du filtre et calculer son gain en décibels.
- Visualiser la réponse en fréquence d'un filtre (diagramme de Bode).
Données de l'étude
Schéma du filtre passe-bas RL
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 100 | Ohm (Ω) |
| Inductance | L | 10 | milliHenry (mH) |
Questions à traiter
- Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) du filtre.
- Déterminer l'expression de la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = V_s / V_e\).
- Calculer le gain en décibels (dB) du filtre à la fréquence de coupure \(f_c\).
- Calculer le déphasage \(\phi\) (en degrés) introduit par le filtre à la fréquence de coupure \(f_c\).
- Déterminer la fréquence \(f_{20}\) pour laquelle le gain du filtre est de -20 dB.
Les bases sur les Filtres RL
Un filtre passe-bas RL utilise la propriété d'une inductance à s'opposer aux variations rapides du courant. À basse fréquence, l'inductance se comporte presque comme un court-circuit, laissant passer le signal vers la sortie (la résistance). À haute fréquence, son impédance augmente, bloquant le signal et l'atténuant en sortie.
1. Impédance Complexe
L'impédance d'une résistance est \(Z_R = R\). Celle d'une inductance est \(Z_L = jL\omega\), où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation.
2. Fréquence de coupure \(f_c\)
C'est la fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est divisée par deux par rapport à celle du signal d'entrée. Pour un filtre du premier ordre, cela correspond à une atténuation de -3 dB. Elle est atteinte lorsque la partie réelle et la partie imaginaire de l'impédance du dénominateur de la fonction de transfert sont égales.
Correction : Analyse d’un Filtre Passe-Bas RL
Question 1 : Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) du filtre.
Principe
La fréquence de coupure est le point de bascule du filtre : en dessous, les fréquences passent ; au-dessus, elles sont atténuées. Pour un circuit RL, cette fréquence est définie par le moment où l'impédance de l'inductance (\(L\omega\)) devient égale à la résistance (R).
Mini-Cours
La pulsation (ou vitesse angulaire) \(\omega\), en radians par seconde, est liée à la fréquence \(f\), en Hertz, par la relation \(\omega = 2\pi f\). En électronique, on utilise souvent \(\omega\) pour simplifier les calculs avec les nombres complexes, mais le résultat final est généralement exprimé en Hertz, une unité plus intuitive.
Remarque Pédagogique
L'approche la plus simple est de d'abord calculer la pulsation de coupure \(\omega_c = R/L\), puis de la convertir en fréquence \(f_c = \omega_c / 2\pi\). Cela évite de se tromper avec les facteurs \(2\pi\) dans les calculs intermédiaires.
Normes
Les calculs en électronique suivent les conventions du Système International d'unités (SI). Il est impératif de convertir toutes les valeurs dans leurs unités de base (Ohms pour R, Henrys pour L) avant d'effectuer l'application numérique pour garantir un résultat correct en Hertz.
Formule(s)
Pulsation de coupure \(\omega_c\)
Fréquence de coupure \(f_c\)
Hypothèses
Pour ce calcul, nous considérons que les composants sont parfaits : la résistance est purement résistive (sans effet inductif ou capacitif parasite) et l'inductance est purement inductive (sans résistance interne).
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de l'énoncé, en veillant à la conversion des unités.
- \(\text{Résistance, } R = 100 \text{ } \Omega\)
- \(\text{Inductance, } L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}\)
Astuces
Une astuce pour estimer rapidement : la valeur de \(2\pi\) est environ 6.28. Le calcul devient donc \(f_c \approx R / (6.28 \times L)\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Identification des composants
Calcul(s)
On applique directement la formule avec les données converties.
Schéma (Après les calculs)
Position de la fréquence de coupure
Réflexions
Une fréquence de coupure d'environ 1.6 kHz signifie que ce filtre laissera passer la plupart des fréquences audibles graves et médiums (voix humaine, musique) mais commencera à fortement atténuer les aigus. Il pourrait être utilisé, par exemple, pour adoucir le son d'un haut-parleur d'aigus (tweeter).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des millihenrys (mH) en Henrys (H). Toujours travailler avec les unités de base du Système International (mètres, kilogrammes, secondes, Ampères, etc.) pour éviter les erreurs de facteur 1000.
