Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine

Contexte : Étude de l'impédance et du déphasage.

Dans ce module, nous allons analyser le comportement d'une bobine réelle (comportant une inductance \(L\) et une résistance interne \(r\)) lorsqu'elle est soumise à une tension alternative sinusoïdale. Nous étudierons comment l'ImpédanceOpposition totale d'un circuit au passage du courant alternatif (en Ohms). limite le courant et crée un déphasage.

Remarque Pédagogique : Contrairement au courant continu où seule la résistance compte, en alternatif, la bobine "réagit" à la fréquence en s'opposant aux variations de courant.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la pulsation et la réactance inductive.
Déterminer l'impédance totale du dipôle RL.
Calculer l'intensité efficace du courant.

Données de l'étude

On alimente une bobine réelle par un générateur de tension alternative sinusoïdale.

Fiche Technique / Données

Grandeur Physique	Symbole	Valeur	Unité
Inductance de la bobine	\(L\)	50	\(\text{mH (millihenry)}\)
Résistance interne	\(r\)	10	\(\Omega \text{ (Ohm)}\)
Tension d'alimentation	\(U_{\text{eff}}\)	24	\(\text{V (Volt)}\)
Fréquence du réseau	\(f\)	50	\(\text{Hz (Hertz)}\)

Schéma du Circuit RL

Questions à traiter

Calculer la pulsation \(\omega\) du courant.
Déterminer la réactance inductive \(X_{\text{L}}\) de la bobine.
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
En déduire l'intensité efficace \(I_{\text{eff}}\) circulant dans la bobine.
Estimer le déphasage \(\varphi\) (Question bonus).

Rappels Théoriques

En régime alternatif, la bobine ne se comporte pas comme un simple fil. Elle s'oppose aux variations du courant par un phénomène d'Auto-inductionCréation d'une tension opposée à la cause qui lui donne naissance..

1. Pulsation
La vitesse angulaire du vecteur tournant (Fresnel) dépend de la fréquence \(f\).

\omega = 2\pi f \quad (\text{rad/s})

2. Réactance et Impédance
La "résistance apparente" de la partie inductive est appelée réactance \(X_{\text{L}}\). L'impédance totale \(Z\) combine résistance et réactance.

X_{\text{L}} = L \cdot \omega \] \[ Z = \sqrt{r^2 + X_{\text{L}}^2}

3. Loi d'Ohm généralisée
Le lien entre tension efficace et courant efficace fait intervenir l'impédance \(Z\).

U_{\text{eff}} = Z \cdot I_{\text{eff}}

Correction : Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine

Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

Principe

La pulsation \(\omega\) représente la vitesse de rotation du vecteur tournant dans le diagramme de Fresnel. Elle lie la fréquence temporelle à la vitesse angulaire.

Mini-Cours

La relation fondamentale est linéaire : \(\omega = 2\pi \times f\).

Remarque Pédagogique

Imaginez que le signal fait \(f\) tours par seconde. Comme un tour complet correspond à \(2\pi\) radians, la vitesse est bien \(2\pi f\).

Normes

En Europe, la fréquence standard du réseau de distribution est fixée à 50 Hz (Norme IEC 60038).

Formule(s)

Calcul de la pulsation

\omega = 2 \cdot \pi \cdot f

Hypothèses

On considère un signal sinusoïdal parfait et stable en fréquence.

Donnée(s)

Données extraites de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	50	\(\text{Hz}\)

Astuces

Pour \(f=50 \text{ Hz}\), on retient souvent la valeur approchée \(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\) (car \(100 \times \pi \approx 314\)).

Fréquence et Période

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution

On remplace \(f\) par sa valeur numérique :

\begin{aligned} \omega &= 2 \times 3.14159 \times 50 \\ &= 314.159 \dots \end{aligned}

Étape 2 : Résultat final

Le calcul donne :

\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}

Représentation Vectorielle

Réflexions

Cette valeur est élevée, ce qui explique pourquoi les effets inductifs (qui dépendent de la vitesse de variation) sont significatifs.

