Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Interaction entre Sphères Conductrices

Interaction entre Sphères Conductrices Chargées

Interaction entre Sphères Conductrices Chargées

Comprendre l'Interaction entre Sphères Conductrices

Lorsque des conducteurs chargés sont mis en présence ou connectés, les charges se redistribuent jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre électrostatique soit atteint. Une caractéristique clé des conducteurs en équilibre est que leur surface est une équipotentielle, et le champ électrique à l'intérieur est nul. Si deux sphères conductrices sont connectées par un fil conducteur (de capacité négligeable), elles formeront un seul conducteur et atteindront donc le même potentiel électrique. La charge totale du système se conservera, mais elle se répartira entre les deux sphères en fonction de leurs capacités respectives. Cet exercice explore ce phénomène de redistribution de charge et d'égalisation du potentiel.

Données de l'étude

On considère deux sphères conductrices initialement très éloignées l'une de l'autre :

  • Sphère 1 : rayon \(R_1 = 6,0 \, \text{cm}\), porte une charge initiale \(Q_1 = +12,0 \, \text{nC}\).
  • Sphère 2 : rayon \(R_2 = 3,0 \, \text{cm}\), est initialement neutre (\(Q_2 = 0 \, \text{nC}\)).

Les deux sphères sont ensuite connectées par un fil conducteur mince de capacité négligeable. On suppose que les sphères restent suffisamment éloignées pour que l'influence mutuelle sur la distribution de charge sur chaque sphère (autre que celle due à la connexion) soit négligeable.

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Sphères Conductrices Avant et Après Connexion
{/* Avant connexion */} Avant Connexion Q₁ R₁ Q₂=0 R₂ {/* Après connexion */} Après Connexion Q'₁ Q'₂ Fil Interaction entre sphères conductrices

Deux sphères conductrices avant et après avoir été connectées par un fil.

Questions à traiter

  1. Calculer le potentiel initial \(V_{1,i}\) de la sphère 1 avant la connexion. Quel est le potentiel initial \(V_{2,i}\) de la sphère 2 ?
  2. Après connexion par le fil conducteur, quel principe régit le potentiel des deux sphères ? En déduire la relation entre leurs potentiels finaux \(V'_1\) et \(V'_2\).
  3. Écrire l'équation de conservation de la charge totale du système.
  4. En utilisant les résultats des questions 2 et 3, déterminer les expressions des charges finales \(Q'_1\) et \(Q'_2\) sur chaque sphère en fonction de \(Q_1\), \(R_1\), et \(R_2\).
  5. Calculer les valeurs numériques de \(Q'_1\) et \(Q'_2\).
  6. Calculer le potentiel final commun \(V_f\) des deux sphères.
  7. Calculer l'énergie électrostatique totale du système \(U_i\) avant la connexion, puis l'énergie totale \(U_f\) après la connexion. Commenter la variation d'énergie \(\Delta U = U_f - U_i\).

Correction : Interaction entre Sphères Conductrices Chargées

Question 1 : Potentiels initiaux \(V_{1,i}\) et \(V_{2,i}\)

Principe :

Le potentiel à la surface (et à l'intérieur) d'une sphère conductrice isolée de rayon \(R\) portant une charge \(Q\) est \(V = k_e Q/R\), avec le potentiel nul à l'infini.

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Sphère 1 : \(R_1 = 6,0 \, \text{cm} = 0,06 \, \text{m}\), \(Q_1 = +12,0 \, \text{nC} = +12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Sphère 2 : \(R_2 = 3,0 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}\), \(Q_{2,i} = 0 \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :

Potentiel initial de la sphère 1 :

\[ \begin{aligned} V_{1,i} &= k_e \frac{Q_1}{R_1} \\ &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,06 \, \text{m}} \\ &= \frac{108}{0,06} \, \text{V} \\ &= 1800 \, \text{V} \end{aligned} \]

Potentiel initial de la sphère 2 (neutre) :

\[ \begin{aligned} V_{2,i} &= k_e \frac{Q_{2,i}}{R_2} \\ &= k_e \frac{0}{R_2} \\ &= 0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Potentiel initial de la sphère 1 : \(V_{1,i} = 1800 \, \text{V}\)
  • Potentiel initial de la sphère 2 : \(V_{2,i} = 0 \, \text{V}\)

Question 2 : Principe régissant les potentiels après connexion

Principe :

Lorsque deux conducteurs sont connectés par un fil conducteur, ils forment un seul conducteur. À l'équilibre électrostatique, tous les points d'un même conducteur sont au même potentiel. Par conséquent, les deux sphères atteindront un potentiel final commun \(V_f\).

