Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Force exercée par un dipôle électrique

Force exercée par un Dipôle Électrique

Force exercée par un Dipôle Électrique

Comprendre la Force exercée par un Dipôle Électrique

Un dipôle électrique est constitué de deux charges de signes opposés et de même magnitude, séparées par une petite distance. Bien que la charge nette d'un dipôle soit nulle, il crée un champ électrique dans l'espace environnant. Ce champ peut à son tour exercer une force sur d'autres charges. La force exercée par un dipôle sur une charge ponctuelle dépend de la magnitude de la charge ponctuelle, de la force et de l'orientation du dipôle, ainsi que de la position de la charge par rapport au dipôle. Le calcul de cette force se fait généralement en déterminant d'abord le champ électrique total créé par les deux charges du dipôle au point où se trouve la charge test, puis en appliquant la relation \(\vec{F} = Q \vec{E}\).

Données de l'étude

On considère un dipôle électrique constitué de deux charges ponctuelles :

  • Une charge \(q_1 = +2,0 \, \text{nC}\) située au point A \((0 \, \text{cm}; +1,0 \, \text{cm})\).
  • Une charge \(q_2 = -2,0 \, \text{nC}\) située au point B \((0 \, \text{cm}; -1,0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer la force électrique totale exercée par ce dipôle sur une charge ponctuelle \(Q_P = +3,0 \, \text{nC}\) située au point P de coordonnées \((4,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Dipôle Électrique et Charge Test
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q1 à A (0, +1cm) -> (125, 100-1*15=85) (échelle 1cm = 15px) */} q₁ (A) {/* Charge q2 à B (0, -1cm) -> (125, 100+1*15=115) */} q₂ (B) {/* Axe du dipôle */} {/* Point P (4cm, 0) -> (125+4*15, 100) = (185, 100) */} P Q_P {/* Vecteurs distance (approximatifs) */} r_AP r_BP {/* Vecteurs champ (direction qualitative) */} {/* E1 */} E₁ {/* E2 */} E₂ {/* E_P total approx vers -y */} E_P Dipôle électrique et charge test P

Configuration du dipôle (charges \(q_1, q_2\)) et de la charge test \(Q_P\) au point P.

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{AP}\) allant de la charge \(q_1\) (au point A) au point P, ainsi que sa norme \(r_{AP}\).
  2. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par la charge \(q_1\) au point P.
  3. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{BP}\) allant de la charge \(q_2\) (au point B) au point P, ainsi que sa norme \(r_{BP}\).
  4. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par la charge \(q_2\) au point P.
  5. Déterminer le vecteur champ électrique total \(\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\) créé par le dipôle au point P.
  6. Calculer la force électrique \(\vec{F}\) exercée par le dipôle sur la charge \(Q_P\) placée en P. Donner sa magnitude et sa direction (angle par rapport à l'axe des x positifs).
  7. Calculer le moment dipolaire \(\vec{p}\) de ce dipôle.

Correction : Force exercée par un Dipôle Électrique

Question 1 : Vecteur \(\vec{r}_{AP}\) et norme \(r_{AP}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{AP}\) est \(\vec{OP} - \vec{OA}\). Sa norme est \(r_{AP} = |\vec{r}_{AP}|\).

Données spécifiques :
  • Position de A (pour \(q_1\)) : \((0 \, \text{cm}; +1,0 \, \text{cm})\) \(\Rightarrow A(0; 0,01 \, \text{m})\)
  • Position de P : \((4,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\) \(\Rightarrow P(0,04 \, \text{m}; 0)\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{AP} &= (x_P - x_A)\hat{i} + (y_P - y_A)\hat{j} \\ &= (0,04 \, \text{m} - 0 \, \text{m})\hat{i} + (0 \, \text{m} - 0,01 \, \text{m})\hat{j} \\ &= 0,04\hat{i} - 0,01\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{AP} &= |\vec{r}_{AP}| \\ &= \sqrt{(0,04 \, \text{m})^2 + (-0,01 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0016 \, \text{m}^2 + 0,0001 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0017 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0,04123 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r}_{AP} = 0,04\hat{i} - 0,01\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{AP} = \sqrt{0,0017} \, \text{m} \approx 0,04123 \, \text{m}\)

Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par \(q_1\) en P

Principe :

\(\vec{E}_1 = k_e \frac{q_1}{r_{AP}^2} \hat{u}_{AP} = k_e \frac{q_1}{r_{AP}^3} \vec{r}_{AP}\).

Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(\vec{r}_{AP} = 0,04\hat{i} - 0,01\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{AP}^2 = 0,0017 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_1 &= (9,0 \times 10^9) \frac{2,0 \times 10^{-9}}{0,0017} (0,04\hat{i} - 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{18}{0,0017} (0,04\hat{i} - 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx 10588,235 \times (0,04\hat{i} - 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx (10588,235 \times 0,04)\hat{i} - (10588,235 \times 0,01)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &\approx 423,53\hat{i} - 105,88\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{E}_1 \approx 423,53\hat{i} - 105,88\hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 3 : Vecteur \(\vec{r}_{BP}\) et norme \(r_{BP}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{BP}\) est \(\vec{OP} - \vec{OB}\).

Données spécifiques :
  • Position de B (pour \(q_2\)) : \((0 \, \text{cm}; -1,0 \, \text{cm})\) \(\Rightarrow B(0; -0,01 \, \text{m})\)
  • Position de P : \((0,04 \, \text{m}; 0)\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{BP} &= (x_P - x_B)\hat{i} + (y_P - y_B)\hat{j} \\ &= (0,04 \, \text{m} - 0 \, \text{m})\hat{i} + (0 \, \text{m} - (-0,01 \, \text{m}))\hat{j} \\ &= 0,04\hat{i} + 0,01\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{BP} &= |\vec{r}_{BP}| \\ &= \sqrt{(0,04 \, \text{m})^2 + (0,01 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0016 \, \text{m}^2 + 0,0001 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0017 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0,04123 \, \text{m} \end{aligned} \]

Note : \(r_{BP} = r_{AP}\) en raison de la symétrie de P par rapport à l'axe x où se trouve le centre du dipôle.

