Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calculs de Surface et Densité de Charge

Calculs de Surface et Densité de Charge sur un Cylindre

Calculs de Surface et Densité de Charge sur un Cylindre

Comprendre les Densités de Charge et les Aires de Surface

En électrostatique, lorsqu'une charge est répartie sur la surface d'un objet, il est utile de définir la densité de charge surfacique, notée \(\sigma\). Cette grandeur représente la quantité de charge par unité d'aire (\(\text{C/m}^2\)). Si une charge totale \(Q\) est uniformément répartie sur une surface d'aire \(A\), alors \(\sigma = Q/A\). Pour calculer cette densité, il est donc essentiel de pouvoir déterminer correctement l'aire de la surface sur laquelle la charge est distribuée. Cet exercice se concentre sur le calcul des différentes aires d'un cylindre et de la densité de charge surfacique correspondante.

Données de l'étude

On considère un cylindre plein de rayon \(R = 4,0 \, \text{cm}\) et de hauteur \(h = 10,0 \, \text{cm}\).

Une charge totale \(Q = +12,0 \, \text{nC}\) est uniformément répartie sur toute la surface externe du cylindre (c'est-à-dire sur ses deux bases circulaires et sa surface latérale).

Constante :

  • \(\pi \approx 3,14159\)
Schéma : Cylindre Chargé
{/* Corps du cylindre */} {/* Base supérieure (ellipse) */} {/* Base inférieure (ellipse) */} {/* Axe central */} {/* Cotes */} {/* Rayon R */} R {/* Hauteur h */} h Cylindre de rayon R et hauteur h

Cylindre de rayon R et de hauteur h, portant une charge Q sur sa surface totale.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A_{\text{base}}\) d'une des bases circulaires du cylindre.
  2. Calculer l'aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\) du cylindre.
  3. Calculer l'aire totale \(A_{\text{tot}}\) de la surface du cylindre (deux bases + surface latérale).
  4. Calculer la densité de charge surfacique \(\sigma\) sur la surface totale du cylindre.
  5. Si la même charge totale \(Q\) était uniquement répartie sur la surface latérale du cylindre, quelle serait la densité de charge surfacique \(\sigma_{\text{lat}}\) sur cette surface latérale ?
  6. Si la même charge totale \(Q\) était uniquement répartie sur les deux bases du cylindre (de manière égale sur chaque base), quelle serait la densité de charge surfacique \(\sigma_{\text{bases}}\) sur l'une des bases ?

Correction : Calculs de Surface et Densité de Charge sur un Cylindre

Question 1 : Aire \(A_{\text{base}}\) d'une base circulaire

Principe :

L'aire d'un cercle (base du cylindre) de rayon \(R\) est donnée par la formule \(\pi R^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{base}} = \pi R^2\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Rayon \(R = 4,0 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m}\)
  • \(\pi \approx 3,14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{base}} &= \pi (0,04 \, \text{m})^2 \\ &= \pi (0,0016 \, \text{m}^2) \\ &\approx 3,14159 \times 0,0016 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,0050265 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire d'une base est \(A_{\text{base}} = 0,0016\pi \, \text{m}^2 \approx 0,005027 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\)

Principe :

L'aire de la surface latérale d'un cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) est le produit de la circonférence de la base par la hauteur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{lat}} = 2\pi R h\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Rayon \(R = 0,04 \, \text{m}\)
  • Hauteur \(h = 10,0 \, \text{cm} = 0,10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{lat}} &= 2\pi (0,04 \, \text{m}) (0,10 \, \text{m}) \\ &= 2\pi (0,004 \, \text{m}^2) \\ &= 0,008\pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,025133 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la surface latérale est \(A_{\text{lat}} = 0,008\pi \, \text{m}^2 \approx 0,025133 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Aire totale \(A_{\text{tot}}\) de la surface du cylindre

Principe :

