Effets de la Fréquence sur l’Intensité dans un Circuit RLC
Contexte : Filtrage de fréquence et circuits d'accord.
Dans ce module, nous allons étudier comment un circuit composé d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur en série réagit à différentes fréquences. Ce comportement est la base des circuits d'accord (tuners) utilisés dans les récepteurs radio pour sélectionner une FréquenceNombre d'oscillations par seconde du signal alternatif (en Hz). spécifique tout en rejetant les autres.
Remarque Pédagogique : L'objectif est de comprendre le phénomène de résonance, où l'intensité du courant devient maximale pour une fréquence particulière appelée fréquence propre.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'impédance complexe d'un circuit RLC série.
- Comprendre l'influence de la fréquence sur les réactances inductive et capacitive.
- Déterminer la fréquence de résonance et calculer le courant maximal.
Données de l'étude
Nous considérons un circuit série RLC alimenté par un générateur de tension alternative sinusoïdale de fréquence variable \(f\).
Fiche Technique / Données Composants
| Composant | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | \(10\) | \(\Omega\) (Ohms) |
| Inductance | \(L\) | \(0.1\) | \(\text{H}\) (Henry) |
| Capacité | \(C\) | \(47\) | \(\mu\text{F}\) (Microfarad) |
| Tension efficace | \(U\) | \(12\) | \(\text{V}\) (Volts) |
Schéma du Circuit RLC Série
Questions à traiter
- Calculer la pulsation \(\omega\) pour une fréquence de 50 Hz.
- Calculer les réactances inductive (\(X_L\)) et capacitive (\(X_C\)) à 50 Hz.
- Déterminer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- En déduire l'intensité efficace \(I\).
- Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit.
Les bases théoriques
En courant alternatif, les composants réactifs (bobines et condensateurs) opposent au courant une résistance qui dépend de la fréquence, appelée RéactancePartie imaginaire de l'impédance, dépendante de la fréquence..
Impédance et Loi d'Ohm généralisée
L'impédance \(Z\) est la généralisation de la résistance en alternatif.
Avec :
- \(X_L = L\omega\) (Réactance inductive)
- \(X_C = \frac{1}{C\omega}\) (Réactance capacitive)
- \(\omega = 2\pi f\) (Pulsation en rad/s)
Courant Efficace
Correction : Effets de la Fréquence sur l’Intensité dans un Circuit RLC
Question 1 : Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
Principe
La pulsation \(\omega\) (oméga) représente la vitesse angulaire de rotation du vecteur de Fresnel associé à la tension ou au courant. Elle est directement proportionnelle à la fréquence.
Mini-Cours
La fréquence \(f\) indique le nombre de cycles par seconde (en Hertz). La pulsation \(\omega\) convertit cette fréquence en radians par seconde, ce qui est plus pratique pour les calculs trigonométriques.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas fréquence (Hz) et pulsation (rad/s). Le facteur \(2\pi\) vient du fait qu'un cycle complet correspond à un tour complet (\(360^\circ\) ou \(2\pi\) radians).
Normes
Système International (SI) : La pulsation s'exprime toujours en radians par seconde (rad/s).
Formule(s)
Relation fréquence-pulsation
Hypothèses
On suppose un signal sinusoïdal pur et une fréquence stable de 50Hz (standard européen).
Donnée(s)
Source des données : Ces valeurs proviennent de l'énoncé initial (fiche technique).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence secteur | \(f\) | 50 | \(\text{Hz}\) |
Astuces
Astuce de pro : En Europe (50 Hz), \(\omega \approx 314\) rad/s. En Amérique du Nord (60 Hz), \(\omega \approx 377\) rad/s. Retenir ces deux valeurs permet de vérifier instantanément vos calculs.
Analogie Mécanique : Rotation Vectorielle
Calcul(s)
Application Numérique
On remplace \(f\) par sa valeur numérique dans la formule :
On arrondit généralement à deux décimales pour la suite.
Résultat Validé
Réflexions
Cette valeur élevée montre que le signal varie "vite" en termes d'angle (plus de 50 tours par seconde).
Points de vigilance
Erreur classique : Oublier le \(2\pi\) et écrire \(\omega = 50\). Cela fausserait tous les calculs d'impédance suivants d'un facteur 6 !
