Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde
Contexte : Le Circuit RL SérieUn circuit électrique comprenant une résistance (R) et une inductance (L) connectées en série, généralement à une source de tension..
Contrairement aux circuits en régime sinusoïdal, nous allons étudier ici le régime transitoire d'un circuit RL. Lorsqu'on applique une tension continue à un circuit contenant une inductance, le courant ne s'établit pas instantanément. L'inductance, de par sa nature, s'oppose à la variation du courant, ce qui entraîne une montée progressive de celui-ci vers sa valeur finale. Cet exercice se concentre sur la modélisation de cette montée du courant, en commençant par le calcul des caractéristiques physiques de l'inducteur (un solénoïde).
Remarque Pédagogique : Cet exercice est crucial pour comprendre le comportement temporel des circuits et la notion de constante de temps, un paramètre qui régit la vitesse de réaction de nombreux systèmes physiques (électriques, thermiques, mécaniques).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'inductance d'un solénoïde à partir de ses caractéristiques géométriques.
- Déterminer le courant en régime permanent dans un circuit RL.
- Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
- Établir et utiliser l'équation du courant \(i(t)\) durant le régime transitoire.
Données de l'étude
Schéma du circuit RL série
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | \(E\) | 12 | \(\text{V}\) |
| Résistance | \(R\) | 100 | \(\Omega\) |
| Nombre de spires du solénoïde | \(N\) | 500 | - |
| Longueur du solénoïde | \(l\) | 10 | \(\text{cm}\) |
| Section (aire) du solénoïde | \(S\) | 5 | \(\text{cm}^2\) |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | \(\text{H/m}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'inductance \(L\) du solénoïde.
- Déterminer le courant final \(I_f\) (ou \(I_{\infty}\)) qui traverse le circuit en régime permanent.
- Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
- Donner l'expression littérale du courant \(i(t)\) pour \(t \ge 0\).
- Calculer la valeur du courant à l'instant \(t = \tau\).
Les bases sur les Circuits RL
Un circuit RL série soumis à un échelon de tension continue présente un régime transitoire durant lequel le courant évolue exponentiellement avant d'atteindre un régime permanent.
1. Inductance d'un solénoïde long
L'inductance \(L\) d'un solénoïde, qui mesure sa capacité à s'opposer aux variations de courant, dépend de ses caractéristiques géométriques :
\[ L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l} \]
2. Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension
L'équation du courant \(i(t)\) après la fermeture de l'interrupteur est la solution de l'équation différentielle \(E = Ri(t) + L\frac{di(t)}{dt}\). La solution est de la forme :
\[ i(t) = I_f \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \]
Avec \(I_f = E/R\) le courant final et \(\tau = L/R\) la constante de temps.
Correction : Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde
Question 1 : Calculer l'inductance \(L\) du solénoïde
Principe
L'inductance propre \(L\) d'un solénoïde représente sa capacité à générer un flux magnétique lorsqu'il est parcouru par un courant. Pour un solénoïde long (longueur grande devant le rayon), cette inductance dépend directement de sa géométrie (nombre de spires, longueur, section) et du milieu magnétique à l'intérieur (ici, le vide, caractérisé par \(\mu_0\)).
Mini-Cours
Le champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde long est \(B = \mu_0 n I\), où \(n=N/l\) est la densité de spires. Le flux à travers une seule spire est \(\Phi_1 = B \cdot S\). Le flux total à travers les \(N\) spires est \(\Phi = N \Phi_1 = N( \mu_0 \frac{N}{l} I)S\). Par définition, l'inductance est \(L = \Phi/I\), ce qui mène directement à la formule utilisée.
Remarque Pédagogique
Cette première étape est essentielle car elle relie les propriétés physiques et géométriques d'un composant (le solénoïde) à sa caractéristique électrique (l'inductance L) qui sera utilisée dans l'analyse du circuit.
Normes
Les unités (Henry, Mètre, etc.) et les constantes (\(\mu_0\)) sont définies par le Système International d'unités (SI).
Formule(s)
La formule de l'inductance d'un solénoïde long est :
Hypothèses
On suppose que le solénoïde est "long", c'est-à-dire que sa longueur \(l\) est bien supérieure à son rayon, afin que l'on puisse négliger les effets de bord et considérer le champ magnétique comme uniforme à l'intérieur.
