Fonctionnement d'un électroscope

Contexte : Visualiser l'Invisible

L'électroscope est l'un des plus anciens instruments de mesure électrique. Son principe est simple mais puissant : il permet de détecter la présence d'une charge électrique et d'avoir une idée de sa quantité. Il est constitué d'une tige métallique conductrice à laquelle sont suspendues deux feuilles métalliques très légères (souvent en or ou en aluminium). Lorsqu'un objet chargé est mis en contact avec la tige, la charge se répartit sur tout le conducteur, y compris les deux feuilles. Celles-ci, portant alors des charges de même signe, se repoussent mutuellement en vertu de la loi de CoulombLoi fondamentale de l'électrostatique qui décrit la force d'interaction entre deux charges électriques ponctuelles.. L'angle de leur écartement est une mesure de la force de répulsion, et donc de la quantité de charge.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un exemple parfait de l'application des principes fondamentaux de la physique. Il combine l'électrostatique (loi de Coulomb) et la mécanique (équilibre des forces, trigonométrie) pour transformer une interaction invisible en une mesure visible et quantifiable (un angle).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Coulomb pour calculer une force de répulsion.
Réaliser un bilan des forces sur un système à l'équilibre.
Utiliser la trigonométrie pour projeter des forces sur des axes.
Établir une relation entre une grandeur électrique (charge) et une grandeur mécanique (angle).
Comprendre le principe de fonctionnement d'un instrument de mesure simple.

Données de l'étude

Un électroscope est chargé par contact. Ses deux feuilles, identiques, de longueur \(L = 5.0 \, \text{cm}\) et de masse \(m = 0.10 \, \text{g}\), s'écartent et font un angle \(\alpha = 30^\circ\) avec la verticale. On modélise chaque feuille comme une tige rigide et on suppose que toute la charge \(q\) de chaque feuille est concentrée à son extrémité inférieure.

Schéma de l'Électroscope Chargé

Données :

Constante de Coulomb : \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}\)
Intensité de la pesanteur : \(g = 9.8 \, \text{N/kg}\)

Questions à traiter

Faire le bilan des forces s'exerçant sur une des feuilles (par exemple, celle de droite) et les représenter sur un schéma.
En appliquant la condition d'équilibre, établir une relation entre la norme de la force électrique \(F_e\), le poids \(P\) de la feuille et l'angle \(\alpha\).
Calculer la valeur de la force électrique \(F_e\).
En déduire la valeur de la charge \(q\) sur chaque feuille, puis la charge totale \(Q\) déposée sur l'électroscope.

Correction : Le fonctionnement d'un électroscope

Question 1 : Bilan des Forces

Principe :

La feuille, à l'équilibre, est soumise à trois forces : son poids \(\vec{P}\), vertical et vers le bas ; la force de répulsion électrostatique \(\vec{F}_e\), exercée par l'autre feuille, horizontale et vers la droite ; la tension du fil (ou la force de liaison au pivot) \(\vec{T}\), dirigée le long de la feuille.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Un bilan des forces correct est la première étape indispensable de tout problème de statique. Il faut identifier toutes les interactions (contact ou à distance) subies par l'objet d'étude et les représenter par des vecteurs.

Formule(s) / Concepts Clés :

Identification des forces : Poids (\(\vec{P}\)), Force électrique (\(\vec{F}_e\)), Tension (\(\vec{T}\)).

Donnée(s) :

Cette question est descriptive et ne nécessite pas de données numériques.

Calcul(s) :

Pas de calcul numérique pour cette question descriptive.

Points de vigilance :

Ne pas oublier la tension : Une erreur commune est d'oublier la force de tension \(\vec{T}\). Sans elle, la feuille ne serait pas à l'équilibre car la somme du poids et de la force électrique ne peut pas être nulle.

Le saviez-vous ?

Résultat : La feuille est soumise à trois forces : son poids \(\vec{P}\), la force électrique \(\vec{F}_e\) et la tension \(\vec{T}\).

Question 2 : Relation entre les Forces

Principe :

À l'équilibre, la somme vectorielle des forces s'exerçant sur la feuille est nulle (\(\vec{P} + \vec{F}_e + \vec{T} = \vec{0}\)). En projetant cette équation vectorielle sur les axes horizontal (x) et vertical (y), on obtient deux équations scalaires. En combinant ces deux équations, on peut éliminer la tension \(\vec{T}\) (qui est une inconnue) et trouver une relation directe entre \(F_e\), \(P\) et l'angle \(\alpha\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La projection de vecteurs est une technique mathématique fondamentale en physique. Elle permet de transformer un problème vectoriel complexe en un système d'équations algébriques plus simples à résoudre.