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule \(\omega = 2\pi f\).
- L'unité est le radian par seconde.
- La valeur approximative \(314\) pour le réseau domestique.
Le saviez-vous ?
Pourquoi 50 Hz ? C'est un compromis historique. Une fréquence plus basse provoquerait un clignotement visible des ampoules, tandis qu'une fréquence plus haute augmenterait les pertes magnétiques dans les transformateurs et la réactance des lignes.
FAQ
Puis-je utiliser des degrés par seconde ?
Non. Les formules de physique (dérivées, intégrales, énergie) ne fonctionnent correctement qu'avec des radians. Les degrés sont une convention géométrique arbitraire.
A vous de jouer
Quelle serait la pulsation pour un signal haute fréquence de f = 1 kHz (1000 Hz) ?
📝 Mémo
314 pour 50 Hz, 377 pour 60 Hz.
Question 2 : Calcul des Réactances (\(X_L\) et \(X_C\))
Principe
La réactance est, en quelque sorte, la "résistance dynamique" qu'un composant oppose aux variations du courant. Contrairement à une résistance ohmique qui chauffe (effet Joule), une réactance stocke l'énergie temporairement (magnétique pour L, électrique pour C) et la renvoie au circuit, ce qui crée une opposition au flux sans perte d'énergie active.
Mini-Cours
Comportement Fréquentiel :
- Bobine (L) : Elle "n'aime pas" que le courant change. Plus la fréquence est élevée (changements rapides), plus elle s'oppose fort. Donc \(X_L\) augmente avec \(f\).
- Condensateur (C) : Il agit comme un réservoir flexible. À haute fréquence, il se charge et décharge très vite, laissant passer le courant facilement. À basse fréquence, il "sature" et bloque le courant. Donc \(X_C\) diminue quand \(f\) augmente.
Remarque Pédagogique
Imaginez \(X_L\) comme l'inertie d'un camion (difficile à bouger vite) et \(X_C\) comme la raideur d'un ressort (laisse passer les vibrations rapides mais bloque la pression constante).
Normes
L'unité de la réactance est l'Ohm (\(\Omega\)), car elle représente un rapport Tension/Courant (\(U = X \cdot I\)). C'est une grandeur scalaire positive.
Formule(s)
Réactance Inductive (Bobine)
Réactance Capacitive (Condensateur)
Hypothèses
On suppose des composants idéaux : la bobine n'a pas de résistance interne parasite, et le condensateur n'a pas de courant de fuite.
Donnée(s)
Source des données : Inductance et Capacité fixes de l'énoncé. La pulsation \(\omega\) provient du résultat de la Question 1.
| Composant | Valeur brute | Valeur SI | Pulsation |
|---|---|---|---|
| \(L\) | 0.1 H | 0.1 H | \(314.16 \ \text{rad/s}\) |
| \(C\) | 47 \(\mu\)F | \(47 \times 10^{-6}\) F |
Astuces
Erreur fatale : Oublier de convertir les microfarads (\(\mu F\)) en Farads. Rappel : \(\mu = 10^{-6}\) (déplacer la virgule de 6 rangs vers la gauche).
Tendances fréquentielles
Calcul(s)
1. Calcul de \(X_L\)
On effectue le produit simple de l'inductance par la pulsation :
Le résultat est une valeur d'opposition modérée (31 Ω).
2. Calcul de \(X_C\)
Pour le condensateur, le calcul est un peu plus complexe car il implique une division. Commençons par calculer le dénominateur :
Maintenant, nous prenons l'inverse de cette valeur pour obtenir la réactance :
On obtient une réactance capacitive plus élevée que la réactance inductive.
Balance des forces à 50 Hz
Réflexions
On constate que \(X_C > X_L\) (67.73 > 31.42). L'effet du condensateur est plus fort que celui de la bobine à cette fréquence. On dit que le circuit a un comportement capacitif.
Points de vigilance
Ne jamais additionner \(X_L\) et \(X_C\) pour obtenir l'impédance ! Ils ont des effets opposés (déphasage de 180° entre eux). La réactance totale est leur différence.
Points à Retenir
Si \(X_C > X_L\), le circuit est capacitif (basses fréquences).
Si \(X_L > X_C\), le circuit est inductif (hautes fréquences).