Donnée(s)
Conversion des unités en SI :
- \(N = 500\)
- \(l = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}\)
- \(S = 5 \, \text{cm}^2 = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}^2\)
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Astuces
La conversion des unités est la source d'erreur la plus fréquente. Prenez l'habitude de tout convertir en unités SI (mètres, etc.) avant de commencer l'application numérique. Rappelez-vous que \(1 \, \text{cm}^2 = (10^{-2} \, \text{m})^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres géométriques du solénoïde
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Composant Inductance
Réflexions
Une inductance de 1.57 mH est une valeur faible mais courante pour les petites bobines utilisées en électronique. Ce résultat dépend fortement du carré du nombre de spires, ce qui en fait le paramètre le plus influent.
Points de vigilance
Vérifiez bien les unités de chaque grandeur avant le calcul. Une erreur sur la conversion de la longueur (\(l\)) ou de la section (\(S\)) est très fréquente et fausse complètement le résultat.
Points à retenir
L'inductance d'un solénoïde est proportionnelle au carré du nombre de spires (\(N^2\)) et à sa section (\(S\)), et inversement proportionnelle à sa longueur (\(l\)).
Le saviez-vous ?
Si l'on insère un noyau de matériau ferromagnétique (comme le fer) à l'intérieur du solénoïde, on remplace \(\mu_0\) par \(\mu = \mu_r \mu_0\), où \(\mu_r\) (la perméabilité relative) peut valoir plusieurs milliers. L'inductance est alors considérablement augmentée.
FAQ
Résultat Final
L'inductance du solénoïde est :
A vous de jouer
Si on double le nombre de spires (\(N=1000\)), que devient la nouvelle inductance \(L'\) en mH ?
Question 2 : Déterminer le courant final \(I_f\)
Principe
En régime permanent continu (longtemps après la fermeture de l'interrupteur), le courant ne varie plus. Une inductance idéale s'oppose aux variations de courant (\(u_L = L \frac{di}{dt}\)). Si le courant est constant, sa dérivée est nulle, et donc la tension aux bornes de l'inductance est nulle. L'inductance se comporte alors comme un simple fil ou un court-circuit.
Mini-Cours
Le régime permanent est l'état du circuit après que tous les phénomènes transitoires se sont estompés. En régime continu, les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts (courant nul) et les inductances comme des court-circuits (tension nulle). Le circuit se simplifie alors en un circuit purement résistif.
Remarque Pédagogique
Analyser le circuit en régime permanent (\(t \to \infty\)) est souvent la première étape pour résoudre un problème de régime transitoire, car cela donne la valeur finale vers laquelle le système tend.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Une fois l'inductance remplacée par un fil, le circuit est régi par la simple loi d'Ohm :
Hypothèses
On suppose que le générateur est parfait (pas de résistance interne) et que l'inductance est idéale (résistance interne nulle). On se place en régime permanent, c'est-à-dire pour \(t \to \infty\).
Donnée(s)
- \(E = 12 \, \text{V}\)
- \(R = 100 \, \Omega\)
Astuces
Pour l'analyse en régime permanent continu, redessinez mentalement (ou sur papier) le circuit en remplaçant les bobines par des fils et les condensateurs par des coupures. Le circuit devient souvent trivial à analyser.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit en Régime Permanent (\(t \to \infty\))
Calcul(s)
Application de la loi d'Ohm
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Courant Final
Réflexions
Le courant final de 120 mA est uniquement limité par la résistance du circuit. L'inductance ne joue un rôle que pendant la phase transitoire de montée du courant, mais n'affecte pas sa valeur finale.
Points de vigilance
Ne pas inclure l'inductance dans le calcul du courant en régime permanent continu. C'est une erreur conceptuelle majeure.
Points à retenir
En régime permanent continu, une inductance est équivalente à un fil (court-circuit).
Le saviez-vous ?
Dans la réalité, une bobine a toujours une résistance interne due à la longueur du fil de cuivre. Pour un calcul plus précis, cette résistance \(r_L\) s'ajouterait en série à la résistance R, et le courant final serait \(I_f = E / (R + r_L)\).
FAQ
Résultat Final
Le courant en régime permanent est :
A vous de jouer
Si la tension du générateur était de 24 V, quel serait le courant final \(I'_f\) en A ?
Question 3 : Calculer la constante de temps \(\tau\)
Principe
La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), est le paramètre qui caractérise la "lenteur" ou la "rapidité" de la réponse transitoire d'un système du premier ordre. Dans un circuit RL, elle représente le temps nécessaire pour que le courant atteigne environ 63.2% de sa valeur finale.
Mini-Cours
La constante de temps apparaît naturellement dans la solution de l'équation différentielle du circuit. Elle est homogène à un temps et se mesure en secondes. Une grande constante de temps signifie que le courant met beaucoup de temps à s'établir (grande inertie due à une forte inductance ou une faible résistance). Une petite constante de temps signifie une montée rapide du courant.