Points de vigilance

Ne confondez pas fréquence (Hz) et pulsation (rad/s). L'erreur d'un facteur \(2\pi\) est fréquente.

Points à Retenir

L'essentiel : \(\omega\) est proportionnelle à \(f\).

Le saviez-vous ?

La fréquence de 60Hz utilisée en Amérique du Nord donne une pulsation d'environ 377 rad/s.

FAQ

Pourquoi utiliser des radians ?

Les radians simplifient les dérivées des fonctions trigonométriques utilisées en physique (sinus/cosinus).

\(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\)

A vous de jouer
Quelle serait la pulsation aux USA (\(f=60 \text{ Hz}\)) ?

📝 Mémo
314 pour 50Hz, 377 pour 60Hz.

Question 2 : Calcul de la réactance \(X_{\text{L}}\)

Principe

La réactance inductive mesure l'opposition de la bobine au passage du courant due à l'auto-induction. Elle augmente avec la fréquence et l'inductance.

Mini-Cours

La bobine "déteste" les variations de courant. Plus ça varie vite (\(\omega\) grand) ou plus elle est "grosse" (\(L\) grand), plus elle s'oppose.

Remarque Pédagogique

C'est l'équivalent d'une résistance, mais sans dissipation de chaleur active (puissance réactive).

Normes

Les inductances sont souvent marquées selon la norme IEC 60062 (code couleurs ou chiffres) pour leur valeur nominale.

Formule(s)

X_{\text{L}} = L \cdot \omega

Hypothèses

On suppose que la bobine ne sature pas magnétiquement et que L est constant (linéarité).

Donnée(s)

L provient de l'énoncé, ω a été calculé à la question 1 :

Paramètre	Valeur
Inductance \(L\)	50 \(\text{ mH}\)
Pulsation \(\omega\)	314.16 \(\text{ rad/s}\)

Astuces

Pensez toujours : "milli" signifie \(10^{-3}\). Déplacez la virgule de 3 rangs vers la gauche pour passer de mH à H.

Composant Inductif

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion d'unités

Il faut convertir l'inductance en Henry (système international) :

\begin{aligned} L &= 50 \text{ mH} \\ &= 50 \times 10^{-3} \text{ H} \\ &= 0.05 \text{ H} \end{aligned}

Nous disposons maintenant de la valeur correcte \(L = 0.05\) H pour la suite.

Étape 2 : Application numérique

Nous appliquons maintenant la formule \(X_{\text{L}} = L \cdot \omega\) en utilisant les valeurs converties :

\begin{aligned} X_{\text{L}} &= 0.05 \times 314.16 \\ &\approx 15.708 \dots \end{aligned}

Le produit nous donne une valeur brute proche de 15.7.

Étape 3 : Résultat

En arrondissant, nous obtenons la réactance finale :

X_{\text{L}} \approx 15.71 \, \Omega

Cette valeur de 15.71 Ohms représente l'opposition purement inductive au courant.

Modèle Équivalent

Réflexions

On constate que la réactance (\(15.71\Omega\)) est du même ordre de grandeur que la résistance interne (\(10\Omega\)). Les deux effets seront importants.

Points de vigilance

Oublier de convertir les mH en H faussera le résultat d'un facteur 1000 !

Points à Retenir

\(X_{\text{L}}\) est directement proportionnelle à \(L\) et à \(\omega\).

Le saviez-vous ?

En très haute fréquence, une simple bobine peut bloquer presque totalement le courant (principe des selfs de choc).

FAQ

Est-ce une résistance réelle ?

Non, c'est une réactance. Elle limite le courant en stockant l'énergie magnétique, pas en la dissipant par chaleur.

\(X_{\text{L}} \approx 15.71 \, \Omega\)

A vous de jouer
Si \(L = 100 \text{ mH}\), que vaut \(X_{\text{L}}\) ?

📝 Mémo
Plus L est gros, plus ça freine le courant alternatif.