Le saviez-vous ?
C'est ce principe qui est utilisé dans les filtres "Crossover" des enceintes : un condensateur en série avec un tweeter (aigu) bloque les basses fréquences (\(X_C\) élevée) pour éviter de le détruire.
FAQ
Pourquoi la réactance du condensateur baisse quand f monte ?
Plus la fréquence est élevée, plus les inversions de polarité sont rapides. Le condensateur n'a pas le temps de se charger complètement et d'opposer une tension inverse, donc il laisse passer le courant plus facilement.
A vous de jouer
Si la fréquence double (100 Hz), \(X_L\) devient ? (Indice : c'est proportionnel, donc x2)
📝 Mémo
XL monte avec f (proportionnel), XC descend avec f (inverse).
Question 3 : Impédance Totale (\(Z\))
Principe
L'impédance \(Z\) est la "résistance totale apparente" du circuit RLC en courant alternatif. Mais attention : on ne peut pas simplement additionner R, XL et XC ! Pourquoi ? Parce que la tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant, alors que celles de la bobine et du condensateur sont déphasées de +90° et -90°.
Mini-Cours
Géométrie Vectorielle (Fresnel) : On représente les impédances comme des vecteurs :
- \(R\) est un vecteur horizontal (axe réel).
- \(X_L - X_C\) est un vecteur vertical (axe imaginaire).
L'impédance \(Z\) est la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle formé par ces deux côtés.
Remarque Pédagogique
C'est exactement le Théorème de Pythagore : \(Côté^2 + Côté^2 = Hypoténuse^2\), donc \(Z = \sqrt{R^2 + X_{net}^2}\).
Normes
La notation complexe est standard en génie électrique : \(\underline{Z} = R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})\). Ce que nous calculons ici est le module de cette impédance complexe, noté \(|Z|\) ou simplement \(Z\).
Formule(s)
Impédance du circuit RLC série
Hypothèses
Le circuit est en série, ce qui signifie que le même courant traverse tous les composants. C'est la condition sine qua non pour utiliser ce triangle des impédances.
Donnée(s)
Source des données : Résistance fixe de l'énoncé. Les réactances \(X_L\) et \(X_C\) proviennent des résultats de la Question 2.
| R | \(X_L\) (Question 2) | \(X_C\) (Question 2) |
|---|---|---|
| 10 \(\Omega\) | 31.42 \(\Omega\) | 67.73 \(\Omega\) |
Astuces
L'ordre de la soustraction \((X_L - X_C)\) n'a pas d'importance mathématique pour le calcul de Z car le carré \((...)^2\) rendra le résultat toujours positif. \( (-5)^2 = 25 \) tout comme \( 5^2 = 25 \).
Triangle de Fresnel
Calcul(s)
Étape 1 : Réactance nette
Nous calculons d'abord la différence entre les deux réactances opposées. C'est ce qu'on appelle la réactance résultante du circuit :
Le signe négatif confirme que le condensateur "gagne" sur la bobine.
Étape 2 : Carrés
Nous élevons au carré les deux composantes (résistance et réactance nette) pour appliquer Pythagore :
Étape 3 : Somme et Racine
Enfin, nous additionnons ces carrés et prenons la racine carrée du total pour trouver la longueur de l'hypoténuse (l'impédance Z) :
Résultat Validé
Réflexions
Notez que l'impédance totale (37.66 \(\Omega\)) est bien supérieure à la résistance seule (10 \(\Omega\)). À cette fréquence, c'est principalement le condensateur qui limite le courant, pas la résistance.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Oublier la racine carrée à la fin ! Si vous trouvez \(Z = 1418 \Omega\), c'est suspect. L'impédance doit être du même ordre de grandeur que les réactances.
Points à Retenir
\(Z\) est toujours supérieure ou égale à \(R\). Le cas idéal \(Z=R\) n'arrive qu'à la résonance, quand la parenthèse \((X_L - X_C)\) vaut zéro.
Le saviez-vous ?
En ingénierie audio, l'impédance des haut-parleurs (4Ω, 8Ω) est souvent spécifiée à 1 kHz, mais elle varie fortement avec la fréquence à cause de Z.
FAQ
Peut-on avoir Z < R ?