Remarque Pédagogique
Comprendre la constante de temps est fondamental. C'est un concept universel en physique. Pensez à la vitesse à laquelle une tasse de café refroidit ou une voiture atteint sa vitesse de croisière : tous ces phénomènes sont régis par une constante de temps.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Pour un circuit RL série, la constante de temps est donnée par :
Hypothèses
On utilise les valeurs des composants idéaux du circuit.
Donnée(s)
- \(L \approx 1.57 \times 10^{-3} \, \text{H}\) (calculée à la Q1)
- \(R = 100 \, \Omega\)
Astuces
Une analyse dimensionnelle rapide permet de vérifier la formule : L s'exprime en Henry (\(\text{V} \cdot \text{s} / \text{A}\)) et R en Ohm (\(\text{V} / \text{A}\)). Le rapport \(L/R\) a donc bien la dimension d'un temps en secondes.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres de la Constante de Temps
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Constante de Temps
Réflexions
Une constante de temps de 15.7 microsecondes est très courte. Cela signifie que le courant s'établira très rapidement dans ce circuit, atteignant son régime permanent en moins de 100 microsecondes (\(\approx 5\tau\)).
Points de vigilance
Ne pas inverser la formule ! Pour un circuit RL, c'est bien \(L/R\). Pour un circuit RC, c'est \(RC\). L'analyse dimensionnelle est votre meilleure amie pour ne pas vous tromper.
Points à retenir
La constante de temps \(\tau = L/R\) est la caractéristique temporelle fondamentale d'un circuit RL.
Le saviez-vous ?
Dans les circuits de puissance, les inductances sont beaucoup plus grandes, et les constantes de temps peuvent atteindre plusieurs secondes. C'est pourquoi le démarrage de gros moteurs électriques n'est pas instantané.
FAQ
Résultat Final
La constante de temps du circuit est :
A vous de jouer
Si on double la résistance (\(R=200 \, \Omega\)), que devient la nouvelle constante de temps \(\tau'\) en microsecondes ?
Question 4 : Donner l'expression littérale du courant \(i(t)\)
Principe
Le courant dans un circuit RL soumis à un échelon de tension ne "saute" pas instantanément à sa valeur finale. Il suit une courbe de croissance exponentielle qui part de zéro (car le courant était nul avant la fermeture de l'interrupteur et l'inductance assure sa continuité) et tend asymptotiquement vers la valeur finale \(I_f\). La vitesse de cette croissance est dictée par la constante de temps \(\tau\).
Mini-Cours
La solution générale de l'équation différentielle \(E = Ri + L\frac{di}{dt}\) est la somme d'une solution particulière (le régime permanent, \(i_p = E/R\)) et de la solution de l'équation homogène (\(i_h = A e^{-t/\tau}\)). La condition initiale \(i(0)=0\) permet de trouver la constante A, menant à la solution finale \(i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})\).
Remarque Pédagogique
Cette formule est l'une des plus importantes de l'électronique de base. Elle décrit la réponse de tous les systèmes du premier ordre (filtres, circuits de charge/décharge, etc.). Il est crucial de la comprendre et de savoir l'appliquer.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
L'expression générale du courant est :
Hypothèses
On suppose que le courant est nul avant \(t=0\), ce qui est le cas puisque l'interrupteur est ouvert.
Donnée(s)
Il s'agit d'une question littérale, on n'utilise pas encore les valeurs numériques.
Astuces
Vérifiez toujours la cohérence de votre formule aux instants clés : pour \(t=0\), \(e^0=1\), donc \(i(0) = I_f(1-1) = 0\). Pour \(t \to \infty\), \(e^{-\infty} \to 0\), donc \(i(\infty) \to I_f(1-0) = I_f\). La formule est cohérente.
Schéma (Avant les calculs)
Forme générale de la réponse transitoire
Calcul(s)
Il suffit de substituer les expressions littérales de \(I_f\) et \(\tau\) dans la formule générale.
Schéma (Après les calculs)
Courbe de l'expression littérale i(t)
Réflexions
Cette équation unique décrit entièrement le comportement du courant dans le circuit pour tout instant \(t \ge 0\). C'est la puissance de la modélisation mathématique des circuits.
Points de vigilance
Attention au signe dans l'exponentielle. C'est bien \(e^{-t/\tau}\) pour une charge/montée. Pour une décharge/descente, ce serait \(e^{-t/\tau}\) mais sans le facteur \((1 - ...)\).
Points à retenir
La réponse d'un circuit RL à un échelon de tension est \(i(t) = I_f(1 - e^{-t/\tau})\).
Le saviez-vous ?