Formule(s) utilisée(s) :

\sum \vec{F} = \vec{0} \Rightarrow \begin{cases} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \end{cases}

\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Donnée(s) :

Projection de \(\vec{T}\) : \(T_x = -T \sin(\alpha)\) et \(T_y = T \cos(\alpha)\).
Projection de \(\vec{P}\) : \(P_x = 0\) et \(P_y = -P\).
Projection de \(\vec{F}_e\) : \(F_{ex} = F_e\) et \(F_{ey} = 0\).

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{Sur (Ox) : } & F_e - T \sin(\alpha) = 0 &\Rightarrow F_e = T \sin(\alpha) \\ \text{Sur (Oy) : } & T \cos(\alpha) - P = 0 &\Rightarrow P = T \cos(\alpha) \end{aligned} \] En divisant la première équation par la seconde : \[ \begin{aligned} \frac{F_e}{P} &= \frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} \\ \frac{F_e}{P} &= \tan(\alpha) \\ F_e &= P \tan(\alpha) \end{aligned}

Points de vigilance :

Trigonométrie : Attention aux sinus et cosinus lors de la projection. L'angle \(\alpha\) est donné par rapport à la verticale. La projection de \(\vec{T}\) sur l'axe horizontal (opposé à \(\alpha\)) utilise donc \(\sin(\alpha)\), et sur l'axe vertical (adjacent à \(\alpha\)) utilise \(\cos(\alpha)\).

Le saviez-vous ?

Résultat : La relation liant les normes des forces est \(F_e = P \tan(\alpha)\).

Question 3 : Calcul de la Force Électrique \(F_e\)

Principe :

Maintenant que la relation \(F_e = P \tan(\alpha)\) est établie, il suffit de calculer la valeur du poids \(P\) de la feuille pour en déduire la valeur de la force électrique \(F_e\). Le poids est simplement le produit de la masse de la feuille et de l'intensité de la pesanteur \(g\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette étape est une application numérique directe. Elle met en évidence l'importance de travailler avec les bonnes unités pour obtenir un résultat cohérent. La masse doit être en kilogrammes pour que le poids soit en Newtons.

Formule(s) utilisée(s) :

P = m \times g

F_e = P \tan(\alpha)

Donnée(s) :

Masse \(m = 0.10 \, \text{g} = 0.10 \times 10^{-3} \, \text{kg}\)
Intensité de la pesanteur \(g = 9.8 \, \text{N/kg}\)
Angle \(\alpha = 30^\circ\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} P &= (0.10 \times 10^{-3}) \times 9.8 \\ &= 9.8 \times 10^{-4} \, \text{N} \\ \\ F_e &= (9.8 \times 10^{-4}) \times \tan(30^\circ) \\ &= (9.8 \times 10^{-4}) \times 0.577 \\ &\approx 5.66 \times 10^{-4} \, \text{N} \end{aligned}

Points de vigilance :

Mode de la Calculatrice : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour calculer la tangente de \(30^\circ\), et non en mode "radians" ou "grades", ce qui donnerait un résultat incorrect.

Le saviez-vous ?

Résultat : La force de répulsion électrique entre les deux feuilles est \(F_e \approx 5.66 \times 10^{-4} \, \text{N}\).

Question 4 : Calcul de la Charge \(q\)

Principe :

La force électrique \(F_e\) est due à la répulsion des deux charges \(q\) selon la loi de Coulomb. Il faut d'abord exprimer la distance \(d\) entre les deux charges en fonction de la longueur \(L\) des feuilles et de l'angle \(\alpha\). Ensuite, en utilisant la loi de Coulomb, on peut isoler et calculer la valeur de la charge \(q\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale qui relie la force, une grandeur mécanique intermédiaire, à la charge, la grandeur électrique que l'on cherche à mesurer. On "remonte" de l'effet (l'écartement) à la cause (la charge).

Formule(s) utilisée(s) :

F_e = k \frac{|q \times q|}{d^2} = k \frac{q^2}{d^2}

\sin(\alpha) = \frac{d/2}{L} \Rightarrow d = 2L\sin(\alpha)

Donnée(s) :

Force électrique \(F_e \approx 5.66 \times 10^{-4} \, \text{N}\)
Longueur \(L = 5.0 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
Angle \(\alpha = 30^\circ\)
Constante de Coulomb \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{1. Distance } d\text{ :}& \\ d &= 2 \times 0.05 \times \sin(30^\circ) \\ &= 2 \times 0.05 \times 0.5 \\ &= 0.05 \, \text{m} \\ \\ \text{2. Charge } q\text{ :}& \\ F_e &= k \frac{q^2}{d^2} \Rightarrow q^2 = \frac{F_e \times d^2}{k} \\ q^2 &= \frac{(5.66 \times 10^{-4}) \times (0.05)^2}{9.0 \times 10^9} \\ q^2 &= \frac{(5.66 \times 10^{-4}) \times (2.5 \times 10^{-3})}{9.0 \times 10^9} \\ q^2 &\approx 1.57 \times 10^{-16} \, \text{C}^2 \\ q &= \sqrt{1.57 \times 10^{-16}} \\ q &\approx 1.25 \times 10^{-8} \, \text{C} \quad (\text{ou } 12.5 \, \text{nC}) \end{aligned} \] La charge totale est \(Q = 2q\) \[ Q = 2 \times 12.5 \, \text{nC} = 25 \, \text{nC}

