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Exercices Électricité

Étude des Tensions et Puissances

Étude des Tensions et Puissances

Étude des Tensions et Puissances

Comprendre l'Étude des Tensions et Puissances

L'analyse des circuits en courant continu (DC) est fondamentale pour comprendre comment l'énergie électrique est distribuée et consommée. Elle implique de déterminer la tension aux bornes de chaque composant, le courant qui le traverse, et la puissance qu'il dissipe. Les lois d'Ohm (\(V=IR\)) et de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) sont les outils principaux pour cette analyse. En simplifiant les groupements de résistances en série et en parallèle pour trouver la résistance équivalente totale, on peut calculer le courant total. Ensuite, en appliquant les règles de division de tension et de courant, on peut déterminer les grandeurs spécifiques à chaque élément du circuit, y compris la puissance dissipée (\(P=VI=I^2R=V^2/R\)).

Données de l'étude

Un circuit est alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{s}}\). Le circuit est composé d'une résistance \(R_1\) en série avec un groupement parallèle de deux résistances, \(R_2\) et \(R_3\). L'ensemble est ensuite en série avec une résistance \(R_4\).

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 48 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(12 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(6 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(8 \, \Omega\)
Schéma : Circuit DC Série-Parallèle Complexe
Vs 48V + − R1 4Ω A R2 12Ω R3 6Ω B R4 8Ω → Itotal → I2 → I3

Circuit DC avec résistances en série et parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) de l'ensemble du circuit.
  3. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source de tension.
  4. Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  5. Calculer la chute de tension (\(V_4\)) aux bornes de la résistance \(R_4\).
  6. Calculer la tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)).
  7. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
  8. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant la résistance \(R_3\).
  9. Vérifier la loi des nœuds au nœud A.
  10. Calculer la puissance (\(P_1\)) dissipée par \(R_1\).
  11. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances (\(P_1+P_2+P_3+P_4\)).

Correction : Étude des Tensions et Puissances

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) de \(R_2 // R_3\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{\text{eq23}}\) est donnée par \(R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq23}} &= \frac{12 \, \Omega \times 6 \, \Omega}{12 \, \Omega + 6 \, \Omega} \\ &= \frac{72 \, \Omega^2}{18 \, \Omega} \\ &= 4 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement \(R_2 // R_3\) est \(R_{\text{eq23}} = 4 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

Le circuit est composé de \(R_1\), du groupement \(R_{\text{eq23}}\), et de \(R_4\), tous en série. La résistance totale est la somme de ces résistances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eq23}} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq23}} = 4 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 4 \, \Omega + 4 \, \Omega + 8 \, \Omega \\ &= 16 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} = 16 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est calculé avec la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 48 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} = 16 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{48 \, \text{V}}{16 \, \Omega} \\ &= 3 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\).

Question 4 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

La chute de tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 4 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 = 12 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_4\)) aux bornes de \(R_4\)

Principe :

La résistance \(R_4\) est également traversée par le courant total \(I_{\text{total}}\). Donc \(V_4 = R_4 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_4 = R_4 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_4 = 8 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_4 &= 8 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 24 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_4\) est \(V_4 = 24 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\))

Principe :

La tension \(V_{\text{AB}}\) aux bornes du groupement parallèle est la même pour \(R_2\) et \(R_3\). Elle peut être calculée par la loi des mailles : \(V_{\text{s}} = V_1 + V_{\text{AB}} + V_4\), donc \(V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1 - V_4\). Alternativement, \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{AB}} = R_{\text{eq23}} I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{eq23}} = 4 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
  • \(V_{\text{s}} = 48 \, \text{V}\), \(V_1 = 12 \, \text{V}\), \(V_4 = 24 \, \text{V}\) (pour vérification)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{AB}} &= 4 \, \Omega \times 3 \, \text{A} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre méthode : \(V_{\text{AB}} = V_s - V_1 - V_4 = 48\text{V} - 12\text{V} - 24\text{V} = 12\text{V}\).

Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{AB}} = 12 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le courant total se divise dans les branches parallèles. La tension aux bornes de \(R_2\) est :

Question 7 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Le courant dans la branche \(R_2\) est \(I_2 = V_{\text{AB}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{12 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= 1 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 = 1 \, \text{A}\).

