Courant et Tension dans un Circuit CA Résistif
Contexte : Analyse d'un radiateur électrique domestique.
La majorité des appareils domestiques de forte puissance (radiateurs, fours, bouilloires, fers à repasser) fonctionnent comme des résistances pures. Ils convertissent intégralement l'énergie électrique en énergie thermique par effet Joule. Comprendre le comportement du courant alternatif (CA) dans ces dispositifs est la base fondamentale de l'électrotechnique domestique. Dans cet exercice, nous analyserons un radiateur branché sur le secteur 230 \(\text{V}\) standard.
Remarque Pédagogique : En régime continu (DC), la tension est constante. En régime alternatif (AC), la tension oscille 50 fois par seconde. Cela introduit deux notions clés : la valeur maximale (le sommet de la vague) et la valeur efficace (la moyenne énergétique utile).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la différence fondamentale entre valeurs instantanées, maximales et efficaces.
- Savoir appliquer la loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour une charge résistive.
- Maîtriser le calcul de la puissance instantanée et comprendre sa pulsation.
- Savoir interpréter les normes de tension du réseau électrique.
Données de l'étude
Un radiateur électrique, modélisé par une résistance pure \(R\), est connecté au réseau électrique de distribution basse tension. Nous négligerons l'inductance et la capacité parasites du câblage.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Résistance du radiateur (\(R\)) | 46 \(\Omega\) |
| Tension d'alimentation (\(U_{\text{eff}}\)) | 230 \(\text{V}\) |
| Fréquence (\(f\))Nombre d'oscillations par seconde (Hertz). | 50 \(\text{Hz}\) |
Schéma du Circuit
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Efficace | \(U_{\text{eff}}\) | 230 | \(\text{V}\) |
| Résistance | \(R\) | 46 | \(\Omega\) |
Questions à traiter
- Calculer la pulsation \(\omega\) et la période \(T\) du signal.
- Calculer la valeur maximale de la tension \(U_{\text{max}}\).
- Déterminer la valeur maximale du courant \(I_{\text{max}}\).
- En déduire la valeur efficace du courant \(I_{\text{eff}}\).
- Donner l'expression de la puissance instantanée \(p(t)\) à \(t=0\).
Les bases théoriques
En régime sinusoïdal forcé, les grandeurs électriques varient périodiquement selon une fonction sinus. Pour maîtriser ce sujet, il faut distinguer trois concepts temporels.
1. Loi d'Ohm en AC (Instantanée)
La résistance est un composant passif qui ne stocke pas d'énergie. Par conséquent, la tension à ses bornes \(u(t)\) et le courant qui la traverse \(i(t)\) évoluent exactement en même temps (on dit qu'ils sont en phase). La loi d'Ohm reste vraie à chaque microseconde.
Loi d'Ohm Instantanée
2. Valeurs Efficaces (RMS)
C'est la grandeur la plus importante en électrotechnique. Une tension efficace de 230 \(\text{V}\) AC produit exactement la même chaleur dans une résistance qu'une tension continue de 230 \(\text{V}\) DC. C'est la "valeur équivalente thermique".
Relation Max / Efficace
3. Pulsation et Temps
Le réseau ne "tourne" pas, mais l'alternateur qui produit l'électricité, si. La pulsation \(\omega\) représente la vitesse de rotation de cet alternateur virtuel en radians par seconde.
Tension Sinusoïdale
Correction : Courant et Tension dans un Circuit CA Résistif
Question 1 : Pulsation et Période
Principe
Pour décrire mathématiquement une onde sinusoïdale, nous avons besoin de définir sa vitesse d'évolution. La fréquence \(f\) (nombre de cycles par seconde) nous permet de déduire la pulsation \(\omega\) (vitesse angulaire) et la période \(T\) (durée d'un motif).
Mini-Cours
La période est l'inverse de la fréquence. Si le courant change de sens 50 fois par seconde (aller-retour), un cycle complet dure un cinquantième de seconde. Imaginez une roue de vélo qui fait 50 tours par seconde : sa vitesse de rotation est la pulsation.
Remarque Pédagogique
En physique, \(\omega\) est systématiquement utilisé dans les formules trigonométriques (\(\sin(\omega t)\)) car les fonctions sinus prennent des angles (radians) en argument, pas des secondes.
