Courant et tension dans un circuit CA résistif

L'expression de la tension source est donnée sous la forme \(v_s(t) = V_{max} \sin(\omega t)\).

Donnée : \(v_s(t) = 141.4 \sin(100\pi t) \text{ V}\)

Par identification directe :

• Valeur maximale : \(V_{max} = 141.4 \text{ V}\)
• Pulsation : \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\), et la période \(T\) est l'inverse de la fréquence \(T = 1/f\).

Donnée : \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

Calcul de la fréquence :

Calcul de la période :

Pour une tension sinusoïdale, la valeur efficace \(V_{eff}\) (ou \(V_s\)) est liée à la valeur maximale \(V_{max}\) par \(V_{eff} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}}\).

Donnée : \(V_{max} = 141.4 \text{ V}\)

On peut arrondir à \(100 \text{ V}\) (souvent \(141.4 \approx 100\sqrt{2}\)).

Pour une résistance pure, l'impédance \(Z_R\) est égale à la résistance \(R\) et n'a pas de partie imaginaire.

Donnée : \(R = 20 \, \Omega\)

Forme rectangulaire :

Forme polaire \(Z_R = |Z_R| \angle \phi_Z\) :

Le courant efficace est donné par la loi d'Ohm : \(I_{eff} = \frac{V_s}{|Z_R|}\). La phase du courant sera la même que celle de la tension moins la phase de l'impédance.

Données :
\(V_s \approx 100 \text{ V}\) (avec phase de référence \(0^\circ\), donc \(V_s = 100 \angle 0^\circ \text{ V}\))
\(Z_R = 20 \angle 0^\circ \, \Omega\)

L'expression temporelle du courant est de la forme \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_I)\), où \(I_{max} = I_{eff} \sqrt{2}\) et \(\phi_I\) est la phase du courant.

Données :
\(I_{eff} = 5 \text{ A}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
Phase du courant \(\phi_I = 0^\circ\) (car en phase avec \(V_s\))

Calcul de \(I_{max}\) :

Expression temporelle :

Le déphasage \(\phi\) est la différence entre la phase de la tension et la phase du courant : \(\phi = \phi_V - \phi_I\).

Données :
Phase de la tension source \(\phi_V = 0^\circ\) (par référence).
Phase du courant \(\phi_I = 0^\circ\) (calculé précédemment).

Un déphasage de \(0^\circ\) signifie que la tension et le courant sont parfaitement en phase.

La puissance active (ou réelle) dissipée par la résistance est \(P = V_s I_{eff} \cos(\phi)\) ou plus simplement \(P = I_{eff}^2 R\).

Données :
\(V_s \approx 100 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 5 \text{ A}\)
\(\phi = 0^\circ\)
\(R = 20 \, \Omega\)

Méthode 1 : \(P = V_s I_{eff} \cos(\phi)\)

Méthode 2 : \(P = I_{eff}^2 R\)

Pour un circuit purement résistif, la puissance réactive \(Q\) est nulle. La puissance apparente \(S\) est égale à la puissance active \(P\).

Données :
\(P = 500 \text{ W}\)
\(\phi = 0^\circ\)

Puissance Réactive :

Puissance Apparente :

Vérification : \(S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{(500)^2 + 0^2} = 500 \text{ VA}\).

Le facteur de puissance est \(FP = \cos(\phi)\).

Donnée : \(\phi = 0^\circ\)

Commentaire : Un facteur de puissance de 1 est idéal. Cela signifie que toute la puissance apparente fournie par la source est consommée sous forme de puissance active par la charge. Il n'y a pas de puissance réactive échangée.

On représente la tension source \(V_s\) et le courant \(I\) comme des vecteurs (phaseurs) dans le plan complexe. Puisqu'ils sont en phase, ils seront colinéaires.

Valeurs :
\(V_s = 100 \angle 0^\circ \text{ V}\)
\(I = 5 \angle 0^\circ \text{ A}\)

Circuit Résistif Pur :

Circuit électrique ne contenant que des éléments résistifs, sans inductance ni capacité significatives.

Impédance (\(Z_R\)) d'une Résistance :

Pour une résistance pure, \(Z_R = R\). C'est une valeur réelle, indiquant que la résistance s'oppose au courant de la même manière en continu et en alternatif, sans introduire de déphasage.

En Phase :

Se dit de deux signaux sinusoïdaux (comme la tension et le courant) qui atteignent leurs valeurs maximales, minimales et nulles en même temps. Leur déphasage est de \(0^\circ\).

Valeur Efficace :

Pour un courant ou une tension alternative, c'est la valeur d'un courant ou d'une tension continue qui produirait le même échauffement dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, \(X_{eff} = X_{max} / \sqrt{2}\).

Pulsation (\(\omega\)) :

Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).