Question 8 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

Le courant dans la branche \(R_3\) est \(I_3 = V_{\text{AB}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{12 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 = 2 \, \text{A}\).

Question 9 : Vérification de la Loi des Nœuds au Nœud A

Principe :

Au nœud A, le courant entrant est \(I_{\text{total}}\) (qui est le même que le courant traversant \(R_1\)). Les courants sortants sont \(I_2\) et \(I_3\). Donc, \(I_{\text{total}} = I_2 + I_3\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 1 \, \text{A}\)
  • \(I_3 = 2 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &= 1 \, \text{A} + 2 \, \text{A} \\ &= 3 \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\) :

\[3 \, \text{A} = 3 \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 9 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A.

Question 10 : Puissance dissipée par chaque résistance

Principe :

La puissance dissipée par une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est \(P = I^2R\). Alternativement, \(P = V^2/R\) ou \(P=VI\).

Calculs :

Pour \(R_1\): \(I_1 = I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_1 &= I_1^2 R_1 \\ &= (3 \, \text{A})^2 \times 4 \, \Omega \\ &= 9 \, \text{A}^2 \times 4 \, \Omega \\ &= 36 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_2\): \(I_2 = 1 \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= I_2^2 R_2 \\ &= (1 \, \text{A})^2 \times 12 \, \Omega \\ &= 1 \, \text{A}^2 \times 12 \, \Omega \\ &= 12 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_3\): \(I_3 = 2 \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_3 &= I_3^2 R_3 \\ &= (2 \, \text{A})^2 \times 6 \, \Omega \\ &= 4 \, \text{A}^2 \times 6 \, \Omega \\ &= 24 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_4\): \(I_4 = I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_4 &= I_{\text{total}}^2 R_4 \\ &= (3 \, \text{A})^2 \times 8 \, \Omega \\ &= 9 \, \text{A}^2 \times 8 \, \Omega \\ &= 72 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 :
  • \(P_1 = 36 \, \text{W}\)
  • \(P_2 = 12 \, \text{W}\)
  • \(P_3 = 24 \, \text{W}\)
  • \(P_4 = 72 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Laquelle des formules suivantes n'est PAS correcte pour calculer la puissance dissipée par une résistance ?

Question 11 : Puissance totale fournie par la source et vérification

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = V_{\text{s}} \times I_{\text{total}}\). Elle doit être égale à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\] \[P_{\text{dissipée\_totale}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4\]
Données :
  • \(V_{\text{s}} = 48 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{total}} = 3 \, \text{A}\)
  • \(P_1 = 36 \, \text{W}\)
  • \(P_2 = 12 \, \text{W}\)
  • \(P_3 = 24 \, \text{W}\)
  • \(P_4 = 72 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= 48 \, \text{V} \times 3 \, \text{A} \\ &= 144 \, \text{W} \\ P_{\text{dissipée\_totale}} &= P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \\ &= 36 \, \text{W} + 12 \, \text{W} + 24 \, \text{W} + 72 \, \text{W} \\ &= 144 \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison : \(P_{\text{source}} = 144 \, \text{W}\) et \(P_{\text{dissipée\_totale}} = 144 \, \text{W}\).

Résultat Question 11 : La puissance fournie par la source est \(P_{\text{source}} = 144 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance totale dissipée par les résistances.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit série, la résistance totale est :

2. La loi des nœuds de Kirchhoff est une application de :

3. Pour calculer la puissance dissipée par une résistance, si vous connaissez sa résistance \(R\) et le courant \(I\) qui la traverse, vous utilisez :

Glossaire

Circuit en Courant Continu (DC)
Circuit électrique où le courant circule continuellement dans une seule direction.
Loi d'Ohm
Décrit la relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) : \(V = IR\).
Résistance en Série
Les résistances sont connectées bout à bout, le même courant les traverse. \(R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ...\)
Résistance en Parallèle
Les résistances sont connectées aux mêmes deux points (nœuds), la tension est la même à leurs bornes. \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ...\)
Lois de Kirchhoff
Ensemble de deux lois fondamentales pour l'analyse des circuits : la loi des nœuds (conservation de la charge) et la loi des mailles (conservation de l'énergie).
Puissance Électrique (P)
Taux de transfert d'énergie électrique, mesuré en Watts (W). Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\).
Étude des Tensions et Puissances

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