Résultat Question 2 : Après connexion, les deux sphères sont au même potentiel électrique : \(V'_1 = V'_2 = V_f\).

Question 3 : Conservation de la charge totale

Principe :

Le système des deux sphères et du fil est isolé électriquement. La charge totale du système se conserve donc lors de la connexion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{totale, avant}} = Q_{\text{totale, après}}\] \[Q_1 + Q_{2,i} = Q'_1 + Q'_2\]
Résultat Question 3 : L'équation de conservation de la charge est \(Q_1 = Q'_1 + Q'_2\) (puisque \(Q_{2,i}=0\)).

Question 4 : Expressions des charges finales \(Q'_1\) et \(Q'_2\)

Principe :

Après connexion, \(V'_1 = V'_2 = V_f\). On a \(V'_1 = k_e Q'_1/R_1\) et \(V'_2 = k_e Q'_2/R_2\). Donc, \(k_e Q'_1/R_1 = k_e Q'_2/R_2 \Rightarrow Q'_1/R_1 = Q'_2/R_2\). On utilise cette relation avec l'équation de conservation de la charge \(Q_1 = Q'_1 + Q'_2\).

Calcul :

De \(Q'_1/R_1 = Q'_2/R_2\), on tire \(Q'_2 = Q'_1 \frac{R_2}{R_1}\).

En substituant dans l'équation de conservation :

\[ \begin{aligned} Q_1 &= Q'_1 + Q'_1 \frac{R_2}{R_1} \\ Q_1 &= Q'_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \\ Q_1 &= Q'_1 \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right) \end{aligned} \]
\[ \Rightarrow \quad Q'_1 = Q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

Et pour \(Q'_2\) :

\[ \begin{aligned} Q'_2 &= Q_1 - Q'_1 \\ &= Q_1 - Q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2} \\ &= Q_1 \left(1 - \frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) \\ &= Q_1 \left(\frac{R_1 + R_2 - R_1}{R_1 + R_2}\right) \\ &= Q_1 \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • \(Q'_1 = Q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}\)
  • \(Q'_2 = Q_1 \frac{R_2}{R_1 + R_2}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Après connexion, la charge se répartit sur les sphères :

Question 5 : Valeurs numériques de \(Q'_1\) et \(Q'_2\)

Données spécifiques :
  • \(Q_1 = 12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(R_1 = 0,06 \, \text{m}\)
  • \(R_2 = 0,03 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ R_1 + R_2 = 0,06 \, \text{m} + 0,03 \, \text{m} = 0,09 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} Q'_1 &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \frac{0,06 \, \text{m}}{0,09 \, \text{m}} \\ &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times \frac{6}{9} \\ &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times \frac{2}{3} \\ &= 8,0 \times 10^{-9} \, \text{C} = 8,0 \, \text{nC} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q'_2 &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \frac{0,03 \, \text{m}}{0,09 \, \text{m}} \\ &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times \frac{3}{9} \\ &= (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times \frac{1}{3} \\ &= 4,0 \times 10^{-9} \, \text{C} = 4,0 \, \text{nC} \end{aligned} \]

Vérification : \(Q'_1 + Q'_2 = 8,0 \, \text{nC} + 4,0 \, \text{nC} = 12,0 \, \text{nC} = Q_1\). La charge est conservée.

Résultat Question 5 :
  • \(Q'_1 = 8,0 \, \text{nC}\)
  • \(Q'_2 = 4,0 \, \text{nC}\)

Question 6 : Potentiel final commun \(V_f\)

Principe :

On peut calculer \(V_f\) en utilisant la charge et le rayon de l'une ou l'autre sphère après connexion : \(V_f = k_e Q'_1/R_1\) ou \(V_f = k_e Q'_2/R_2\).