Non, jamais dans un circuit passif RLC série. Géométriquement, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours plus longue que ses côtés.
A vous de jouer
Si on est à la résonance (\(X_L = X_C\)), que vaut \(Z\) ? (Sachant que R = 10)
📝 Mémo
Impédance = Somme vectorielle (Pythagore), pas arithmétique.
Question 4 : Intensité Efficace (\(I\))
Principe
Une fois l'impédance totale \(Z\) connue, on peut considérer le circuit entier comme une seule "boîte noire" de résistance équivalente \(Z\). On applique alors simplement la loi d'Ohm.
Mini-Cours
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal : La célèbre formule \(U = R \cdot I\) devient \(U_{eff} = Z \cdot I_{eff}\).
Les valeurs sont dites "efficaces" (RMS) car elles correspondent à la puissance thermique équivalente. Pour un sinus, \(Val_{max} = Val_{eff} \times \sqrt{2}\).
Remarque Pédagogique
Le courant \(I\) calculé ici est le même qui traverse R, L et C, car ils sont branchés en série (loi des noeuds triviale).
Normes
En électrotechnique, une tension donnée sans précision (comme "12V" ou "230V") est toujours la valeur efficace par défaut.
Formule(s)
Loi d'Ohm généralisée
Hypothèses
On suppose que le régime transitoire (l'allumage) est terminé et que le courant est établi et stable.
Donnée(s)
Source des données : Tension du générateur (énoncé) et Impédance totale \(Z\) (résultat Question 3).
| Tension U (eff) | Impédance Z (Question 3) |
|---|---|
| 12 V | 37.66 \(\Omega\) |
Astuces
Vérification mentale : \(12 \div 40\) est environ égal à \(0.3\). Si vous trouvez 3000 A, il y a un problème !
Modèle Équivalent
Calcul(s)
Application directe de la division. Nous divisons la tension de source par l'impédance totale du circuit :
Le résultat nous donne le courant efficace en Ampères. On le convertit souvent en milliampères pour une lecture plus aisée.
Flux de Courant
Réflexions
Le courant est fortement limité par l'impédance capacitive. Si nous étions à la résonance (\(Z=R=10\Omega\)), le courant serait de \(1.2\) A ! Cela montre à quel point l'impédance joue un rôle de "frein" variable selon la fréquence.
Points de vigilance
Erreur courante : Ne jamais utiliser \(R\) seul dans la loi d'Ohm (\(I=U/R\)) sauf si vous êtes certain d'être à la résonance. Ici, cela donnerait 1.2A, ce qui est faux.
Points à Retenir
La loi d'Ohm \(I = U/Z\) est universelle pour les circuits passifs linéaires. Elle permet de dimensionner les câbles et les fusibles de protection.
Le saviez-vous ?
Les disjoncteurs de votre maison sont des dispositifs thermiques : ils contiennent un bilame qui chauffe proportionnellement à \(I^2\) (effet Joule). Si I dépasse le seuil, le bilame se courbe et coupe le courant.
FAQ
L'intensité change-t-elle si je change la fréquence ?
Oui ! Car en changeant \(f\), on change \(X_L\) et \(X_C\), donc on change \(Z\), et comme \(I=U/Z\), l'intensité varie. C'est le principe du simulateur ci-dessous.
A vous de jouer
Si la tension du générateur double (\(U=24\) V) tout en gardant la même fréquence, que vaut \(I\) ? (C'est proportionnel)
📝 Mémo
Loi d'Ohm généralisée : \(U = Z \times I\).
Question 5 : Fréquence de Résonance (\(f_0\))
Principe
La résonance est un phénomène spectaculaire. C'est l'état particulier où l'effet inductif (bobine) compense exactement et parfaitement l'effet capacitif (condensateur). Mathématiquement, \(X_L = X_C\). À ce moment précis, ces deux oppositions s'annulent mutuellement, l'impédance devient minimale (\(Z=R\)) et le courant s'envole vers son maximum.
Mini-Cours
Physiquement : À la résonance, il y a un échange d'énergie perpétuel entre la bobine (qui stocke de l'énergie magnétique) et le condensateur (énergie électrique). Le générateur n'a plus besoin de fournir d'énergie réactive, il ne fournit que l'énergie dissipée par la résistance.