Normes
La norme européenne EN 50160 impose une fréquence de 50 \(\text{Hz}\) +/- 1% pour le réseau de distribution publique.
Formule(s)
Formules utilisées
Pulsation et Période
Hypothèses
Le signal est considéré parfaitement périodique et la fréquence du réseau est strictement stable à 50 \(\text{Hz}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(f\) | 50 | \(\text{Hz}\) |
Astuces
Moyen mnémotechnique : \(2 \times \pi \approx 6.28\). Donc \(\omega \approx 6.28 \times 50 \approx 314\).
Représentation Temporelle
Calcul(s)
Calcul de la pulsation
Nous partons de la fréquence \(f=50 \text{ Hz}\). La formule de la pulsation est \(\omega = 2\pi f\). En remplaçant \(f\) par sa valeur :
Le résultat est exprimé en radians par seconde (rad/s). C'est la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel associé.
Calcul de la période
La période \(T\) est simplement l'inverse de la fréquence. C'est la durée d'un cycle complet :
On obtient 0.02 seconde. Pour une lecture plus aisée, on convertit en millisecondes en multipliant par 1000 : \(0.02 \times 1000 = 20 \text{ ms}\).
Validation des Résultats
Réflexions
Ces valeurs (314 \(\text{rad/s}\) et 20 \(\text{ms}\)) sont des constantes absolues pour tout électricien travaillant sur le réseau européen.
Points de vigilance
Attention aux calculatrices réglées en degrés ! Ici, \(\omega\) est en radians. Assurez-vous que votre calculatrice est en mode RAD si vous calculez des sinus.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(f = 50 \text{ Hz}\)
- \(T = 20 \text{ ms}\)
- \(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\)
Le saviez-vous ?
Le choix de 50 \(\text{Hz}\) (Europe) vs 60 \(\text{Hz}\) (USA) est historique. Le 60 \(\text{Hz}\) permet des moteurs légèrement plus rapides et des transformateurs plus petits, mais augmente les pertes en ligne sur de très longues distances.
FAQ
La fréquence change-t-elle ?
Très légèrement. Le gestionnaire de réseau (RTE en France) ajuste en permanence la production pour maintenir 50.00 \(\text{Hz}\). Une baisse signifie que le réseau est surchargé.
A vous de jouer
Dans l'aéronautique, on utilise du 400 \(\text{Hz}\) pour réduire la taille des transfos. Quelle est la période T correspondante ?
📝 Mémo
Plus la fréquence est élevée, plus la période est courte.
Question 2 : Tension Maximale \(U_{\text{max}}\)
Principe
Quand on dit "le secteur est à 230 \(\text{V}\)", on parle de la valeur efficace. Mais physiquement, la tension oscille entre une valeur positive maximale \(+U_{\text{max}}\) et une valeur négative minimale \(-U_{\text{max}}\). Il faut calculer cette crête pour savoir, par exemple, si l'isolant du câble va tenir.
Mini-Cours
La tension efficace \(U_{\text{eff}}\) est définie statistiquement (Racine Moyenne Carrée - Root Mean Square). Pour une sinusoïde parfaite, le rapport entre la pointe et l'efficace est toujours constant : c'est \(\sqrt{2}\).
Remarque Pédagogique
C'est \(U_{\text{max}}\) qui est dangereuse pour les composants électroniques (claquage de condensateur) et pour l'isolation des câbles.
Normes
La norme IEC 60038 a harmonisé les tensions européennes à 230 \(\text{V}\) (monophasé) / 400 \(\text{V}\) (triphasé). Les tolérances acceptées sont généralement de +/- 10%.
Formule(s)
Formules utilisées
Relation Max / Efficace
Hypothèses
On suppose que la tension du secteur est une sinusoïde parfaite, sans distorsion harmonique (pas de "bruit" sur la ligne).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Efficace | \(U_{\text{eff}}\) | 230 | \(\text{V}\) |
Astuces
\(\sqrt{2}\) vaut environ 1.414. Pour un calcul mental rapide, augmentez la valeur efficace de 40% environ (230 + 92 = 322V).
