Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure
Contexte : Les filtres électroniquesCircuits qui modifient l'amplitude ou la phase d'un signal en fonction de sa fréquence. Ils sont essentiels en traitement du signal, audio, et télécommunications..
Les filtres passe-bas de type RC (Résistance-Condensateur) sont parmi les circuits les plus fondamentaux en électronique. Leur rôle est de laisser passer les signaux de basse fréquence tout en atténuant ceux de haute fréquence. Ce comportement est défini par une fréquence charnière, appelée fréquence de coupureFréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est réduite de moitié (-3 dB) par rapport à l'entrée. C'est la frontière entre la bande passante et la bande coupée.. Cet exercice vous guidera dans le calcul de cette fréquence clé pour un filtre donné.
Remarque Pédagogique : Comprendre comment calculer la fréquence de coupure est essentiel pour concevoir des circuits de filtrage, que ce soit pour des applications audio (égaliseurs), des alimentations électriques ou des systèmes de communication.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept de fréquence de coupure et de pulsation de coupureAussi appelée fréquence angulaire (\(\omega_c\)), elle est égale à \(2\pi f_c\) et s'exprime en radians par seconde. Elle est souvent utilisée dans les calculs théoriques..
- Savoir appliquer la formule de la fréquence de coupure pour un filtre RC.
- Maîtriser la conversion entre fréquence (\(f_c\)) et pulsation (\(\omega_c\)).
- Analyser l'influence des valeurs de R et C sur le comportement du filtre.
Données de l'étude
Schéma du Filtre Passe-Bas RC
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 4.7 | \(\text{k}\Omega\) |
| Capacité | \(C\) | 100 | \(\text{nF}\) |
Questions à traiter
- Calculer la pulsation de coupure (ou fréquence angulaire de coupure) \(\omega_c\) du filtre.
- En déduire la fréquence de coupure \(f_c\) à -3 dB.
- Quel est le gain en tension (\(|V_s / V_e|\)) à la fréquence de coupure ?
Les bases sur les Filtres RC
Un filtre RC utilise la propriété de l'impédanceL'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle généralise la notion de résistance aux circuits contenant des condensateurs et des bobines. d'un condensateur, qui varie avec la fréquence du signal. L'impédance d'un condensateur, notée \(Z_C\), diminue lorsque la fréquence augmente.
1. Impédance du Condensateur
L'impédance complexe d'un condensateur est donnée par la formule :
\[ Z_C = \frac{1}{jC\omega} \]
Où \(j\) est l'unité imaginaire, \(C\) la capacité et \(\omega\) la pulsation du signal en rad/s.
2. Fréquence de coupure à -3 dB
La fréquence de coupure \(f_c\)Fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est réduite de moitié (-3 dB) par rapport à l'entrée. C'est la frontière entre la bande passante et la bande coupée. est la fréquence pour laquelle la puissance du signal de sortie est la moitié de celle du signal d'entrée. Cela correspond à une atténuation de l'amplitude de la tension de -3 décibels (dB)Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux valeurs de puissance ou d'intensité. Une chute de 3 dB correspond à une division de la puissance par deux., soit un rapport \(|V_s/V_e| = 1/\sqrt{2}\). Pour un filtre RC, cette fréquence est atteinte lorsque la résistance R est égale au module de l'impédance du condensateur, c'est-à-dire \(R = |Z_C|\).
