Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Densité de Charge Linéique sur un Fil Uniforme

Densité de Charge Linéique sur un Fil Uniforme

Densité de Charge Linéique sur un Fil Uniforme

Comprendre la Densité de Charge Linéique

Lorsqu'une charge électrique est répartie le long d'un objet filiforme, il est utile de définir une densité de charge linéique, notée \(\lambda\). Cette grandeur représente la quantité de charge par unité de longueur. Si la charge est uniformément répartie, \(\lambda\) est constante sur tout le fil. Pour calculer le champ électrique ou le potentiel créé par une telle distribution continue de charges, on divise le fil en éléments infinitésimaux \(dl\), chacun portant une charge \(dq = \lambda dl\). On traite ensuite chaque \(dq\) comme une charge ponctuelle, puis on intègre les contributions de tous ces éléments sur toute la longueur du fil. Cet exercice se concentre sur le calcul du champ et du potentiel créés par un segment de fil rectiligne uniformément chargé.

Données de l'étude

On considère un fil rectiligne de longueur \(L = 20,0 \, \text{cm}\) portant une charge totale \(Q = +4,0 \, \text{nC}\) uniformément répartie. Le fil est placé le long de l'axe des x, centré à l'origine (de \(x = -L/2\) à \(x = +L/2\)).

On souhaite calculer le champ électrique \(\vec{E}\) et le potentiel électrique \(V\) au point P situé sur l'axe des y, à une distance \(y_P = 15,0 \, \text{cm}\) de l'origine.

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Fil Chargé et Point P
{/* Axes */} {/* Axe X */} x {/* Axe Y */} y O {/* Fil chargé (-L/2 à +L/2) -> (-50px à +50px par rapport au centre 125px) */} Fil (λ) -L/2 +L/2 {/* Point P (0, y_P) -> (125, 150 - y_P_scaled) y_P=15cm, L=20cm. Echelle 1cm = 5px. y_P_scaled = 75px */} P(0,y_P) {/* Élément de charge dq */} dx dq=λdx x {/* Distance r de dq à P */} r {/* Vecteur dE (approximatif) */} dE Fil uniformément chargé et point P

Fil rectiligne chargé et point P sur sa médiatrice.

Questions à traiter

  1. Calculer la densité de charge linéique \(\lambda\) du fil.
  2. Exprimer le vecteur champ électrique élémentaire \(d\vec{E}\) créé au point P par un élément de charge \(dq = \lambda dx\) situé à la position \(x\) sur le fil.
  3. Par des arguments de symétrie, déterminer la direction du champ électrique total \(\vec{E}\) au point P.
  4. Calculer la composante pertinente du champ électrique total \(\vec{E}\) au point P en intégrant la contribution de tous les éléments de charge du fil.
  5. Calculer le potentiel électrique \(V\) au point P créé par le fil.
  6. Si le fil était infiniment long avec la même densité de charge linéique \(\lambda\), quelle serait l'expression du champ électrique \(E(y_P)\) ? Comparer avec le résultat de la question 4 pour \(L \gg y_P\).

Correction : Densité de Charge Linéique sur un Fil Uniforme

Question 1 : Densité de charge linéique \(\lambda\)

Principe :

La densité de charge linéique \(\lambda\) est la charge totale \(Q\) divisée par la longueur totale \(L\) du fil, puisque la charge est uniformément répartie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{Q}{L}\]
Données spécifiques :
  • \(Q = +4,0 \, \text{nC} = +4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(L = 20,0 \, \text{cm} = 0,20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,20 \, \text{m}} \\ &= 20,0 \times 10^{-9} \, \text{C/m} \\ &= 20,0 \, \text{nC/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité de charge linéique \(\lambda = 20,0 \, \text{nC/m}\).

Question 2 : Vecteur champ électrique élémentaire \(d\vec{E}\)

Principe :

Un élément de fil de longueur \(dx\) situé à la position \(x\) porte une charge \(dq = \lambda dx\). Ce \(dq\) crée au point P un champ électrique élémentaire \(d\vec{E}\) comme une charge ponctuelle : \(d\vec{E} = k_e \frac{dq}{r^2} \hat{u}_r\), où \(\vec{r}\) est le vecteur allant de \(dq\) à P, et \(\hat{u}_r = \vec{r}/r\).