Points de vigilance :

Distance entre les charges : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser la longueur \(L\) comme distance dans la loi de Coulomb. La distance pertinente est la distance en ligne droite \(d\) entre les deux charges, qui doit être calculée par trigonométrie.

Le saviez-vous ?

Résultat : La charge sur chaque feuille est \(q \approx 12.5 \, \text{nC}\), et la charge totale déposée est \(Q \approx 25 \, \text{nC}\).

Simulation : Angle vs Charge

Faites varier la charge déposée sur l'électroscope et observez comment l'angle d'écartement des feuilles réagit. Les paramètres des feuilles sont ceux de l'exercice.

Paramètres de l'Expérience

Charge Totale Q (25 nC)

Angle par feuille α

Force Électrique F_e

Visualisation de l'Électroscope

Pièges à Éviter

Charge Totale vs Charge par Feuille : L'énoncé peut donner la charge totale \(Q\) déposée. Il faut bien penser à la diviser par deux pour obtenir la charge \(q\) de chaque feuille, qui est celle à utiliser dans la loi de Coulomb entre les deux feuilles.

Angle Total vs Angle avec la Verticale : L'angle entre les deux feuilles est \(2\alpha\). Les calculs trigonométriques se font avec l'angle \(\alpha\) par rapport à la verticale. Il faut bien lire l'énoncé pour savoir quel angle est donné.

Pour Aller Plus Loin

Électroscope à Condensateur : Pour augmenter la sensibilité, on peut fabriquer des électromètres plus complexes. L'un des plus connus est l'électromètre de Wulf, où la répulsion se fait entre deux fils tendus. Un autre est l'électromètre à quadrants de Kelvin, qui utilise les forces sur des "papillons" métalliques placés dans un champ électrique pour mesurer des tensions très faibles.

Le Saviez-Vous ?

Les électroscopes ont joué un rôle crucial dans la découverte de la radioactivité. Marie et Pierre Curie ont utilisé un électromètre très sensible pour mesurer les faibles courants d'ionisation produits par les matériaux radioactifs, leur permettant de quantifier l'activité de leurs échantillons et de découvrir le polonium et le radium.

Foire Aux Questions (FAQ)

Un électroscope peut-il déterminer le signe d'une charge ?

Oui. Si on charge d'abord l'électroscope avec une charge connue (par exemple, négative en frottant une tige d'ébonite), ses feuilles s'écartent. Si on approche ensuite un objet de charge inconnue, et que les feuilles s'écartent davantage, la charge est de même signe (négative). Si les feuilles se rapprochent, la charge est de signe opposé (positive).

Pourquoi utiliser des feuilles d'or ?

L'or est utilisé car il est extrêmement malléable. On peut le marteler en feuilles extraordinairement fines (jusqu'à 0,1 micromètre), ce qui les rend incroyablement légères. Cette légèreté est essentielle pour que la faible force électrostatique puisse vaincre le poids et provoquer un écartement visible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la charge totale Q sur l'électroscope, la force de répulsion Fe entre les feuilles est :

Doublée.
Quadruplée.
Reste la même.

2. On approche un objet chargé négativement d'un électroscope neutre (sans le toucher). Que se passe-t-il ?

Rien, car il n'y a pas de contact.
Les feuilles sont attirées par l'objet.
Les feuilles s'écartent.

Glossaire

Électroscope: Instrument permettant de détecter la présence de charge électrique sur un objet.
Loi de Coulomb: Loi décrivant la force électrostatique entre deux charges ponctuelles. La force est proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Équilibre Statique: État d'un système où la somme vectorielle de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nulle, entraînant une absence d'accélération.
Bilan des Forces: Action d'identifier et de lister toutes les forces externes s'appliquant sur un système physique étudié.

Fonctionnement d’un électroscope

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de l'Électroscope Chargé

Questions à traiter

Correction : Le fonctionnement d'un électroscope

Question 1 : Bilan des Forces

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) / Concepts Clés :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Relation entre les Forces

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul de la Force Électrique \(F_e\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 4 : Calcul de la Charge \(q\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation : Angle vs Charge

Paramètres de l'Expérience

Visualisation de l'Électroscope

Pièges à Éviter

Pour Aller Plus Loin

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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