Correction : Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure
Question 1 : Calculer la pulsation de coupure \(\omega_c\)
Principe (le concept physique)
La pulsation de coupure \(\omega_c\)Aussi appelée fréquence angulaire, elle est égale à \(2\pi f_c\) et s'exprime en radians par seconde. Elle est souvent utilisée dans les calculs théoriques. est le point où le filtre commence à atténuer significativement le signal. Pour un filtre RC du premier ordre, ce point est défini comme la pulsation pour laquelle la résistance R est égale au module de l'impédance du condensateur C (\(R = 1/(C\omega_c)\)). C'est le pivot du comportement du filtre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation fondamentale qui lie la pulsation de coupure aux composants du circuit est simple et directe. Elle découle de l'analyse de la fonction de transfertRelation mathématique qui décrit le rapport entre la sortie et l'entrée d'un système en fonction de la fréquence. Pour un filtre, elle indique comment l'amplitude et la phase du signal sont modifiées. du circuit. Pour un filtre RC passe-bas, la pulsation de coupure est l'inverse du produit RC, souvent appelé "constante de tempsDans un circuit RC, le produit \(\tau = R \times C\). Elle caractérise la rapidité de réaction du circuit à un changement de tension." \(\tau\) (tau) du circuit.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez le circuit comme un "pont diviseur de tensionUn montage simple où la tension de sortie est une fraction de la tension d'entrée, déterminée par le rapport de deux impédances." dont l'un des éléments (le condensateur) change de "valeur" avec la fréquence. À la pulsation de coupure, la résistance et le condensateur ont "la même force" (leurs impédances ont le même module), ce qui explique pourquoi la tension de sortie est partagée d'une manière si particulière.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul fondamental, mais l'utilisation du radian par seconde (rad/s) comme unité pour la pulsation (fréquence angulaire) est une convention universelle du Système International d'unités (SI) en physique et en ingénierie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule clé pour la pulsation de coupure est la suivante.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul, nous considérons que les composants sont idéaux : la résistance est purement résistive sans effet capacitif ou inductif parasite, et le condensateur est un condensateur parfait sans résistance série (ESR) ni fuite.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous reprenons les valeurs de l'énoncé pour l'application numérique.
- \(R = 4.7 \ \text{k}\Omega\)
- \(C = 100 \ \text{nF}\)
Astuces (Pour aller plus vite)
Attention aux unités ! C'est le piège le plus courant. Avant tout calcul, il est impératif de convertir toutes les valeurs dans le Système International : les k\(\Omega\) en \(\Omega\) et les nF en F.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé est notre référence. Il montre clairement la disposition en série de R et C, et la mesure de la tension de sortie aux bornes de C, ce qui caractérise le filtre passe-bas.
Schéma du Filtre Passe-Bas RC
Calcul(s) (l'application numérique)
Nous appliquons la formule en convertissant d'abord les valeurs dans le Système International d'unités (Ohms et Farads) avant de procéder au calcul final.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne la pulsation de coupure. On peut la visualiser sur le diagramme de Bode du filtre, qui montre la chute du gain à partir de cette pulsation.
Position de ωc sur le diagramme de Bode
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une pulsation de coupure d'environ 2128 rad/s signifie que le filtre laissera passer sans grande atténuation les signaux dont la pulsation est bien inférieure à cette valeur. À l'inverse, les signaux avec une pulsation bien supérieure seront fortement atténués.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier les puissances de 10 lors de la conversion : \(1 \ \text{k}\Omega = 10^3 \ \Omega\) et \(1 \ \text{nF} = 10^{-9} \ \text{F}\). Une erreur ici peut décaler le résultat de plusieurs ordres de grandeur.
Points à retenir (maîtriser la question)
La formule à retenir est simple mais puissante :
- \(\omega_c = 1 / RC\)
- La pulsation de coupure est inversement proportionnelle à R et C : augmenter R ou C diminue la fréquence de coupure.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le produit \( \tau = R \cdot C \) est appelé la "constante de temps" du circuit. Elle représente le temps nécessaire pour que le condensateur se charge à environ 63% de la tension appliquée. Cette constante est fondamentale non seulement en filtrage, mais aussi dans l'étude des régimes transitoires des circuits.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pulsation de coupure du filtre est donc :
A vous de jouer (vérifier la compréhension)
Maintenant, à vous ! Calculez la nouvelle pulsation de coupure \(\omega_c\) si la résistance est changée pour \(R = 10 \ \text{k}\Omega\).
Question 2 : En déduire la fréquence de coupure \(f_c\)
Principe (le concept physique)
La fréquence, mesurée en Hertz (Hz), représente le nombre d'oscillations d'un signal par seconde. C'est une mesure plus intuitive que la pulsation pour de nombreuses applications pratiques. La conversion entre les deux est une simple mise à l'échelle basée sur le fait qu'un cycle complet correspond à \(2\pi\) radians.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(\omega = 2\pi f\) est l'une des plus fondamentales en physique ondulatoire et en électricité. Elle lie la description "angulaire" du mouvement (la pulsation \(\omega\), vitesse de rotation sur le cercle trigonométrique) à sa description "cyclique" (la fréquence \(f\), nombre de tours par seconde).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour ne jamais vous tromper de sens, souvenez-vous que la valeur de la pulsation (\(\omega\)) est toujours plus grande que celle de la fréquence (\(f\)) d'un facteur \(2\pi \approx 6.28\). Si votre calcul vous donne une fréquence plus grande que la pulsation, il y a une erreur.