Le point P est en \((0, y_P)\). L'élément \(dq\) est en \((x, 0)\). Le vecteur \(\vec{r}\) de \(dq\) à P est \(\vec{r} = (0-x)\hat{i} + (y_P-0)\hat{j} = -x\hat{i} + y_P\hat{j}\). La distance \(r = |\vec{r}| = \sqrt{(-x)^2 + y_P^2} = \sqrt{x^2 + y_P^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d\vec{E} = k_e \frac{\lambda dx}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} = k_e \frac{\lambda dx}{r^3} \vec{r} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} d\vec{E} &= k_e \frac{\lambda dx}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} (-x\hat{i} + y_P\hat{j}) \\ &= \frac{k_e \lambda (-x)}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx \, \hat{i} + \frac{k_e \lambda y_P}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx \, \hat{j} \end{aligned} \]

Donc, \(dE_x = -\frac{k_e \lambda x}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx\) et \(dE_y = \frac{k_e \lambda y_P}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx\).

Résultat Question 2 : \(d\vec{E} = -\frac{k_e \lambda x}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx \, \hat{i} + \frac{k_e \lambda y_P}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx \, \hat{j}\).

Question 3 : Direction du champ électrique total \(\vec{E}\) au point P

Principe :

Le fil est symétrique par rapport à l'axe y (la médiatrice où se trouve P). Pour chaque élément \(dx\) à une position \(x\), il existe un élément symétrique à \(-x\). La composante \(dE_x\) due à l'élément en \(x\) est \(-\frac{k_e \lambda x}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx\). La composante \(dE_x'\) due à l'élément en \(-x\) est \(-\frac{k_e \lambda (-x)}{((-x)^2 + y_P^2)^{3/2}} dx = +\frac{k_e \lambda x}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx\). Ces deux composantes s'annulent. Les composantes \(dE_y\) s'ajoutent car elles sont dans la même direction.

Résultat Question 3 : Par symétrie, la composante horizontale (\(E_x\)) du champ électrique total est nulle. Le champ électrique total \(\vec{E}\) au point P est dirigé selon l'axe des y positifs (si \(\lambda > 0\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le fil était chargé négativement (\(\lambda < 0\)), la direction du champ électrique total en P serait :

Question 4 : Calcul de la composante \(E_y\) du champ total

Principe :

On intègre \(dE_y\) sur toute la longueur du fil, de \(x = -L/2\) à \(x = +L/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_y = \int_{-L/2}^{L/2} dE_y = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{k_e \lambda y_P}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} dx \]

L'intégrale de \(\frac{1}{(x^2 + a^2)^{3/2}}\) est \(\frac{x}{a^2\sqrt{x^2 + a^2}}\).

Données spécifiques :
  • \(\lambda = 20,0 \times 10^{-9} \, \text{C/m}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(y_P = 15,0 \, \text{cm} = 0,15 \, \text{m}\)
  • \(L = 20,0 \, \text{cm} = 0,20 \, \text{m}\) (donc \(L/2 = 0,10 \, \text{m}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_y &= k_e \lambda y_P \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x^2 + y_P^2)^{3/2}} \\ &= k_e \lambda y_P \left[ \frac{x}{y_P^2\sqrt{x^2 + y_P^2}} \right]_{-L/2}^{L/2} \\ &= \frac{k_e \lambda}{y_P} \left[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + y_P^2}} \right]_{-L/2}^{L/2} \\ &= \frac{k_e \lambda}{y_P} \left( \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2 + y_P^2}} - \frac{-L/2}{\sqrt{(-L/2)^2 + y_P^2}} \right) \\ &= \frac{k_e \lambda}{y_P} \left( \frac{L}{\sqrt{(L/2)^2 + y_P^2}} \right) \\ &= \frac{k_e \lambda L}{y_P \sqrt{L^2/4 + y_P^2}} \end{aligned} \]

Avec les valeurs numériques :

\[ \begin{aligned} (L/2)^2 &= (0,10 \, \text{m})^2 = 0,01 \, \text{m}^2 \\ y_P^2 &= (0,15 \, \text{m})^2 = 0,0225 \, \text{m}^2 \\ \sqrt{(L/2)^2 + y_P^2} &= \sqrt{0,01 + 0,0225} \, \text{m} = \sqrt{0,0325} \, \text{m} \approx 0,180277 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_y &= \frac{(9,0 \times 10^9) \times (20,0 \times 10^{-9}) \times 0,20}{(0,15) \sqrt{0,0325}} \, \text{N/C} \\ &= \frac{36}{0,15 \times 0,180277} \, \text{N/C} \\ &= \frac{36}{0,02704155} \, \text{N/C} \\ &\approx 1331,28 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{E} = E_y \hat{j} \approx 1331,28 \hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 5 : Potentiel électrique \(V\) au point P

Principe :

