Calcul du travail des forces électrostatiques

Contexte : L'Énergie d'un Déplacement Électrique

Lorsqu'une charge électrique se déplace dans un champ électriqueRégion de l'espace où une charge électrique est soumise à une force. Il est créé par d'autres charges et se mesure en Volts par mètre (V/m)., elle est soumise à une force électrostatique qui peut effectuer un travail. Ce travail représente l'énergie transférée à la charge par le champ électrique durant son déplacement. Comprendre et calculer ce travail est fondamental, car il est directement lié à la variation de l'énergie potentielle électriqueÉnergie qu'une charge possède en raison de sa position dans un champ électrique. Sa variation est l'opposé du travail de la force électrostatique. et à la différence de potentielAussi appelée tension, c'est le travail de la force électrostatique par unité de charge pour déplacer une charge entre deux points. Se mesure en Volts (V). (tension) entre les points de départ et d'arrivée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un concept clé : la force électrostatique est conservative. Cela signifie que le travail qu'elle effectue pour déplacer une charge d'un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions de A et B. C'est ce qui permet de définir la notion d'énergie potentielle et de potentiel électrique.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la force électrostatique s'exerçant sur une charge dans un champ uniforme.
Déterminer le travail de cette force par la méthode du produit scalaire.
Relier le travail de la force électrostatique à la différence de potentiel (tension).
Comprendre la notion de travail moteur et de travail résistant.
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique dans un contexte électrostatique.

Données de l'étude

Un proton, de charge \(q = +e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\), pénètre dans une région où règne un champ électrique uniforme \(\vec{E}\), dirigé vers le bas, de norme \(E = 5000 \, \text{V/m}\). Le proton se déplace du point A de coordonnées \((0, 0)\) au point B de coordonnées \((10 \, \text{cm}, 5 \, \text{cm})\) dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

Schéma du Mouvement de la Charge

Questions à traiter

Déterminer les coordonnées du vecteur force électrostatique \(\vec{F}\) qui s'exerce sur le proton.
Calculer le travail \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\) de cette force lors du déplacement de A à B.
Le travail de la force électrostatique est aussi donné par \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = q(V_A - V_B)\). Calculer la différence de potentiel \(V_A - V_B\).
Le proton est lâché du point A sans vitesse initiale. Déduire sa vitesse au point B. On donne la masse du proton \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\).

Correction : Calcul du travail des forces électrostatiques

Question 1 : Vecteur Force Électrostatique (\(\vec{F}\))

Principe :

Une charge \(q\) placée dans un champ électrique \(\vec{E}\) subit une force électrostatique \(\vec{F} = q\vec{E}\). Si la charge est positive (\(q>0\)), la force est dans le même sens que le champ. Si la charge est négative, la force est de sens opposé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est essentiel de toujours vérifier le signe de la charge pour déterminer correctement le sens de la force. Un proton étant positif, la force \(\vec{F}\) aura le même sens et la même direction que le champ \(\vec{E}\).

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{F} = q\vec{E}

Donnée(s) :

Charge du proton \(q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
Champ électrique \(\vec{E}\) est vertical, vers le bas, de norme \(E=5000 \, \text{V/m}\). Dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on a donc \(\vec{E} = -E\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5000 \end{pmatrix}\).

Calcul(s) :

\begin{aligned} \vec{F} &= (1.6 \times 10^{-19}) \times \begin{pmatrix} 0 \\ -5000 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \times 10^{-16} \end{pmatrix} \, \text{N} \end{aligned}

Points de vigilance :

Caractère Vectoriel : La force et le champ sont des vecteurs. Il ne faut pas se contenter de multiplier les normes. Il est crucial de déterminer les coordonnées de chaque vecteur dans le repère donné avant de faire le calcul.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le vecteur force est \(\vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \times 10^{-16} \end{pmatrix}\) en Newtons.

Question 2 : Travail de la Force (\(W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\))

Principe :

Le travail d'une force constante \(\vec{F}\) lors d'un déplacement rectiligne \(\vec{AB}\) est donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs : \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB}\). Si on connaît les coordonnées, le calcul est \(F_x \times x_{AB} + F_y \times y_{AB}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le travail est une grandeur scalaire (un nombre) qui peut être positif, négatif ou nul. Un travail positif est dit "moteur" (la force aide le déplacement), tandis qu'un travail négatif est "résistant" (la force s'oppose au déplacement).