Normes (la référence réglementaire)
Le Hertz (Hz)Unité de mesure de la fréquence, équivalente à un cycle par seconde. Nommée en l'honneur du physicien Heinrich Hertz., équivalent à un cycle par seconde (\(s^{-1}\)), est l'unité de fréquence du Système International d'unités (SI). Il a été nommé en l'honneur du physicien allemand Heinrich Hertz.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de conversion est la suivante :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. Nous nous basons sur les résultats et hypothèses de la question précédente.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons le résultat calculé à la question 1.
- \(\omega_c \approx 2127.66 \ \text{rad/s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour une estimation rapide, vous pouvez diviser la pulsation par 6. Le résultat sera une bonne approximation de la fréquence en Hertz. Pour ce cas : 2128 / 6.28 est proche de 2100 / 6 = 350.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre la relation entre la pulsation (vitesse angulaire) et la fréquence (nombre de tours par seconde) en utilisant l'analogie d'un cercle.
Relation entre Pulsation ω et Fréquence f
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule de conversion en utilisant la valeur de la pulsation de coupure calculée précédemment.
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme de Bode est maintenant gradué en Hertz sur l'axe des abscisses, ce qui est la représentation la plus courante, avec la position de notre fréquence de coupure calculée.
Position de fc sur le diagramme de Bode
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une fréquence de coupure de 338.6 Hz signifie que les signaux en dessous de cette fréquence (par exemple, des basses fréquences audio) passeront à travers le filtre, tandis que les signaux bien au-dessus (des aigus) seront bloqués. Ce filtre pourrait par exemple servir à isoler les basses dans un système audio.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de multiplier par \(2\pi\) au lieu de diviser. Assurez-vous d'isoler correctement \(f_c\) dans la relation \(\omega_c = 2\pi f_c\).
Points à retenir (maîtriser la question)
La conversion entre pulsation et fréquence est une compétence de base en électronique et en physique. Retenez :
- \(\omega = 2\pi f\)
- \(f = \omega / (2\pi)\)
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Heinrich Hertz, qui a donné son nom à l'unité de fréquence, fut le premier à prouver de manière concluante l'existence des ondes électromagnétiques théorisées par James Clerk Maxwell. Ses expériences ont jeté les bases de la radio, de la télévision et de toutes les télécommunications sans fil.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici une question fréquente.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fréquence de coupure du filtre est :
A vous de jouer (vérifier la compréhension)
Si un autre filtre a une pulsation de coupure \(\omega_c = 1000 \ \text{rad/s}\), quelle est sa fréquence de coupure \(f_c\) en Hz ?
Question 3 : Gain en tension à la fréquence de coupure
Principe (le concept physique)
Par définition, la fréquence de coupure est le moment où la puissance du signal de sortie est la moitié de la puissance d'entrée. Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P = V^2/R\)), une division de la puissance par 2 correspond à une division de la tension par \(\sqrt{2}\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le gain en tension complexe du filtre est \(G(j\omega) = V_s/V_e = 1 / (1 + jRC\omega)\). À la pulsation de coupure, \(\omega_c = 1/RC\), donc \(G(j\omega_c) = 1 / (1 + j)\). Le module de ce nombre complexe est \(|G| = |1| / |1+j| = 1 / \sqrt{1^2+1^2} = 1/\sqrt{2}\). Ce résultat est une caractéristique fondamentale de tous les filtres du premier ordre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une question de définition. La réponse ne dépend pas des valeurs de R et C. Que le filtre coupe à 10 Hz ou à 10 MHz, si c'est un filtre RC du premier ordre, son gain en tension à la fréquence de coupure sera toujours \(1/\sqrt{2}\).