Visualisation Umax vs Ueff
Calcul(s)
Application numérique
On effectue le produit de la tension efficace par \(\sqrt{2}\) :
Nous obtenons environ 325 \(\text{V}\). C'est la tension de crête que l'isolant du câble doit supporter sans claquer.
Validation
Réflexions
C'est une valeur élevée ! C'est pourquoi on dit que le 230 \(\text{V}\) est dangereux. L'isolation des câbles domestiques est souvent prévue pour 500 \(\text{V}\) ou 750 \(\text{V}\) pour avoir une marge de sécurité par rapport à cette crête.
Points de vigilance
Si vous utilisez un oscilloscope, vous lirez 325 \(\text{V}\) (ou 650 \(\text{V}\) crête-à-crête). Si vous utilisez un multimètre, vous lirez 230 \(\text{V}\). Ne confondez pas les instruments !
Points à Retenir
La tension crête est toujours supérieure à la tension efficace.
Le saviez-vous ?
Le record de tension sur une ligne de transport est d'environ 1 100 000 \(\text{V}\) (1.1 \(\text{MV}\)) en Chine.
FAQ
Pourquoi utiliser Ueff et pas Umax ?
Parce que Ueff permet de calculer la puissance (chaleur, lumière) directement, comme si c'était du courant continu. C'est plus pratique pour les ingénieurs.
A vous de jouer
Sur un oscilloscope, je lis une amplitude max de 170 \(\text{V}\). Quelle est la tension efficace (réseau US) ?
📝 Mémo
\(U_{\text{max}}\) pour l'isolant, \(U_{\text{eff}}\) pour la facture.
Question 3 : Courant Maximal \(I_{\text{max}}\)
Principe
Maintenant que nous connaissons la tension maximale appliquée aux bornes du radiateur, nous pouvons calculer le courant maximal qui va le traverser. Dans une résistance, il n'y a aucun retard : le courant suit instantanément la tension.
Mini-Cours
Loi d'Ohm généralisée : En AC, on divise normalement la tension par l'impédance \(Z\). Pour une résistance pure, l'impédance \(Z\) est simplement égale à \(R\). Donc \(I = U/R\).
Remarque Pédagogique
Puisque \(u(t)\) et \(i(t)\) sont synchronisés (en phase), le pic de courant arrive exactement au moment du pic de tension.
Normes
La résistance du radiateur doit être capable de dissiper l'énergie sans fondre. Le courant max définit aussi les contraintes magnétiques (forces entre les fils), bien que faibles à ce niveau.
Formule(s)
Formules utilisées
Loi d'Ohm (Valeurs Max)
Hypothèses
On suppose que la résistance de 46 \(\Omega\) est constante. En réalité, une résistance augmente légèrement quand elle chauffe, mais nous négligeons cet effet ici.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Max | \(U_{\text{max}}\) | 325.27 | \(\text{V}\) |
| Résistance | \(R\) | 46 | \(\Omega\) |
Astuces
Toujours vérifier la cohérence : Une grande tension sur une petite résistance donne un grand courant. Si vous trouvez des milliampères pour un radiateur, c'est louche !
Synchronisme U et I
Calcul(s)
Application Numérique
Nous appliquons la loi d'Ohm \(U=RI\). Puisque nous cherchons le courant *maximal*, nous devons utiliser la tension *maximale* calculée précédemment :
Les unités : Volts divisés par Ohms donnent des Ampères. Le courant atteint donc des pics de 7.07 \(\text{A}\) à chaque alternance.
Validation
Réflexions
C'est la valeur instantanée la plus forte qui traversera le fil. Le disjoncteur doit supporter ces pics répétés sans sauter (ce qui est le cas pour un disjoncteur thermique standard).
Points de vigilance
Erreur fréquente : utiliser \(U_{\text{eff}}\) pour calculer \(I_{\text{max}}\). Cela donnerait un résultat faux (trop faible). Respectez la cohérence Max-Max.
Points à Retenir
La loi d'Ohm relie les Max avec les Max, et les Efficaces avec les Efficaces. Ne mélangez pas les "familles".
Le saviez-vous ?
Dans un court-circuit, R tend vers 0, donc I tend vers l'infini, ce qui déclenche la protection magnétique du disjoncteur instantanément.
FAQ
Et si c'était une bobine ?