Résultat Question 3 :
  • \(\vec{r}_{BP} = 0,04\hat{i} + 0,01\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{BP} = \sqrt{0,0017} \, \text{m} \approx 0,04123 \, \text{m}\)

Question 4 : Champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par \(q_2\) en P

Principe :

\(\vec{E}_2 = k_e \frac{q_2}{r_{BP}^2} \hat{u}_{BP} = k_e \frac{q_2}{r_{BP}^3} \vec{r}_{BP}\).

Données spécifiques :
  • \(q_2 = -2,0 \, \text{nC} = -2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(\vec{r}_{BP} = 0,04\hat{i} + 0,01\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{BP}^2 = 0,0017 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_2 &= (9,0 \times 10^9) \frac{-2,0 \times 10^{-9}}{0,0017} (0,04\hat{i} + 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{-18}{0,0017} (0,04\hat{i} + 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx -10588,235 \times (0,04\hat{i} + 0,01\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx (-10588,235 \times 0,04)\hat{i} - (10588,235 \times 0,01)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &\approx -423,53\hat{i} - 105,88\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{E}_2 \approx -423,53\hat{i} - 105,88\hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 5 : Champ électrique total \(\vec{E}_P\) au point P

Principe :

Principe de superposition : \(\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_P &= \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \\ &\approx (423,53\hat{i} - 105,88\hat{j}) + (-423,53\hat{i} - 105,88\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (423,53 - 423,53)\hat{i} + (-105,88 - 105,88)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= 0\hat{i} - 211,76\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= -211,76\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{E}_P \approx -211,76\hat{j} \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire : Pour un dipôle orienté le long de l'axe y et centré à l'origine, le champ électrique en un point sur l'axe x (plan équatorial) est :

Question 6 : Force électrique \(\vec{F}\) sur \(Q_P\)

Principe :

La force électrique est \(\vec{F} = Q_P \vec{E}_P\).

Données spécifiques :
  • \(Q_P = +3,0 \, \text{nC} = +3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(\vec{E}_P \approx -211,76\hat{j} \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F} &= (3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (-211,76\hat{j} \, \text{N/C}) \\ &= -635,28 \times 10^{-9} \hat{j} \, \text{N} \\ &\approx -6,35 \times 10^{-7} \hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]

Magnitude : \(|\vec{F}| \approx 6,35 \times 10^{-7} \, \text{N}\).

Direction : Le vecteur est \((0, -6,35 \times 10^{-7})\). Il est dirigé le long de l'axe des y négatifs. L'angle par rapport à l'axe des x positifs est de \(270^{\circ}\) ou \(-90^{\circ}\).

Résultat Question 6 :
  • \(\vec{F} \approx -6,35 \times 10^{-7} \hat{j} \, \text{N}\)
  • Magnitude : \(|\vec{F}| \approx 6,35 \times 10^{-7} \, \text{N}\)
  • Direction : \(270^{\circ}\) (ou \(-90^{\circ}\)) par rapport à l'axe des x positifs.

Question 7 : Moment dipolaire \(\vec{p}\)

Principe :

Le moment dipolaire \(\vec{p}\) est un vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive, et sa magnitude est \(p = |q|d\), où \(|q|\) est la magnitude de l'une des charges et \(d\) est la distance entre les charges.

Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\) en A\((0; 0,01 \, \text{m})\)
  • \(q_2 = -2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\) en B\((0; -0,01 \, \text{m})\)
  • Magnitude de la charge : \(|q| = 2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Vecteur \(\vec{d}\) de B vers A : \(\vec{d} = \vec{OA} - \vec{OB} = (0\hat{i} + 0,01\hat{j}) - (0\hat{i} - 0,01\hat{j}) = 0,02\hat{j} \, \text{m}\)
  • Distance \(d = |\vec{d}| = 0,02 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{p} &= |q| \vec{d} \\ &= (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (0,02\hat{j} \, \text{m}) \\ &= 4,0 \times 10^{-11} \hat{j} \, \text{C} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le moment dipolaire est \(\vec{p} = 4,0 \times 10^{-11} \hat{j} \, \text{C} \cdot \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un dipôle électrique est constitué de :

2. Le champ électrique créé par un dipôle électrique en un point éloigné (par rapport à la séparation des charges du dipôle) décroît généralement comme :

3. La force exercée sur une charge \(Q_P\) par un champ électrique \(\vec{E}\) est donnée par :

Glossaire

Dipôle Électrique
Système de deux charges électriques de même magnitude mais de signes opposés, séparées par une petite distance.
Moment Dipolaire (\(\vec{p}\))
Vecteur caractérisant un dipôle électrique. Il est dirigé de la charge négative vers la charge positive et sa magnitude est \(p = qd\), où \(q\) est la magnitude de l'une des charges et \(d\) la distance entre elles. Unité : Coulomb-mètre (C·m).
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
Force Électrique (\(\vec{F}\))
Force subie par une charge \(Q\) dans un champ électrique \(\vec{E}\), donnée par \(\vec{F} = Q\vec{E}\). Unité : Newton (N).
Principe de Superposition
Le champ électrique (ou la force) total créé par plusieurs charges est la somme vectorielle des champs (ou des forces) créés par chaque charge individuelle.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, \(k_e \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Force exercée par un Dipôle Électrique

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