Normes (la référence réglementaire)
La définition de la bande passanteLa plage de fréquences sur laquelle un système (comme un filtre) opère de manière efficace. Pour un filtre passe-bas, elle va de 0 Hz à la fréquence de coupure. à -3 dB est une norme de facto dans tous les domaines de l'ingénierie (électronique, acoustique, mécanique). Elle fournit un critère commun et comparable pour définir la "limite" de fonctionnement d'un système.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le gain linéaire et le gain en décibels (dB) sont liés.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que le circuit se comporte bien comme un filtre du premier ordre, ce qui est vrai pour notre montage RC idéal.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Aucune donnée numérique n'est requise. La question porte sur une propriété théorique du filtre à sa fréquence de coupure.
Astuces (Pour aller plus vite)
Mémorisez la valeur : \(-3 \ \text{dB} \Leftrightarrow \text{Puissance} / 2 \Leftrightarrow \text{Tension} / \sqrt{2}\). La valeur numérique associée est \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
Schéma (Avant les calculs)
Un diagramme de Bode est le plus parlant. Il montre la courbe de gain qui passe exactement par le point (-3 dB) à la fréquence \(f_c\).
Gain d'un filtre passe-bas
Calcul(s) (l'application numérique)
Le calcul consiste simplement à évaluer la constante mathématique qui définit le gain à -3 dB.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma précédent est complété en indiquant la valeur du gain linéaire (0.707) qui correspond au point de coupure à -3 dB.
Gain linéaire et en dB à la fréquence de coupure
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cela signifie qu'à la fréquence de coupure, l'amplitude de la tension de sortie n'est plus que de 70.7% de celle de l'entrée. Le signal est déjà notablement atténué.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le gain linéaire (sans unité, ici 0.707) et le gain en décibels (-3 dB). Les deux représentent la même chose mais sur des échelles différentes.
Points à retenir (maîtriser la question)
À la fréquence de coupure \(f_c\) d'un filtre du premier ordre :
- Le gain en puissance est de 50% (1/2).
- Le gain en tension est de 70.7% (\(1/\sqrt{2}\)).
- Le gain en décibels est de -3 dB.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le décibel (dB) a été inventé par les ingénieurs des Bell Telephone Laboratories pour quantifier la perte de signal dans les câbles téléphoniques. Son échelle logarithmique est particulièrement bien adaptée à la perception humaine, que ce soit pour le son (décibels acoustiques) ou la lumière.
FAQ (pour lever les doutes)
Une question courante à ce sujet :
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le gain en tension à la fréquence de coupure est :
A vous de jouer (vérifier la compréhension)
Si un signal de 5V est appliqué à l'entrée de notre filtre, quelle sera la tension en sortie si la fréquence du signal est exactement la fréquence de coupure \(f_c\) ?
Outil Interactif : Simulateur de Filtre RC
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier les valeurs de la résistance et de la capacité, et observez en temps réel comment la fréquence de coupure et la courbe de réponse du filtre sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la valeur de la résistance R est doublée, comment la fréquence de coupure \(f_c\) évolue-t-elle ?
2. À la fréquence de coupure \(\omega_c\), quel est le déphasageLe décalage temporel (exprimé en degrés ou radians) entre deux ondes de même fréquence. Pour un filtre RC, il représente le retard de la tension de sortie par rapport à l'entrée. de la tension de sortie \(V_s\) par rapport à la tension d'entrée \(V_e\) pour un filtre passe-bas ?
Glossaire
- Fréquence de coupure (\(f_c\))
- La fréquence, en Hertz (Hz), à laquelle la puissance du signal de sortie d'un filtre est réduite de moitié (-3 dB) par rapport au signal d'entrée.
- Pulsation de coupure (\(\omega_c\))
- Aussi appelée fréquence angulaire, elle correspond à la fréquence de coupure mais est exprimée en radians par seconde (rad/s). La relation est \(\omega_c = 2\pi f_c\).
- Impédance (Z)
- Mesure de l'opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif. Elle est exprimée en Ohms (\(\Omega\)) et peut avoir une composante réelle (résistance) et imaginaire (réactance).
- Filtre Passe-Bas
- Un type de filtre qui laisse passer les signaux ayant une fréquence inférieure à sa fréquence de coupure et atténue les signaux de fréquences supérieures.
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