Points à retenir
La fréquence de coupure d'un filtre RL est directement proportionnelle à la résistance et inversement proportionnelle à l'inductance. Pour baisser la fréquence de coupure (filtrer plus d'aigus), on peut soit augmenter L, soit diminuer R.
Le saviez-vous ?
Le concept de "fréquence" comme mesure de l'oscillation par seconde a été standardisé en l'honneur du physicien allemand Heinrich Hertz, qui a été le premier à prouver de manière concluante l'existence des ondes électromagnétiques en 1887.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on remplace l'inductance par une bobine de 20 mH, quelle sera la nouvelle fréquence de coupure ?
Question 2 : Déterminer la fonction de transfert \(H(j\omega)\).
Principe
La fonction de transfert est le rapport entre la tension de sortie et la tension d'entrée en fonction de la fréquence. On l'obtient en utilisant un pont diviseur de tensionFormule permettant de calculer la tension aux bornes d'un composant dans un circuit série en fonction de son impédance et de l'impédance totale. avec les impédances complexes des composants.
Mini-Cours
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est un nombre complexe. Son module \(|H(j\omega)|\) représente le rapport des amplitudes (le gain) entre la sortie et l'entrée, tandis que son argument (ou phase) \(\arg(H(j\omega))\) représente le déphasage introduit par le filtre à la pulsation \(\omega\).
Remarque Pédagogique
Il est crucial de toujours chercher à mettre la fonction de transfert sous sa "forme canonique". Pour un filtre passe-bas du premier ordre, c'est la forme \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\omega/\omega_c)}\). Cette forme standardisée permet de voir immédiatement la pulsation de coupure et de comparer facilement différents filtres.
Normes
La représentation des fonctions de transfert suit des conventions mathématiques précises, notamment l'utilisation de l'opérateur \(j\) (ou \(i\) en mathématiques pures) pour représenter la partie imaginaire, où \(j^2 = -1\).
Formule(s)
Pont diviseur de tension
Fonction de transfert
Hypothèses
Ce calcul repose sur l'analyse des circuits en régime sinusoïdal établi, où les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence, et où les lois de l'électricité (loi d'Ohm, lois de Kirchhoff) s'appliquent aux impédances complexes.
Donnée(s)
Les seules données nécessaires sont les expressions des impédances complexes.
- \(\text{Impédance de la résistance : } Z_R = R\)
- \(\text{Impédance de l'inductance : } Z_L = jL\omega\)
Astuces
Pour passer de la forme brute à la forme canonique, l'astuce est toujours la même : factoriser le dénominateur par son terme constant (ici, R) pour faire apparaître un "1".
Schéma (Avant les calculs)
Circuit pour le pont diviseur
Calcul(s)
On remplace les impédances par leurs expressions complexes et on met le résultat sous forme canonique.
Schéma (Après les calculs)
Système "Boîte Noire"
Réflexions
Cette forme canonique est très utile. Elle montre que lorsque \(\omega \to 0\) (basse fréquence), \(H(j\omega) \to 1\), le signal passe. Lorsque \(\omega \to \infty\) (haute fréquence), \(|H(j\omega)| \to 0\), le signal est bloqué. C'est bien le comportement d'un filtre passe-bas.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre \(\omega\) (la variable, la pulsation du signal d'entrée) et \(\omega_c\) (une constante, la pulsation de coupure propre au circuit). La première varie, la seconde est fixe pour un circuit donné.
Points à retenir
La fonction de transfert est l'identité d'un filtre. La forme canonique \(1/(1+j(\omega/\omega_c))\) est la signature d'un filtre passe-bas du premier ordre. La maîtriser, c'est pouvoir analyser une grande partie des filtres simples.
Le saviez-vous ?