Si c'était une bobine, le courant maximal arriverait *après* la tension maximale (déphasage). Le calcul serait plus complexe (Z au lieu de R).
A vous de jouer
Si la résistance est divisée par 2 (23 \(\Omega\)), que devient le courant maximal (avec Umax=325V) ?
📝 Mémo
Loi d'Ohm : simple et directe pour R.
Question 4 : Courant Efficace \(I_{\text{eff}}\)
Principe
Nous avons calculé le courant de pointe. Mais pour choisir la section du câble d'alimentation ou estimer la facture d'électricité, nous avons besoin du courant "équivalent", c'est-à-dire la valeur efficace. C'est la valeur moyenne quadratique.
Mini-Cours
Définition RMS : Pour une grandeur périodique \(i(t)\), la valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré du signal : \(I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) dt}\). Pour un sinus, cela se simplifie heureusement en divisant le max par \(\sqrt{2}\).
Remarque Pédagogique
Vous pouvez trouver \(I_{\text{eff}}\) de deux manières : soit en redescendant depuis \(I_{\text{max}}\), soit en appliquant la loi d'Ohm directement aux valeurs efficaces (le plus simple !).
Normes
La norme NF C 15-100 (installations électriques) utilise exclusivement des courants efficaces pour définir les calibres des disjoncteurs (10 \(\text{A}\), 16 \(\text{A}\), 20 \(\text{A}\), 32 \(\text{A}\)...).
Formule(s)
Formules utilisées
Méthode 1 : Conversion
Méthode 2 : Loi d'Ohm Efficace
Hypothèses
Le courant est parfaitement sinusoïdal.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(I_{\text{max}}\) (calculé) | 7.07 \(\text{A}\) |
| \(U_{\text{eff}}\) (donné) | 230 \(\text{V}\) |
| \(R\) | 46 \(\Omega\) |
Astuces
Utilisez la méthode 2 (\(U_{\text{eff}}/R\)) en priorité. Elle utilise les données de l'énoncé (exactes) plutôt que votre résultat précédent (approximatif), réduisant ainsi les erreurs d'arrondi.
Niveau Efficace vs Max
Calcul(s)
Calcul par la méthode directe (recommandée)
La méthode la plus robuste consiste à utiliser les données de l'énoncé (valeurs efficaces) avec la loi d'Ohm :
Vérification par la méthode de conversion
On peut aussi vérifier ce résultat en divisant le courant maximal par \(\sqrt{2}\), car le courant est lui aussi sinusoïdal :
Les deux méthodes donnent le même résultat de 5 \(\text{A}\). C'est ce courant qui provoquera l'échauffement moyen du radiateur.
Validation
Réflexions
Un courant de 5 \(\text{A}\) correspond à une puissance de \(230 \times 5 = 1150 \text{ W}\). C'est typique d'un radiateur d'appoint moyenne puissance.
Points de vigilance
Même si la valeur est "5 Ampères", n'oubliez pas que le courant passe par zéro 100 fois par seconde !
Points à Retenir
\(I_{\text{eff}}\) est la valeur "utile" qui sert à tout dimensionner.
Le saviez-vous ?
Les ampèremètres à aiguille bas de gamme mesurent la moyenne redressée et la multiplient par 1.11 pour "deviner" l'efficace. Les multimètres "True RMS" calculent la vraie intégrale mathématique.
FAQ
Quel câble utiliser pour 5A ?
Un câble de 1.5mm² supporte jusqu'à 16A. Donc pour 5A, du 1.5mm² est largement suffisant.
A vous de jouer
Si vous branchez deux radiateurs identiques en parallèle, quel sera le courant total efficace consommé ?
📝 Mémo
I eff = Ce que vous mesurez. I max = Ce qui existe vraiment en crête.
Question 5 : Puissance instantanée à \(t=0\)
Principe
La puissance instantanée \(p(t)\) représente l'énergie consommée par le radiateur à un instant précis \(t\). Contrairement au courant continu où la puissance est constante, en alternatif, la puissance "pulse".
Mini-Cours
Mathématiquement, \(p(t) = P \cdot (1 - \cos(2\omega t))\). La puissance instantanée oscille entre 0 et \(P_{\text{max}}\) à une fréquence double de celle du réseau (100 \(\text{Hz}\)). La moyenne de cette oscillation est la puissance active \(P\).