Remarque Pédagogique
C'est exactement le principe de la balançoire : si vous poussez (générateur) à la bonne fréquence, l'amplitude (le courant) devient très grande avec un minimum d'effort (tension).
Normes
La fréquence de résonance \(f_0\) est une caractéristique intrinsèque du circuit. Elle ne dépend pas de la résistance \(R\), uniquement du couple \(L\) et \(C\).
Formule(s)
Dérivation de la formule
Formule de Thomson (Fréquence)
Hypothèses
On suppose que L et C sont constants et ne varient pas avec la température ou le courant.
Donnée(s)
Source des données : Caractéristiques physiques des composants (Inductance L et Capacité C) définies dans l'énoncé.
| Inductance L | Capacité C |
|---|---|
| 0.1 H | \(47 \times 10^{-6}\) F |
Astuces
Pour éviter les erreurs de parenthèses sur la calculatrice, procédez par étapes : d'abord le produit \(LC\), puis la racine, puis l'inverse.
L'équilibre Parfait
Calcul(s)
Étape 1 : Produit LC
Commençons par multiplier les valeurs de L et C. Attention aux puissances de 10 :
Étape 2 : Racine carrée
Nous prenons ensuite la racine carrée de ce produit :
Étape 3 : Dénominateur complet
On multiplie ce résultat par \(2\pi\) pour obtenir la période propre :
Étape 4 : Inverse (Fréquence)
Enfin, on prend l'inverse pour obtenir la fréquence en Hertz :
Pic de Résonance
Réflexions
La fréquence de résonance (73.4 Hz) est supérieure à notre fréquence de travail initiale (50 Hz). C'est pourquoi nous avions trouvé \(X_C > X_L\) précédemment : nous étions sur le "flanc gauche" de la courbe de résonance, dans la zone capacitive.
Points de vigilance
Attention aux parenthèses lors du calcul sur calculatrice ! Tapez bien : 1 / (2 * pi * sqrt(...)).
Points à Retenir
La formule de Thomson \(f_0 = 1 / (2\pi\sqrt{LC})\) est universelle pour les oscillateurs. Pour augmenter \(f_0\), il faut diminuer L ou C.
Le saviez-vous ?
C'est exactement ainsi qu'une radio analogique sélectionne une station : en tournant le bouton, on modifie mécaniquement la valeur de C (condensateur variable) pour aligner \(f_0\) sur la fréquence de l'émetteur (ex: 100 MHz).
FAQ
Que se passe-t-il si R est très faible ?
Le pic de courant devient extrêmement haut et pointu (circuit très sélectif), risquant de créer des surtensions destructrices aux bornes de la bobine et du condensateur.
A vous de jouer
Si on quadruple l'inductance (\(L=0.4\) H au lieu de 0.1), comment évolue \(f_0\) ? (Indice : \(\sqrt{4} = 2\) au dénominateur)
📝 Mémo
Si LC augmente, f0 diminue.
Bilan Graphique
Evolution des réactances et de l'impédance en fonction de la fréquence.
📝 Synthèse : Phénomène de Résonance
-
📉
Impédance Minimale : À la résonance, \(Z_{\text{min}} = R\).
-
🚀
Courant Maximal : \(I_{\text{max}} = U / R\).
-
⚠️
Surtensions : Aux bornes de L et C, la tension peut être bien supérieure à U (phénomène de surtension à la résonance).
🎛️ Simulateur de Résonance
Modifiez la fréquence pour observer le pic d'intensité et l'évolution de l'impédance.
Paramètres
📝 Quiz final : Validation des Acquis
1. Que se passe-t-il à la fréquence de résonance ?
2. Si la fréquence est très élevée (f >> f0), comment se comporte le circuit ?
📚 Glossaire
- Impédance (Z)
- Opposition totale au passage du courant alternatif (en Ohms). Combine résistance et réactance.
- Résonance
- Phénomène où la fréquence d'excitation correspond à la fréquence naturelle du système, causant une amplitude maximale.
- Bande passante
- Plage de fréquences pour laquelle le courant est supérieur à \(I_{\text{max}} / \sqrt{2}\).
- Inductance (L)
- Propriété d'une bobine à s'opposer aux variations de courant (en Henry).
Le Saviez-vous ?
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