L'utilisation des nombres complexes et des fonctions de transfert en électronique a été largement popularisée par l'ingénieur Charles Proteus Steinmetz à la fin du 19ème siècle, révolutionnant l'analyse des circuits en courant alternatif qui était jusqu'alors extrêmement laborieuse.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la fonction de transfert si la tension de sortie \(V_s\) était prise aux bornes de l'inductance (filtre passe-haut) ?
Question 3 : Calculer le gain en décibels (dB) à \(f_c\).
Principe
Le gain en décibels (dB) est une manière logarithmique d'exprimer le rapport d'amplitude. Il est défini par \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\). Nous devons d'abord calculer le module de la fonction de transfert à \(\omega = \omega_c\).
Mini-Cours
L'échelle en décibels est pratique car elle transforme les multiplications de gains en additions, et permet de représenter de grandes variations d'amplitude sur un graphique lisible (diagramme de Bode). Un gain de 0 dB signifie que l'amplitude du signal de sortie est égale à celle de l'entrée. Un gain négatif signifie une atténuation.
Remarque Pédagogique
Mémorisez ce résultat : à sa fréquence de coupure, TOUT filtre du premier ordre (passe-bas ou passe-haut, RC ou RL) a une atténuation de -3 dB. C'est la définition même de la fréquence de coupure. Vous ne devriez même plus avoir besoin de le calculer.
Normes
La définition du gain en décibels comme \(20 \log_{10}(\text{rapport de tensions})\) est une norme universelle en électronique et en traitement du signal. Si l'on travaillait avec des puissances, la formule serait \(10 \log_{10}(\text{rapport de puissances})\).
Formule(s)
Module d'un nombre complexe
Gain en décibels
Hypothèses
Le calcul suppose l'utilisation d'un logarithme en base 10, comme c'est la convention pour les décibels.
Donnée(s)
On part du résultat de la question 2, évalué à la pulsation de coupure \(\omega = \omega_c\).
- \(\text{Fonction de transfert à } \omega_c\text{ : } H(j\omega_c) = \frac{1}{1 + j}\)
Astuces
Retenez les valeurs approchées : \(\log_{10}(2) \approx 0.3\). Le calcul de \(20 \log_{10}(1/\sqrt{2})\) devient \(-10 \log_{10}(2)\), soit environ \(-10 \times 0.3 = -3\) dB. C'est un calcul mental très rapide et suffisant dans la plupart des cas.
Schéma (Avant les calculs)
Repérage du point -3dB sur le diagramme de Bode
Calcul(s)
Étape 1 : Calculer le module de H à \(\omega_c\)
Étape 2 : Calcul du gain en dB
Schéma (Après les calculs)
Point calculé sur le diagramme de Bode
Réflexions
Un gain de -3 dB signifie que l'amplitude de la tension de sortie est \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\) fois l'amplitude de la tension d'entrée. Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P=V^2/R\)), la puissance de sortie est \((1/\sqrt{2})^2 = 1/2\) fois la puissance d'entrée. La fréquence de coupure est donc aussi appelée "fréquence de demi-puissance".
Points de vigilance
Ne pas oublier que le logarithme d'un nombre entre 0 et 1 est toujours négatif. Un gain en amplitude inférieur à 1 (une atténuation) se traduira donc toujours par un gain en décibels négatif.
Points à retenir
Par définition, la fréquence de coupure d'un filtre du premier ordre est la fréquence pour laquelle le gain est de -3 dB. C'est une valeur universelle pour ce type de filtre, quel que soit le type (RL, RC) ou les valeurs des composants.
Le saviez-vous ?
L'unité "Bel" (d'où déci-Bel) a été nommée en l'honneur d'Alexander Graham Bell, l'inventeur du téléphone. Aux Bell Labs, les ingénieurs avaient besoin d'une unité pratique pour quantifier la perte de signal sur les longues lignes téléphoniques, et l'échelle logarithmique était parfaite pour cela.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le gain du filtre (en dB) à une fréquence 10 fois supérieure à la fréquence de coupure (\(f = 10f_c\)) ?
