Résistance et Puissance en Conditions Extrêmes
Analyser l'effet de la température sur la résistance d'un conducteur et calculer la puissance dissipée dans des conditions de température variables.
La résistance électrique d'un conducteur varie avec la température. Pour de nombreux matériaux, cette variation peut être approximée par une relation linéaire sur une plage de températures limitée :
Où :
- \(R(T)\) est la résistance à la température \(T\).
- \(R_0\) est la résistance à une température de référence \(T_0\).
- \(\alpha\) est le coefficient de température de la résistance du matériau (en °C\(^{-1}\) ou K\(^{-1}\)).
- \(T\) est la température de fonctionnement.
- \(T_0\) est la température de référence (souvent 20°C).
La puissance dissipée par une résistance est donnée par \(P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}\).
Données du Problème
Un élément chauffant en nichrome est utilisé dans un appareil. Il est alimenté par une source de tension continue.
- Résistance de l'élément à \(T_0 = 20^\circ\text{C}\) : \(R_0 = 50.0 \, \Omega\)
- Coefficient de température du nichrome : \(\alpha = 0.0004 \, ^\circ\text{C}^{-1}\)
- Tension d'alimentation constante : \(V = 120 \text{ V}\)
Questions
- Calculer la résistance de l'élément chauffant à une température de fonctionnement \(T_1 = 500^\circ\text{C}\).
- Calculer le courant \(I_1\) circulant dans l'élément chauffant à \(T_1 = 500^\circ\text{C}\).
- Calculer la puissance \(P_1\) dissipée par l'élément chauffant à \(T_1 = 500^\circ\text{C}\).
- L'élément est maintenant utilisé dans un environnement cryogénique à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\). Calculer sa résistance \(R_2\) à cette température.
- Calculer le courant \(I_2\) circulant dans l'élément chauffant à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\).
- Calculer la puissance \(P_2\) dissipée par l'élément chauffant à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\).
- Comparer les puissances dissipées à \(20^\circ\text{C}\), \(500^\circ\text{C}\) et \(-100^\circ\text{C}\). Quelles sont les implications pratiques de ces variations ?
Correction : Résistance et Puissance en Conditions Extrêmes
1. Résistance à \(T_1 = 500^\circ\text{C}\)
On utilise la formule \(R(T) = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]\).
Données :
- \(R_0 = 50.0 \, \Omega\)
- \(T_0 = 20^\circ\text{C}\)
- \(\alpha = 0.0004 \, ^\circ\text{C}^{-1}\)
- \(T_1 = 500^\circ\text{C}\)
La résistance à \(500^\circ\text{C}\) est \(R_1 = 59.6 \, \Omega\).
2. Courant \(I_1\) à \(T_1 = 500^\circ\text{C}\)
On utilise la loi d'Ohm : \(I_1 = \frac{V}{R_1}\).
Données :
- \(V = 120 \text{ V}\)
- \(R_1 = 59.6 \, \Omega\)
Le courant à \(500^\circ\text{C}\) est \(I_1 \approx 2.01 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Loi d'Ohm et Résistance Variable
3. Puissance \(P_1\) à \(T_1 = 500^\circ\text{C}\)
On utilise \(P_1 = V I_1\) ou \(P_1 = \frac{V^2}{R_1}\) ou \(P_1 = I_1^2 R_1\).
Données :
- \(V = 120 \text{ V}\)
- \(I_1 \approx 2.0134 \text{ A}\)
- \(R_1 = 59.6 \, \Omega\)
Alternativement :
La puissance dissipée à \(500^\circ\text{C}\) est \(P_1 \approx 241.6 \text{ W}\).
Quiz Intermédiaire : Influence de T sur R
4. Résistance \(R_2\) à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\)
On utilise la même formule \(R(T) = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]\).
Données :
- \(R_0 = 50.0 \, \Omega\)
- \(T_0 = 20^\circ\text{C}\)
- \(\alpha = 0.0004 \, ^\circ\text{C}^{-1}\)
- \(T_2 = -100^\circ\text{C}\)
La résistance à \(-100^\circ\text{C}\) est \(R_2 = 47.6 \, \Omega\).
5. Courant \(I_2\) à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\)
On utilise la loi d'Ohm : \(I_2 = \frac{V}{R_2}\).