Question 3 : Calcul de l'impédance totale \(Z\)

Principe

L'impédance est la somme vectorielle (géométrique) de la résistance et de la réactance, car ces deux effets sont déphasés de 90°. C'est la "résistance totale apparente" du circuit.

Mini-Cours

On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle des impédances : \(Z^2 = R^2 + X_{\text{L}}^2\).

Remarque Pédagogique

On ne peut PAS additionner simplement \(10 + 15.71\). Ce serait comme ajouter des pommes et des oranges sans tenir compte de leur nature différente.

Normes

Le symbole normalisé de l'impédance est \(Z\), et son unité est l'Ohm (\(\Omega\)).

Formule(s)

Z = \sqrt{r^2 + X_{\text{L}}^2}

Hypothèses

On considère que la résistance \(r\) et l'inductance \(L\) sont en série (modèle standard d'une bobine réelle).

Donnée(s)

r vient de l'énoncé, XL a été calculé à la question 2 :

Paramètre	Valeur
Résistance \(r\)	10 \(\Omega\)
Réactance \(X_{\text{L}}\)	15.71 \(\Omega\)

Astuces

Vérification rapide : \(Z\) doit toujours être plus grand que le plus grand des deux composants (\(Z > 15.71\)).

Triangle des Impédances

Calcul(s)

Étape 1 : Carré des composantes

On élève d'abord chaque composante (résistive et réactive) au carré :

\begin{aligned} r^2 &= 10 \times 10 = 100 \\ X_{\text{L}}^2 &= 15.71 \times 15.71 \approx 246.80 \end{aligned}

On obtient ainsi les valeurs quadratiques de la résistance et de la réactance.

Étape 2 : Somme des carrés

On additionne ensuite ces deux valeurs pour obtenir le carré de l'impédance totale (\(Z^2\)) :

\begin{aligned} Z^2 &= 100 + 246.80 \\ &= 346.80 \end{aligned}

Cette valeur intermédiaire n'a pas d'unité physique directe simple, c'est une étape mathématique.

Étape 3 : Racine carrée

Enfin, on prend la racine carrée de la somme pour revenir à l'unité Ohm et trouver \(Z\) :

\begin{aligned} Z &= \sqrt{346.80} \\ &\approx 18.62 \, \Omega \end{aligned}

Le résultat final est l'impédance effective du circuit.

Résultat Géométrique

Réflexions

L'impédance totale est inférieure à la somme arithmétique (\(25.71\Omega\)), ce qui est logique en calcul vectoriel.

Points de vigilance

Attention à bien mettre la racine carrée sur la somme globale, et pas sur chaque terme séparément.

Points à Retenir

\(Z\) est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par \(r\) et \(X_{\text{L}}\).

Le saviez-vous ?

En audio, l'impédance des haut-parleurs (4Ω, 8Ω) varie avec la fréquence à cause de ce phénomène.

FAQ

Peut-on mesurer Z au multimètre ?

Non, un ohmmètre mesure \(r\) (en continu). Pour mesurer \(Z\), il faut des méthodes AC ou un pont LCR.

\(Z \approx 18.62 \, \Omega\)

A vous de jouer
Si \(r = 15.71 \Omega\) (donc \(r = X_{\text{L}}\)), combien vaudrait \(Z\) ?

📝 Mémo
Pythagore est votre ami en électricité.

Question 4 : Calcul de l'intensité efficace \(I_{\text{eff}}\)

Principe

Une fois l'impédance totale connue, le circuit se comporte globalement comme une "résistance" unique de valeur \(Z\) vis-à-vis de la source de tension.

Mini-Cours

C'est la Loi d'Ohm généralisée au courant alternatif : \(I_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{eff}}}{Z}\).

Remarque Pédagogique

On travaille ici avec des valeurs efficaces (RMS), qui sont les seules pertinentes pour calculer la puissance et l'échauffement thermique.

Normes

Les valeurs nominales de tension et courant données sur les appareils sont toujours des valeurs efficaces, sauf mention contraire.