Question 4 : Calculer le déphasage \(\phi\) à \(f_c\).
Principe
Un filtre ne modifie pas seulement l'amplitude d'un signal, mais aussi sa phase, c'est-à-dire qu'il introduit un retard (ou une avance) temporel. Le déphasage \(\phi\) quantifie ce retard en degrés ou en radians. Nous allons le calculer au point critique qu'est la fréquence de coupure.
Mini-Cours
La phase d'une fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\) est donnée par son argument, noté \(\arg(H(j\omega))\). Pour un nombre complexe de la forme \(z = a+jb\), l'argument est \(\arctan(b/a)\). Pour une fraction de nombres complexes \(z_1/z_2\), l'argument est \(\arg(z_1) - \arg(z_2)\).
Remarque Pédagogique
Comme pour le gain, le déphasage à la fréquence de coupure est une valeur caractéristique pour un filtre du premier ordre. Le retenir vous fera gagner du temps et vous permettra de vérifier rapidement la cohérence de vos calculs.
Normes
Le déphasage est généralement exprimé en degrés, car c'est plus intuitif, mais les calculs intermédiaires utilisant la fonction arctangente donnent souvent un résultat en radians. Il faut penser à faire la conversion : \(180^\circ = \pi \text{ radians}\).
Formule(s)
Argument de la fonction de transfert
Hypothèses
Nous continuons de travailler avec le modèle du filtre idéal, où les composants n'introduisent pas de déphasages parasites.
Donnée(s)
Nous évaluons la formule du déphasage à la fréquence de coupure, où \(\omega = \omega_c\).
Astuces
Rappelez-vous du cercle trigonométrique : \(\arctan(1)\) correspond à l'angle pour lequel le sinus et le cosinus sont égaux, soit \(45^\circ\) ou \(\pi/4\) radians. C'est une valeur à connaître par cœur.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de phase de Bode
Calcul(s)
On applique la formule à la fréquence de coupure.
Schéma (Après les calculs)
Point calculé sur le diagramme de phase
Réflexions
Un déphasage de -45° signifie que le signal de sortie est en retard d'un huitième de période par rapport au signal d'entrée (\(45^\circ / 360^\circ = 1/8\)). Ce retard devient de plus en plus important à mesure que la fréquence augmente, tendant vers -90° (un quart de période) à très haute fréquence.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" si vous voulez un résultat en degrés. Une erreur fréquente est de faire le calcul en radians et d'oublier la conversion.
Points à retenir
Le déphasage à la fréquence de coupure pour un filtre passe-bas (ou passe-haut) du premier ordre est toujours de \(\pm 45^\circ\). C'est une caractéristique fondamentale de ces circuits.
Le saviez-vous ?
Dans les systèmes audio, le déphasage peut affecter la perception stéréo et la clarté du son. C'est pourquoi les ingénieurs conçoivent des filtres complexes (dits "à phase linéaire") pour les enceintes haut de gamme, afin de minimiser le déphasage dans la bande de fréquences audibles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel est le déphasage (en degrés) à une fréquence très basse (\(f \to 0\)) ?
Question 5 : Déterminer la fréquence \(f_{20}\) pour laquelle le gain est de -20 dB.
Principe
Cette question inverse le problème : au lieu de calculer le gain à une fréquence donnée, nous devons trouver la fréquence qui correspond à un gain spécifique. Un gain de -20 dB correspond à une division de l'amplitude de la tension par 10.
Mini-Cours
La réponse en fréquence d'un filtre du premier ordre possède une asymptote à haute fréquence. Cette asymptote a une pente de -20 dB par décade. Une décade est un facteur 10 en fréquence. Cela signifie que si l'on est suffisamment loin de la fréquence de coupure, chaque fois que la fréquence est multipliée par 10, le gain diminue de 20 dB.
Remarque Pédagogique
Plutôt que de résoudre l'équation complète, on peut utiliser l'approximation asymptotique. On sait que le gain est de 0 dB à basse fréquence et qu'il commence à chuter autour de \(f_c\). Une atténuation de -20 dB sera donc atteinte à une fréquence d'environ \(10 \times f_c\).