L'énergie stockée dans l'inductance à un instant \(t\) est donnée par \(W_L(t) = \frac{1}{2} L [i(t)]^2\). Cette énergie est nulle à \(t=0\) et atteint sa valeur maximale \(\frac{1}{2} L I_f^2\) en régime permanent.
FAQ
Résultat Final
L'expression littérale du courant est :
A vous de jouer
Quelle serait l'expression de la tension \(u_R(t)\) aux bornes de la résistance ?
Question 5 : Calculer la valeur du courant à \(t = \tau\)
Principe
La constante de temps \(\tau\) n'est pas juste un paramètre abstrait ; elle a une signification physique concrète. C'est le temps au bout duquel le système a effectué une fraction significative de son évolution vers l'état final. Calculer la valeur à \(t=\tau\) permet de quantifier cette fraction.
Mini-Cours
Lorsque \(t=\tau\), le terme exponentiel devient \(e^{-\tau/\tau} = e^{-1}\). Le nombre \(e\) (constante de Néper) vaut environ 2.718, donc \(e^{-1} \approx 1/2.718 \approx 0.368\). La fraction de la valeur finale atteinte est donc \(1 - e^{-1} \approx 1 - 0.368 = 0.632\).
Remarque Pédagogique
Retenir la valeur de 63% est un excellent moyen de se souvenir de la signification de la constante de temps pour un système du premier ordre en charge (ou en montée).
Normes
Non applicable.
Formule(s)
On part de l'expression du courant et on remplace \(t\) par \(\tau\).
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire.
Donnée(s)
- \(I_f = 0.12 \, \text{A}\) (calculée à la Q2)
- \(e^{-1} \approx 0.36788\)
Astuces
Vous n'avez même pas besoin de connaître les valeurs de R, L ou E. Le résultat est toujours le même en proportion : à \(t=\tau\), le courant vaut toujours environ 63.2% du courant final, quel que soit le circuit RL.
Schéma (Avant les calculs)
Point à calculer sur la courbe de charge
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Valeur du courant à t = τ
Réflexions
Comme attendu, la valeur du courant à \(t=\tau\) est de 75.9 mA, ce qui est bien environ 63.2% de la valeur finale de 120 mA (\(0.632 \times 120 \approx 75.85\)).
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser suffisamment de décimales pour \(e^{-1}\) pour obtenir un résultat précis, ou mieux, utilisez directement la fonction `exp(-1)` de votre calculatrice.
Points à retenir
À \(t=\tau\), un système du premier ordre en charge atteint \(\approx 63\%\) de sa valeur finale. À \(t=5\tau\), il a atteint \(\approx 99\%\) de sa valeur finale.
Le saviez-vous ?
Le concept de constante de temps est utilisé en photographie pour le temps de recyclage d'un flash (charge d'un condensateur), en musique pour l'enveloppe "Attack-Decay-Sustain-Release" (ADSR) des sons de synthétiseur, et en biologie pour modéliser l'absorption de médicaments par le corps.
FAQ
Résultat Final
À l'instant \(t=\tau\), le courant dans le circuit est :
A vous de jouer
Calculez la tension \(u_L(t)\) aux bornes de l'inductance à l'instant \(t=\tau\), en Volts.
Outil Interactif : Simulateur de Circuit RL
Utilisez les curseurs pour faire varier la tension du générateur et la résistance du circuit. Observez l'impact sur la constante de temps et le courant final. Le graphique montre la montée du courant \(i(t)\) en fonction du temps.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'inductance d'un solénoïde est proportionnelle...
2. En régime permanent continu, une inductance se comporte comme...
3. Si on augmente la résistance R dans un circuit RL, la constante de temps \(\tau\)...
4. À l'instant \(t=0\) (juste après la fermeture de l'interrupteur), le courant dans le circuit est...
5. Au bout de combien de temps considère-t-on que le régime permanent est atteint ?
- Inductance (L)
- Propriété d'un circuit électrique qui s'oppose aux variations du courant qui le traverse. Elle est due à l'énergie stockée dans le champ magnétique créé par le courant. Son unité est le Henry (H).
- Solénoïde
- Un enroulement de fil conducteur en forme d'hélice. C'est la forme la plus commune pour créer un composant ayant une inductance significative.
- Régime Transitoire
- L'état temporaire d'un circuit après une modification brutale (comme la fermeture d'un interrupteur), durant lequel les grandeurs électriques (tension, courant) évoluent entre un état initial et un état final.
- Constante de Temps (\(\tau\))
- Dans un système du premier ordre, c'est le temps caractéristique de la réponse transitoire. Pour un circuit RL, \(\tau = L/R\).
D’autres exercices d’electronique:
0 commentaires