Formule(s) utilisée(s) :

W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F_x \times x_{AB} + F_y \times y_{AB}

Donnée(s) :

Vecteur force \(\vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \times 10^{-16} \end{pmatrix} \, \text{N}\)
Vecteur déplacement \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 - 0 \\ 0.05 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.05 \end{pmatrix}\) m

Calcul(s) :

\begin{aligned} W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) &= (0 \times 0.1) + (-8 \times 10^{-16} \times 0.05) \\ &= 0 - 4 \times 10^{-17} \\ &= -4 \times 10^{-17} \, \text{J} \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités du déplacement : Les coordonnées du vecteur déplacement \(\vec{AB}\) doivent être exprimées en mètres pour que le travail soit en Joules, l'unité du Système International.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le travail de la force électrostatique est \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = -4 \times 10^{-17} \, \text{J}\).

Question 3 : Différence de Potentiel (\(V_A - V_B\))

Principe :

La différence de potentiel (ou tension) \(U_{AB} = V_A - V_B\) est définie comme le travail de la force électrostatique pour déplacer une charge \(q\) de A à B, divisé par cette charge \(q\). C'est une propriété de l'espace (créée par le champ \(\vec{E}\)) qui ne dépend pas de la charge qui s'y déplace.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette relation est l'une des plus importantes de l'électrostatique. Elle lie une action mécanique (le travail \(W\)) à une propriété purement électrique (la tension \(U\)). Elle permet de calculer l'un à partir de l'autre très facilement.

Formule(s) utilisée(s) :

W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = q(V_A - V_B) \Rightarrow (V_A - V_B) = \frac{W_{A \rightarrow B}(\vec{F})}{q}

Donnée(s) :

Travail calculé \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = -4 \times 10^{-17} \, \text{J}\)
Charge du proton \(q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} V_A - V_B &= \frac{-4 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \\ &= -2.5 \times 10^2 \\ &= -250 \, \text{V} \end{aligned}

Points de vigilance :

Signe de la Tension : Le signe de la différence de potentiel est crucial. Ici, \(V_A - V_B\) est négatif, ce qui signifie que \(V_B > V_A\). C'est logique : le proton (charge +) s'est déplacé vers le haut (contre le champ \(\vec{E}\)), il a donc "remonté" le potentiel électrique.

Le saviez-vous ?

Résultat : La différence de potentiel est \(V_A - V_B = -250 \, \text{V}\).

Question 4 : Vitesse Finale du Proton

Principe :

Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation de l'énergie cinétique d'un corps entre deux points est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur lui. Ici, seule la force électrostatique travaille (on néglige le poids), donc \(\Delta E_c = W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la jonction entre la mécanique et l'électricité. On utilise un concept électrique (le travail de la force \(\vec{F}\)) pour déterminer une grandeur purement mécanique (la vitesse). Cela montre l'universalité des concepts d'énergie.

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = W_{A \rightarrow B}(\text{forces})

E_c = \frac{1}{2}mv^2

Donnée(s) :

Travail \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = -4 \times 10^{-17} \, \text{J}\)
Vitesse initiale \(v_A = 0 \, \text{m/s}\), donc \(E_{c,A} = 0 \, \text{J}\)
Masse du proton \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)

Calcul(s) :

\[ \begin{aligned} E_{c,B} - 0 &= -4 \times 10^{-17} \, \text{J} \\ \frac{1}{2}m_p v_B^2 &= -4 \times 10^{-17} \, \text{J} \end{aligned} \] Erreur d'interprétation ! On obtient une énergie cinétique négative, ce qui est physiquement impossible. Cela signifie que l'hypothèse "le proton est lâché sans vitesse initiale" est incompatible avec le fait qu'il atteigne le point B. Le travail de la force étant résistant, il faut fournir une énergie cinétique initiale au proton pour qu'il puisse atteindre B. La question est donc un piège. Si on suppose qu'une autre force a fourni le travail nécessaire, la question n'a pas de sens. Reformulons : si le proton arrive en B avec une vitesse nulle, quelle était sa vitesse en A ? \[ \begin{aligned} 0 - E_{c,A} &= -4 \times 10^{-17} \, \text{J} \\ E_{c,A} &= 4 \times 10^{-17} \, \text{J} \\ \frac{1}{2}m_p v_A^2 &= 4 \times 10^{-17} \\ v_A^2 &= \frac{2 \times 4 \times 10^{-17}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 4.79 \times 10^{10} \\ v_A &\approx \sqrt{4.79 \times 10^{10}} \approx 2.19 \times 10^5 \, \text{m/s} \end{aligned} \] Il fallait donc lancer le proton à \(2.19 \times 10^5 \, \text{m/s}\) pour qu'il s'arrête en B.