Calcul (avec la sphère 1) :
\[ \begin{aligned} V_f &= k_e \frac{Q'_1}{R_1} \\ &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,06 \, \text{m}} \\ &= \frac{72}{0,06} \, \text{V} \\ &= 1200 \, \text{V} \end{aligned} \]
Calcul (avec la sphère 2, pour vérification) :
\[ \begin{aligned} V_f &= k_e \frac{Q'_2}{R_2} \\ &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,03 \, \text{m}} \\ &= \frac{36}{0,03} \, \text{V} \\ &= 1200 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le potentiel final commun est \(V_f = 1200 \, \text{V}\).

Question 7 : Énergies électrostatiques \(U_i\) et \(U_f\), et variation \(\Delta U\)

Principe :

L'énergie électrostatique d'une sphère conductrice chargée est \(U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}k_e \frac{Q^2}{R}\). L'énergie totale d'un système de sphères éloignées est la somme de leurs énergies individuelles.

Calcul de \(U_i\) (avant connexion) :

\(U_{1,i} = \frac{1}{2}Q_1 V_{1,i}\) et \(U_{2,i} = \frac{1}{2}Q_{2,i} V_{2,i} = 0\).

\[ \begin{aligned} U_i &= U_{1,i} + U_{2,i} \\ &= \frac{1}{2} (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) (1800 \, \text{V}) + 0 \\ &= (6,0 \times 10^{-9}) \times 1800 \, \text{J} \\ &= 10800 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 10,8 \times 10^{-6} \, \text{J} = 10,8 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(U_f\) (après connexion) :

\(U'_1 = \frac{1}{2}Q'_1 V_f\) et \(U'_2 = \frac{1}{2}Q'_2 V_f\). \(U_f = U'_1 + U'_2 = \frac{1}{2}(Q'_1 + Q'_2)V_f = \frac{1}{2}Q_1 V_f\).

\[ \begin{aligned} U_f &= \frac{1}{2} (12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) (1200 \, \text{V}) \\ &= (6,0 \times 10^{-9}) \times 1200 \, \text{J} \\ &= 7200 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 7,2 \times 10^{-6} \, \text{J} = 7,2 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]
Calcul de la variation d'énergie \(\Delta U\) :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= U_f - U_i \\ &= 7,2 \, \mu\text{J} - 10,8 \, \mu\text{J} \\ &= -3,6 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

La diminution de l'énergie électrostatique (\(\Delta U < 0\)) est due à la dissipation d'énergie (par exemple sous forme de chaleur ou de rayonnement électromagnétique) lors du mouvement des charges dans le fil conducteur pour atteindre le nouvel équilibre. Ce phénomène est général lors de la connexion de conducteurs à des potentiels différents.

Résultat Question 7 :
  • Énergie initiale : \(U_i = 10,8 \, \mu\text{J}\)
  • Énergie finale : \(U_f = 7,2 \, \mu\text{J}\)
  • Variation d'énergie : \(\Delta U = -3,6 \, \mu\text{J}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Lors de la connexion de deux conducteurs initialement à des potentiels différents, l'énergie électrostatique totale du système :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lorsqu'on connecte deux sphères conductrices par un fil, à l'équilibre :

2. Le potentiel d'une sphère conductrice isolée de rayon R et de charge Q est :

3. L'énergie électrostatique emmagasinée par un conducteur de capacité C à un potentiel V est :

Glossaire

Conducteur en Équilibre Électrostatique
Un conducteur dans lequel les charges ne sont plus en mouvement net. Sa surface est une équipotentielle et le champ électrique à l'intérieur est nul.
Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Unité : Volt (V).
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un conducteur à emmagasiner une charge pour un potentiel donné. Pour une sphère isolée, \(C = 4\pi\varepsilon_0 R\). Unité : Farad (F).
Conservation de la Charge
Principe selon lequel la charge électrique totale d'un système isolé reste constante.
Énergie Électrostatique (\(U_e\))
Énergie emmagasinée dans une configuration de charges ou dans un champ électrique. Pour un conducteur de charge \(Q\) à un potentiel \(V\), \(U_e = \frac{1}{2}QV\). Unité : Joule (J).
Nanocoulomb (nC)
Unité de charge électrique égale à \(10^{-9}\) coulombs.
Microjoule (\(\mu\text{J}\))
Unité d'énergie égale à \(10^{-6}\) joules.
Interaction entre Sphères Conductrices

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