Données :
- \(V = 120 \text{ V}\)
- \(R_2 = 47.6 \, \Omega\)
Le courant à \(-100^\circ\text{C}\) est \(I_2 \approx 2.52 \text{ A}\).
6. Puissance \(P_2\) à \(T_2 = -100^\circ\text{C}\)
On utilise \(P_2 = V I_2\) ou \(P_2 = \frac{V^2}{R_2}\).
Données :
- \(V = 120 \text{ V}\)
- \(I_2 \approx 2.5210 \text{ A}\)
- \(R_2 = 47.6 \, \Omega\)
Alternativement :
La puissance dissipée à \(-100^\circ\text{C}\) est \(P_2 \approx 302.5 \text{ W}\).
Quiz Intermédiaire : Puissance et Résistance
7. Comparaison des Puissances et Implications
Calculons d'abord la puissance à la température de référence \(T_0 = 20^\circ\text{C}\).
À \(T_0 = 20^\circ\text{C}\), \(R(T_0) = R_0 = 50.0 \, \Omega\).
Courant \(I_0 = V/R_0 = 120 \text{ V} / 50.0 \, \Omega = 2.4 \text{ A}\).
Puissance \(P_0 = V I_0 = 120 \text{ V} \times 2.4 \text{ A} = 288 \text{ W}\).
Comparaison :
- \(P_0 (20^\circ\text{C}) = 288.0 \text{ W}\)
- \(P_1 (500^\circ\text{C}) \approx 241.6 \text{ W}\)
- \(P_2 (-100^\circ\text{C}) \approx 302.5 \text{ W}\)
Observations et implications :
- À haute température (\(500^\circ\text{C}\)), la résistance augmente (\(R_1 > R_0\)), le courant diminue (\(I_1 < I_0\)), et la puissance dissipée diminue (\(P_1 < P_0\)). Pour un élément chauffant, cela signifie qu'il chauffe moins que prévu à haute température si la tension est constante.
- À basse température (\(-100^\circ\text{C}\)), la résistance diminue (\(R_2 < R_0\)), le courant augmente (\(I_2 > I_0\)), et la puissance dissipée augmente (\(P_2 > P_0\)). Cela pourrait entraîner une surchauffe initiale ou une consommation de courant plus élevée que prévu si l'appareil est démarré à très basse température.
- Ces variations sont importantes pour le dimensionnement des composants, la prévision des performances et la sécurité des appareils fonctionnant dans des plages de température étendues. Par exemple, un fusible ou un disjoncteur doit être capable de supporter le courant maximal qui pourrait survenir à la température de fonctionnement la plus basse.
La puissance dissipée varie significativement avec la température : \(P(-100^\circ C) > P(20^\circ C) > P(500^\circ C)\). Cela a des conséquences sur l'efficacité et la sécurité.
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Glossaire des Termes Clés
Résistivité (\(\rho\)) :
Propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa capacité à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm-mètre (\(\Omega\).m).
Résistance Électrique (\(R\)) :
Opposition d'un composant spécifique au passage du courant électrique. \(R = \rho \frac{L}{A}\) pour un conducteur de longueur L et section A. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Coefficient de Température de la Résistance (\(\alpha\)) :
Facteur qui décrit comment la résistance d'un matériau change avec la température. Unité : °C\(^{-1}\) ou K\(^{-1}\).
Puissance Dissipée (Effet Joule) :
Énergie thermique libérée par seconde dans un conducteur ohmique parcouru par un courant électrique.
Nichrome :
Alliage de nickel et de chrome, souvent utilisé pour les éléments chauffants en raison de sa haute résistivité et de sa résistance à l'oxydation à haute température.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi le coefficient de température \(\alpha\) est-il positif pour les métaux et négatif pour certains semi-conducteurs (comme les thermistances NTC) ?
2. Comment la variation de la résistance avec la température est-elle exploitée dans les thermomètres à résistance (RTD) ?
3. Pour un élément chauffant, est-il préférable d'avoir un coefficient \(\alpha\) élevé, faible ou nul ? Discutez des avantages et inconvénients.
4. Comment la puissance maximale qu'un composant peut dissiper sans être endommagé (sa "puissance nominale") est-elle affectée par la température ambiante ?
5. Quels sont les défis liés à la conception de circuits électroniques destinés à fonctionner dans des environnements à températures extrêmes (par exemple, dans l'espace ou près de moteurs à haute température) ?
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