Points de vigilance :

Réalité Physique : Une énergie cinétique ne peut jamais être négative. Si un calcul y mène, c'est le signe d'une hypothèse de départ physiquement impossible. Il faut toujours critiquer ses résultats à la lumière des lois physiques.

Le saviez-vous ?

Résultat : La question initiale est un piège. Il est impossible pour le proton d'atteindre le point B en partant de A sans vitesse initiale, car le travail de la force est résistant.

Simulation Interactive

Modifiez la charge et le champ pour voir comment le travail et la variation d'énergie potentielle sont affectés.

Paramètres de la Simulation

Charge q (1.6 x 10⁻¹⁹ C)

Champ E (5000 V/m)

Travail W_AB

ΔE_p (E_pB - E_pA)

Travail de la Force Électrostatique (J)

Pièges à Éviter

Signe du Travail : Ne pas se fier à l'intuition. Calculez le produit scalaire. Si le résultat est positif, le travail est moteur. S'il est négatif, il est résistant. Le signe dépend de l'angle entre la force et le déplacement.

Travail et Énergie Potentielle : Ne pas confondre le travail et la variation d'énergie potentielle. Ils sont opposés : \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F}) = -\Delta E_p = -(E_{p,B} - E_{p,A}) = E_{p,A} - E_{p,B}\).

Pour Aller Plus Loin

Champ Non-Uniforme : Si le champ électrique n'est pas uniforme, on ne peut plus utiliser la formule simple du produit scalaire. Le travail doit être calculé en "sommant" les travaux élémentaires \(dW = \vec{F} \cdot d\vec{l}\) le long de la trajectoire, ce qui se traduit par une intégrale curviligne : \(W_{A \rightarrow B} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{l}\).

Le Saviez-Vous ?

Le concept de travail d'une force a été développé par des ingénieurs et physiciens français au début du 19ème siècle, notamment Gaspard-Gustave Coriolis, à qui l'on doit la formulation moderne \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\). Initialement appliqué en mécanique pour les machines à vapeur, il s'est avéré être un concept universel, s'appliquant aussi bien aux planètes qu'aux particules subatomiques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le poids du proton a-t-il un impact ?

Calculons la force gravitationnelle : \(P = m_p g \approx 1.67 \times 10^{-27} \times 9.8 \approx 1.64 \times 10^{-26} \, \text{N}\). La force électrostatique est de \(8 \times 10^{-16} \, \text{N}\). La force électrique est environ \(10^{10}\) (dix milliards) de fois plus intense que le poids. On peut donc négliger le poids sans la moindre hésitation dans ce type de problème.

Qu'est-ce qu'une force conservative ?

Une force est dite conservative si son travail entre deux points A et B est indépendant du chemin suivi pour aller de A à B. C'est le cas de la force électrostatique et de la force de gravitation. Les forces de frottement, en revanche, ne sont pas conservatives : le travail dépend de la longueur du trajet.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une charge négative se déplace dans le sens du champ électrique. Le travail de la force électrostatique est :

Positif (moteur).
Négatif (résistant).
Nul.

2. Si on double la distance entre A et B sans changer la direction, le travail de la force électrostatique (dans un champ uniforme) :

Double.
Quadruple.
Reste identique.

Glossaire

Travail d'une Force (W): Énergie fournie par une force lorsqu'elle déplace son point d'application. Pour une force constante, \(W = \vec{F} \cdot \vec{AB}\). Se mesure en Joules (J).
Force Conservative: Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des points de départ et d'arrivée. Elle dérive d'une énergie potentielle.
Énergie Potentielle Électrique (Ep): Énergie que possède une charge du fait de sa position dans un champ électrique. Sa variation est l'opposé du travail de la force électrostatique : \(\Delta E_p = -W(\vec{F})\).
Différence de Potentiel (U ou V_A - V_B): Aussi appelée tension, c'est le travail de la force électrostatique par unité de charge pour déplacer une charge entre deux points. Se mesure en Volts (V).

Calcul du travail des forces électrostatiques

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Mouvement de la Charge

Questions à traiter

Correction : Calcul du travail des forces électrostatiques

Question 1 : Vecteur Force Électrostatique (\(\vec{F}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Travail de la Force (\(W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Différence de Potentiel (\(V_A - V_B\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 4 : Vitesse Finale du Proton

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive

Paramètres de la Simulation

Travail de la Force Électrostatique (J)

Pièges à Éviter

Pour Aller Plus Loin

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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Glossaire

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