Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
Déterminer les caractéristiques d'une bobine (réactance, impédance) et analyser le comportement du courant et des puissances dans un circuit inductif alimenté en courant alternatif.
Une bobine, ou inductance, est un composant fondamental en électricité. Lorsqu'elle est parcourue par un courant alternatif, elle présente une opposition à ce courant, appelée réactance inductive (\(X_L\)). Cette réactance dépend de l'inductance propre \(L\) de la bobine et de la pulsation \(\omega\) (ou fréquence \(f\)) du courant.
La tension aux bornes d'une bobine idéale (\(u_L(t)\)) et le courant qui la traverse (\(i(t)\)) sont déphasés : le courant est en retard de \(90^\circ\) (\(\pi/2\) radians) par rapport à la tension.
Une bobine réelle possède toujours une résistance interne (\(R_b\)) due au fil conducteur. L'ensemble (inductance \(L\) et résistance \(R_b\)) constitue l'impédance \(Z_b\) de la bobine réelle :
Le déphasage \(\phi\) entre la tension aux bornes de la bobine réelle et le courant est alors donné par \(\tan(\phi) = X_L / R_b\).
Données du Problème
Une bobine est alimentée par une source de tension alternative sinusoïdale \(u(t) = 12 \sin(100\pi t)\), où \(u(t)\) est en volts (V) et \(t\) en secondes (s).
L'inductance de la bobine est \(L = 0.2 \text{ H}\).
Questions
- Déterminer l'amplitude (valeur maximale) \(U_m\) et la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
- Calculer la fréquence \(f\) et la période \(T\) de la tension.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
- En considérant la bobine comme idéale (résistance interne nulle), déterminer l'expression du courant instantané \(i(t)\) qui la traverse.
- Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) pour la bobine idéale.
- Pour la bobine idéale, calculer la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q_L\), et la puissance apparente \(S\).
- On considère maintenant que la bobine possède une résistance interne \(R_b = 10 \text{ Ω}\). Calculer l'impédance \(Z_b\) de cette bobine réelle.
- Pour cette bobine réelle, calculer la nouvelle valeur efficace du courant \(I'_{eff}\) et la nouvelle puissance active \(P'\) consommée.
Correction : Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
1. Amplitude (\(U_m\)) et Pulsation (\(\omega\)) de la Tension
L'expression de la tension est \(u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_u)\). Par identification avec \(u(t) = 12 \sin(100\pi t)\) :
Amplitude : \(U_m = 12 \text{ V}\).
Pulsation : \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\).
2. Fréquence (\(f\)) et Période (\(T\)) de la Tension
Fréquence \(f = \omega / (2\pi)\) et Période \(T = 1/f\).
Données : \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
Fréquence : \(f = 50 \text{ Hz}\).
Période : \(T = 0.02 \text{ s}\) (ou \(20 \text{ ms}\)).
3. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))
\(X_L = L\omega\).
Données : \(L = 0.2 \text{ H}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
La réactance inductive est \(X_L \approx 62.83 \text{ Ω}\).
4. Expression du Courant Instantané \(i(t)\) (Bobine Idéale)
Pour une bobine idéale, le courant est en retard de \(\pi/2\) radians sur la tension. L'amplitude du courant \(I_m = U_m / X_L\).
Données : \(U_m = 12 \text{ V}\), \(X_L = 20\pi \text{ Ω}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\). Phase de la tension \(\phi_u = 0\).
Le courant est en retard de \(\pi/2\) : \(\phi_i = \phi_u - \pi/2 = 0 - \pi/2 = -\pi/2\).
L'expression du courant instantané est \(i(t) \approx 0.191 \sin(100\pi t - \frac{\pi}{2}) \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Déphasage Inductif
5. Calcul de la Valeur Efficace du Courant (\(I_{eff}\)) (Bobine Idéale)
\(I_{eff} = I_m / \sqrt{2}\).