Le potentiel élémentaire \(dV\) créé par \(dq = \lambda dx\) à la distance \(r = \sqrt{x^2 + y_P^2}\) est \(dV = k_e \frac{dq}{r}\). On intègre sur la longueur du fil.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \int_{-L/2}^{L/2} dV = \int_{-L/2}^{L/2} k_e \frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2 + y_P^2}} \]

L'intégrale de \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) est \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= k_e \lambda \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y_P^2}} \\ &= k_e \lambda \left[ \ln(x + \sqrt{x^2 + y_P^2}) \right]_{-L/2}^{L/2} \\ &= k_e \lambda \left( \ln\left(\frac{L}{2} + \sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2 + y_P^2}\right) - \ln\left(-\frac{L}{2} + \sqrt{\left(-\frac{L}{2}\right)^2 + y_P^2}\right) \right) \\ &= k_e \lambda \ln\left(\frac{L/2 + \sqrt{L^2/4 + y_P^2}}{-L/2 + \sqrt{L^2/4 + y_P^2}}\right) \end{aligned} \]

Avec \(L/2 = 0,10 \, \text{m}\), \(y_P = 0,15 \, \text{m}\), \(\sqrt{L^2/4 + y_P^2} \approx 0,180277 \, \text{m}\) :

\[ \begin{aligned} V &= (9,0 \times 10^9) \times (20,0 \times 10^{-9}) \ln\left(\frac{0,10 + 0,180277}{-0,10 + 0,180277}\right) \, \text{V} \\ &= 180 \ln\left(\frac{0,280277}{0,080277}\right) \, \text{V} \\ &= 180 \ln(3,4913) \, \text{V} \\ &\approx 180 \times 1,2503 \, \text{V} \\ &\approx 225,05 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le potentiel électrique \(V \approx 225,05 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le potentiel électrique créé par une distribution de charges :

Question 6 : Champ électrique pour un fil infiniment long

Principe :

Pour un fil infiniment long de densité de charge linéique \(\lambda\), le champ électrique à une distance radiale \(y_P\) est donné par \(E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 y_P} = \frac{2k_e\lambda}{y_P}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\text{infini}} = \frac{2k_e\lambda}{y_P} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{infini}} &= \frac{2 \times (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \times (20,0 \times 10^{-9} \, \text{C/m})}{0,15 \, \text{m}} \\ &= \frac{2 \times 180}{0,15} \, \text{N/C} \\ &= \frac{360}{0,15} \, \text{N/C} \\ &= 2400 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Comparaison : Le champ pour le fil fini était \(E_y \approx 1331,28 \, \text{N/C}\). La formule pour le fil fini est \(E_y = \frac{k_e \lambda L}{y_P \sqrt{L^2/4 + y_P^2}}\). Si \(L \gg y_P\), alors \(L^2/4 + y_P^2 \approx L^2/4\), donc \(\sqrt{L^2/4 + y_P^2} \approx L/2\). Alors \(E_y \approx \frac{k_e \lambda L}{y_P (L/2)} = \frac{2k_e\lambda}{y_P}\), ce qui correspond à la formule du fil infini. Dans notre cas, \(L=0,20 \, \text{m}\) et \(y_P=0,15 \, \text{m}\). \(L\) n'est pas beaucoup plus grand que \(y_P\), donc on s'attend à une différence notable, ce qui est le cas (\(1331\) vs \(2400 \, \text{N/C}\)).

Résultat Question 6 : Pour un fil infiniment long, \(E_{\text{infini}} = 2400 \, \text{N/C}\). Le résultat pour le fil fini est inférieur, ce qui est attendu car les contributions des parties éloignées du fil sont absentes. La formule du fil fini tend vers celle du fil infini lorsque \(L/y_P \to \infty\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La densité de charge linéique \(\lambda\) est définie comme :

2. Pour un fil rectiligne infiniment long et uniformément chargé, le champ électrique à une distance \(r\) du fil :

3. Le potentiel électrique créé par un segment de fil chargé positivement en un point de sa médiatrice est :

Glossaire

Densité de Charge Linéique (\(\lambda\))
Quantité de charge électrique par unité de longueur sur un objet filiforme. Unité : Coulomb par mètre (C/m).
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Unité : Volt (V).
Principe de Superposition
Pour un système de plusieurs charges ou distributions de charges, le champ (ou potentiel) total en un point est la somme vectorielle (ou algébrique pour le potentiel) des champs (ou potentiels) créés individuellement par chaque charge ou distribution.
Intégration
Processus mathématique utilisé pour sommer les contributions d'éléments infinitésimaux afin de trouver une quantité totale pour une distribution continue.
Densité de Charge Linéique sur un Fil Uniforme

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