Formule(s)

I_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{eff}}}{Z}

Hypothèses

Le générateur est idéal et maintient sa tension constante (24V) quelle que soit la charge.

Donnée(s)

U provient de l'énoncé, Z a été calculé à la question 3 :

Paramètre	Valeur
Tension \(U_{\text{eff}}\)	24 \(\text{ V}\)
Impédance \(Z\)	18.62 \(\Omega\)

Astuces

Le courant sera forcément plus faible que si la bobine n'avait que sa résistance (\(24/10 = 2.4 \text{ A}\)).

Circuit Équivalent

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution

On pose la division en remplaçant U et Z par leurs valeurs respectives :

I_{\text{eff}} = \frac{24}{18.62}

Cela correspond à diviser la tension disponible par l'opposition totale du circuit.

Étape 2 : Résultat

Le calcul donne la valeur du courant :

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &\approx 1.2889 \dots \\ &\approx 1.29 \text{ A} \end{aligned}

On obtient un courant d'environ 1.29 Ampères.

Flux de Courant

Réflexions

L'impédance de la bobine a réduit le courant de près de moitié par rapport à un circuit purement résistif (qui aurait donné 2.4A).

Points de vigilance

Ne jamais utiliser la tension maximale (\(U_{\text{max}}\)) avec l'impédance pour trouver \(I_{\text{eff}}\). Il faut rester cohérent (eff avec eff).

Points à Retenir

L'intensité dépend de l'impédance totale \(Z\), et non pas seulement de la résistance \(r\).

Le saviez-vous ?

Le courant chauffe la bobine par effet Joule (\(P = rI^2\)), mais la partie réactive ne chauffe pas.

FAQ

Si la fréquence augmente, le courant change-t-il ?

Oui, si \(f\) augmente, \(X_{\text{L}}\) augmente, \(Z\) augmente, donc \(I\) diminue.

\(I_{\text{eff}} \approx 1.29 \text{ A}\)

A vous de jouer
Si la bobine était idéale (\(r=0\)), quel serait le courant ?

📝 Mémo
I = U / Z.

Question 5 : Estimation du déphasage \(\varphi\) (Bonus)

Principe

Le déphasage correspond à l'angle entre le vecteur courant (référence) et le vecteur tension total dans le diagramme de Fresnel. Il indique le retard du courant sur la tension.

Mini-Cours

On utilise la trigonométrie dans le triangle des impédances : \(\tan(\varphi) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{X_{\text{L}}}{r}\).

Remarque Pédagogique

Un déphasage positif signifie ici un effet inductif : la tension est en avance sur le courant.

Normes

En industrie, on surveille souvent le \(\cos(\varphi)\) (facteur de puissance) pour éviter des pénalités de facturation.

Formule(s)

\varphi = \arctan\left(\frac{X_{\text{L}}}{r}\right)

Hypothèses

On suppose un régime sinusoïdal pur sans harmoniques qui pourraient fausser le déphasage.

Donnée(s)

Données calculées précédemment et fournies dans l'énoncé :

Paramètre	Valeur
Réactance \(X_{\text{L}}\)	15.71 \(\Omega\)
Résistance \(r\)	10 \(\Omega\)

Astuces

Comme \(X_{\text{L}} > r\) (15.71 > 10), l'angle doit être supérieur à 45°.

Angle de Déphasage

Calcul(s)

Étape 1 : Rapport X/r

On calcule d'abord la tangente de l'angle en divisant la partie imaginaire par la partie réelle :

\begin{aligned} \tan(\varphi) &= \frac{X_{\text{L}}}{r} \\ &= \frac{15.71}{10} \\ &= 1.571 \end{aligned}

Le rapport obtenu est supérieur à 1, confirmant que l'angle dépasse 45°.

Étape 2 : Arctangente

On utilise la fonction réciproque (arctan ou \(tan^{-1}\)) sur la calculatrice pour retrouver l'angle :

\varphi = \arctan(1.571)

C'est l'étape où il faut faire attention à l'unité d'angle de la calculatrice.