Normes
L'analyse asymptotique (diagramme de Bode simplifié) est une technique d'ingénierie standard pour analyser rapidement le comportement des filtres. Elle consiste à approximer la courbe de réponse par des segments de droite.
Formule(s)
Équation du gain à résoudre
Module de la fonction de transfert
Hypothèses
Pour simplifier la résolution, nous allons utiliser l'approximation des hautes fréquences, où \(\omega \gg \omega_c\). Dans ce cas, \(1 + (\omega/\omega_c)^2 \approx (\omega/\omega_c)^2\), donc \(|H(j\omega)| \approx \omega_c/\omega\).
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats précédents.
- \(\text{Gain cible : } G_{\text{dB}} = -20 \text{ dB}\)
- \(\text{Fréquence de coupure : } f_c \approx 1591.55 \text{ Hz}\)
Astuces
L'équation \(10^x = y\) est équivalente à \(x = \log_{10}(y)\). Pour résoudre notre problème, nous allons utiliser la réciproque : si \(\log_{10}(y) = -1\), alors \(y = 10^{-1} = 0.1\).
Schéma (Avant les calculs)
Repérage du point -20dB sur l'asymptote
Calcul(s)
Résolution de l'équation
Schéma (Après les calculs)
Point calculé sur le diagramme de Bode
Réflexions
Le calcul exact (\(\approx 9.95 f_c\)) est très proche de l'approximation asymptotique (\(10 f_c\)), ce qui valide cette méthode rapide pour les analyses d'ingénieur.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre le gain linéaire (un rapport, ex: 1/10) et le gain en décibels (une valeur logarithmique, ex: -20 dB). Les formules ne sont pas les mêmes. La plupart des analyses en fréquence se font en décibels.
Points à retenir
Loin de la fréquence de coupure, un filtre du premier ordre atténue le signal avec une pente de -20 dB par décade (chaque fois que la fréquence est multipliée par 10) ou, de manière équivalente, de -6 dB par octave (chaque fois que la fréquence est multipliée par 2).
Le saviez-vous ?
Les filtres d'ordre supérieur (avec plusieurs inductances et/ou condensateurs) permettent d'obtenir des pentes plus raides (-40 dB/décade pour un 2ème ordre, -60 dB/décade pour un 3ème ordre, etc.), et donc une "coupure" beaucoup plus nette entre les fréquences passantes et les fréquences rejetées.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant l'approximation asymptotique, à quelle fréquence (en kHz) le gain serait-il de -40 dB ?
Outil Interactif : Simulateur de Filtre RL
Utilisez les curseurs pour faire varier la résistance et l'inductance, et observez en temps réel l'impact sur la fréquence de coupure et sur la courbe de réponse du filtre (diagramme de Bode).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la valeur de la résistance (R) dans un filtre passe-bas RL, que devient la fréquence de coupure \(f_c\) ?
2. Quel est le rôle principal de l'inductance (L) dans ce circuit ?
3. À une fréquence très basse (proche de 0 Hz), le gain du filtre en dB tend vers :
4. La pente d'atténuation d'un filtre passe-bas du premier ordre, bien au-delà de sa fréquence de coupure, est de :
5. Quel est le déphasage du filtre à la fréquence de coupure \(f_c\) ?
- Fréquence de coupure (\(f_c\))
- Fréquence à laquelle le filtre commence à atténuer significativement le signal. Pour un filtre du premier ordre, le gain est de -3 dB à cette fréquence.
- Fonction de transfert (\(H(j\omega)\))
- Rapport complexe entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système. Elle décrit comment le système modifie l'amplitude et la phase du signal en fonction de la fréquence.
- Inductance (L)
- Propriété d'un circuit électrique à s'opposer à la variation du courant qui le traverse. Son impédance augmente avec la fréquence.
- Gain en décibels (dB)
- Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux puissances ou deux tensions. Une valeur négative indique une atténuation.
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