Remarque Pédagogique
Nous avons défini l'origine des temps \(t=0\) comme le moment où la tension passe par zéro en montant (début du cycle sinus).
Normes
Aucune norme spécifique, c'est une loi physique fondamentale.
Formule(s)
Formules utilisées
Puissance Instantanée
Valeurs à t=0
Hypothèses
Charge purement résistive (pas de déphasage).
- \(\varphi = 0\) (en phase)
Donnée(s)
| Paramètre | Formule |
|---|---|
| Tension à t=0 | \(325 \times 0\) |
| Courant à t=0 | \(7.07 \times 0\) |
Astuces
Rappelez-vous : \(\sin(0) = 0\). Si la tension est nulle, le courant est nul (dans R), donc le produit est nul.
Le Point Zéro
Calcul(s)
Valeurs instantanées
Au temps \(t=0\), l'angle de la sinusoïde est \(\omega \times 0 = 0\) radian. Calculons la tension instantanée :
La résistance ne crée pas de déphasage. Le courant suit donc exactement la tension et s'annule au même moment :
Produit
La puissance instantanée est le produit de ces deux valeurs :
Mathématiquement, \(0 \times 0 = 0\). Physiquement, cela signifie qu'à l'instant précis où la tension s'inverse, aucune énergie n'est dissipée.
Validation
Réflexions
Cela signifie qu'à cet instant précis, le radiateur ne consomme rien du tout. Quelques millisecondes plus tard, la puissance augmentera pour atteindre son pic, puis redescendra à zéro. Ce cycle se produit 100 fois par seconde.
Points de vigilance
Ne dites pas "le radiateur ne chauffe pas". Il chauffe en moyenne, mais sa consommation est pulsée.
Points à Retenir
En monophasé, la puissance instantanée s'annule périodiquement. En triphasé équilibré, la somme des puissances est constante (c'est la magie du triphasé !).
Le saviez-vous ?
C'est l'inertie thermique de la résistance (la matière met du temps à refroidir) qui fait que le radiateur reste chaud en permanence et ne "clignote" pas thermiquement.
FAQ
La température oscille-t-elle ?
Oui, à l'échelle microscopique, la température du filament oscille très légèrement à 100 \(\text{Hz}\), mais c'est imperceptible.
A vous de jouer
Quelle est la puissance MOYENNE (constante) consommée ? \(P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\)
📝 Mémo
P (moyenne) est ce qu'on paye. p(t) est la réalité physique instantanée.
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées et leur relation de phase.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Synthèse pour les circuits résistifs en courant alternatif :
-
🔑
Point Clé 1 : Loi d'Ohm Universelle
Pour une résistance, \(U=RI\) est vrai pour les valeurs instantanées, maximales ET efficaces. -
📐
Point Clé 2 : Phase et Zéro
Le courant et la tension s'annulent au même moment. Il n'y a pas de décalage temporel (déphasage nul). -
⚠️
Point Clé 3 : Efficace vs Max
Le rapport est toujours \(\sqrt{2}\). \(U_{\text{eff}}\) pour la puissance, \(U_{\text{max}}\) pour l'isolation. -
💡
Point Clé 4 : Puissance Pulsée
La puissance instantanée oscille, mais la puissance moyenne est stable et vaut \(P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\).
🎛️ Simulateur : Loi d'Ohm en AC
Modifiez la résistance et la tension pour observer l'impact sur le courant et la puissance moyenne.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quel est le déphasage dans une résistance pure ?
2. Quelle tension utilise-t-on pour calculer la puissance moyenne ?
📚 Glossaire
- Tension Efficace
- Valeur de tension AC produisant le même effet thermique qu'une tension DC équivalente.
- Période (T)
- Durée minimale au bout de laquelle le signal se répète (en secondes).
- Fréquence (f)
- Nombre de répétitions du signal par seconde (en Hertz).
- Amplitude
- Écart maximal par rapport à la valeur moyenne (0). Correspond à \(U_{\text{max}}\).
- Phase
- État d'avancement du cycle à un instant donné. "En phase" signifie synchronisé.
Le Saviez-vous ?
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