Données : \(I_m = \frac{3}{5\pi} \text{ A}\)
Alternativement, \(U_{eff} = U_m / \sqrt{2} = 12/\sqrt{2} \text{ V}\). \(I_{eff} = U_{eff} / X_L = (12/\sqrt{2}) / (20\pi) = 12 / (20\pi\sqrt{2}) = 3 / (5\pi\sqrt{2}) \text{ A}\).
La valeur efficace du courant est \(I_{eff} \approx 0.135 \text{ A}\).
6. Puissances \(P\), \(Q_L\), et \(S\) (Bobine Idéale)
Pour une bobine idéale, la résistance est nulle, donc la puissance active \(P\) est nulle. Le déphasage \(\phi = 90^\circ\).
Données : \(U_{eff} = 12/\sqrt{2} \text{ V} \approx 8.485 \text{ V}\), \(I_{eff} \approx 0.135 \text{ A}\), \(\phi = 90^\circ\)
Alternativement, \(Q_L = X_L I_{eff}^2 \approx (20\pi) \times (0.13503)^2 \approx 62.83 \times 0.01823 \approx 1.146 \text{ VAR}\).
Puissance active : \(P = 0 \text{ W}\).
Puissance réactive : \(Q_L \approx 1.15 \text{ VAR}\).
Puissance apparente : \(S \approx 1.15 \text{ VA}\).
7. Impédance (\(Z_b\)) de la Bobine Réelle
Bobine réelle : \(L = 0.2 \text{ H}\), \(R_b = 10 \text{ Ω}\). Fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\) (\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)). La réactance \(X_L = 20\pi \text{ Ω} \approx 62.83 \text{ Ω}\) reste la même.
L'impédance de la bobine réelle est \(Z_b \approx 63.62 \text{ Ω}\).
8. Courant Efficace (\(I'_{eff}\)) et Puissance Active (\(P'\)) (Bobine Réelle)
La tension d'alimentation efficace est \(U_{eff} = 12/\sqrt{2} \text{ V} \approx 8.485 \text{ V}\).
La puissance active est dissipée uniquement dans la résistance \(R_b\).
Le nouveau courant efficace est \(I'_{eff} \approx 0.133 \text{ A}\).
La nouvelle puissance active est \(P' \approx 0.178 \text{ W}\).
Quiz Intermédiaire : Bobine Réelle vs Idéale
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Glossaire des Termes Clés
Inductance (L) :
Propriété d'un composant (bobine) à s'opposer aux variations du courant, mesurée en Henrys (H).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition d'une inductance au courant alternatif, \(X_L = L\omega\), mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal AC, \(\omega = 2\pi f\), mesurée en radians par seconde (rad/s).
Impédance (Z) :
Opposition totale d'un circuit au courant alternatif, incluant résistance et réactance. Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Déphasage (\(\phi\)) :
Différence de phase entre la tension et le courant dans un circuit AC.
Puissance Active (P) :
Puissance réellement dissipée, généralement par les résistances. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q_L\)) :
Puissance échangée avec le champ magnétique d'une inductance. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
Puissance Apparente (S) :
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = U_{eff}I_{eff}\)). Unité : Voltampère (VA).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la présence d'un noyau ferromagnétique à l'intérieur d'une bobine affecte-t-elle son inductance et sa réactance inductive ?
2. Expliquez le concept de "force contre-électromotrice" (f.c.é.m.) dans une bobine et son rôle dans l'opposition aux variations de courant.
3. Dans un circuit RLC série, comment varie l'impédance totale en fonction de la fréquence ? Qu'est-ce que la fréquence de résonance ?
4. Pourquoi les transformateurs utilisent-ils des bobines (enroulements) et comment fonctionnent-ils pour modifier les niveaux de tension alternative ?
5. Si une bobine réelle est soumise à un échelon de tension continue (par exemple, fermeture d'un interrupteur la reliant à une pile), comment le courant évolue-t-il au cours du temps ? Quelle est la constante de temps du circuit ?
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