Étape 3 : Résultat

Le résultat final donne l'angle de déphasage :

\begin{aligned} \varphi &\approx 1.00 \text{ rad} \\ &\approx 57.52^\circ \end{aligned}

Le déphasage est donc d'environ 57.5 degrés.

Résultat Visuel

Réflexions

L'angle est significatif. Le facteur de puissance (\(\cos \varphi\)) serait d'environ 0.54, ce qui est assez faible et nécessiterait une compensation dans une installation industrielle.

Points de vigilance

Vérifiez que votre calculatrice est en mode DEGRÉS (DEG) et non en RADIANS (RAD) pour obtenir un résultat en degrés.

Points à Retenir

Le déphasage quantifie la part "réactive" de la bobine par rapport à sa part "résistive".

Le saviez-vous ?

Si l'angle dépasse une certaine valeur, EDF peut facturer des pénalités pour consommation d'énergie réactive.

FAQ

C'est quoi le Cos Phi ?

C'est le cosinus de cet angle. Il représente l'efficacité avec laquelle le courant est converti en puissance utile (\(P = U \cdot I \cdot \cos \varphi\)).

\(\varphi \approx 57.5^\circ\)

A vous de jouer
Si \(X_{\text{L}} = r\), quel serait l'angle ?

📝 Mémo
Tangent = Opposé / Adjacent.

Diagramme de Fresnel (Bilan)

📝 Grand Mémo : Synthèse

Points clés à maîtriser pour les circuits RL :

⚡
Effet Inductif : Plus la fréquence \(f\) ou l'inductance \(L\) est grande, plus la bobine "freine" le courant.
📐
Somme Vectorielle : On ne somme jamais directement \(r\) et \(L\omega\), mais leurs carrés sous une racine.
🕒
Déphasage : Dans une bobine, le courant est toujours en retard sur la tension.
💡
Impédance : C'est la grandeur clé \(Z\) qui remplace \(R\) dans la loi d'Ohm en régime alternatif.

"En alternatif, la bobine n'est pas qu'un fil : c'est un frein qui dépend de la vitesse !"

🎛️ Simulateur : Influence de la Fréquence

Observez comment l'impédance et le courant évoluent si on change la fréquence du réseau ou l'inductance de la bobine (avec \(U=24 \text{ V}\) et \(r=10 \, \Omega\) fixés).

Paramètres

Fréquence \(f\) (Hz) : 50

Inductance \(L\) (mH) : 50

Réactance \(X_{\text{L}}\) : - \(\Omega\)

Courant \(I_{\text{eff}}\) : - \(\text{ A}\)

📝 Quiz final

1. Si on augmente la fréquence du générateur, que fait le courant dans la bobine ?

Il augmente car les électrons vont plus vite.
Il diminue car la réactance \(L\omega\) augmente.
Il ne change pas, seule la tension change.

2. Quelle est l'unité de la réactance \(X_{\text{L}}\) ?

Ohm (\(\Omega\))
Henry (H)
Farad (F)

📚 Glossaire

Inductance (L): Capacité d'une bobine à s'opposer aux variations de courant (en Henry).
Impédance (Z): Combinaison de la résistance et de la réactance (en Ohm).
Pulsation (\(\omega\)): Vitesse angulaire, liée à la fréquence par \(2\pi f\).
Déphasage (\(\varphi\)): Décalage temporel entre le signal de tension et celui de courant.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Circuit RL

Questions à traiter

Rappels Théoriques

Correction : Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine

Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Fréquence et Période

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution

Étape 2 : Résultat final

Représentation Vectorielle

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de la réactance \(X_{\text{L}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Composant Inductif

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion d'unités

Étape 2 : Application numérique

Étape 3 : Résultat

Modèle Équivalent

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul de l'impédance totale \(Z\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Triangle des Impédances

Calcul(s)

Étape 1 : Carré des composantes

Étape 2 : Somme des carrés

Étape 3 : Racine carrée

Résultat Géométrique

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Calcul de l'intensité efficace \(I_{\text{eff}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Circuit Équivalent