L'aire totale de la surface d'un cylindre fermé est la somme de l'aire de ses deux bases circulaires et de son aire latérale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{tot}} = 2 A_{\text{base}} + A_{\text{lat}}\]
Données spécifiques :
  • \(A_{\text{base}} = 0,0016\pi \, \text{m}^2\)
  • \(A_{\text{lat}} = 0,008\pi \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{tot}} &= 2 \times (0,0016\pi \, \text{m}^2) + (0,008\pi \, \text{m}^2) \\ &= 0,0032\pi \, \text{m}^2 + 0,008\pi \, \text{m}^2 \\ &= 0,0112\pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,035186 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'aire totale de la surface du cylindre est \(A_{\text{tot}} = 0,0112\pi \, \text{m}^2 \approx 0,035186 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur \(h\) d'un cylindre double et son rayon \(R\) reste constant, son aire latérale :

Question 4 : Densité de charge surfacique \(\sigma\) sur la surface totale

Principe :

La densité de charge surfacique \(\sigma\) est la charge totale \(Q\) divisée par l'aire totale \(A_{\text{tot}}\) sur laquelle elle est répartie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{Q}{A_{\text{tot}}}\]
Données spécifiques :
  • \(Q = +12,0 \, \text{nC} = +12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(A_{\text{tot}} = 0,0112\pi \, \text{m}^2 \approx 0,0351858 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,0112\pi \, \text{m}^2} \\ &\approx \frac{12,0 \times 10^{-9}}{0,0351858} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 341,05 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 341,1 \, \text{nC/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La densité de charge surfacique est \(\sigma \approx 341,1 \, \text{nC/m}^2\).

Question 5 : Densité de charge surfacique \(\sigma_{\text{lat}}\) sur la surface latérale uniquement

Principe :

Si la charge \(Q\) est uniquement sur la surface latérale, on utilise \(A_{\text{lat}}\) pour calculer \(\sigma_{\text{lat}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{lat}} = \frac{Q}{A_{\text{lat}}}\]
Données spécifiques :
  • \(Q = +12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(A_{\text{lat}} = 0,008\pi \, \text{m}^2 \approx 0,0251327 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{lat}} &= \frac{12,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,008\pi \, \text{m}^2} \\ &\approx \frac{12,0 \times 10^{-9}}{0,0251327} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 477,46 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 477,5 \, \text{nC/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\sigma_{\text{lat}} \approx 477,5 \, \text{nC/m}^2\).

Question 6 : Densité de charge surfacique \(\sigma_{\text{bases}}\) sur une base

Principe :

Si la charge \(Q\) est répartie également sur les deux bases, chaque base porte \(Q/2\). La densité sur une base est alors \((Q/2) / A_{\text{base}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{bases}} = \frac{Q/2}{A_{\text{base}}}\]
Données spécifiques :
  • \(Q = +12,0 \times 10^{-9} \, \text{C} \Rightarrow Q/2 = 6,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(A_{\text{base}} = 0,0016\pi \, \text{m}^2 \approx 0,0050265 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{bases}} &= \frac{6,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,0016\pi \, \text{m}^2} \\ &\approx \frac{6,0 \times 10^{-9}}{0,0050265} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 1193,66 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 1193,7 \, \text{nC/m}^2 \quad (\text{ou } 1,194 \, \mu\text{C/m}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : \(\sigma_{\text{bases}} \approx 1193,7 \, \text{nC/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge totale Q sur un cylindre est fixée, mais que sa hauteur \(h\) est doublée (rayon R constant), la densité de charge surfacique moyenne \(\sigma\) sur la surface totale (bases + latérale) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La densité de charge surfacique \(\sigma\) est définie comme :

2. L'aire latérale d'un cylindre de rayon R et de hauteur h est donnée par :

3. Si la charge totale Q sur un objet est doublée et que sa surface A reste la même, la densité de charge surfacique \(\sigma\) :

Glossaire

Densité de Charge Surfacique (\(\sigma\))
Charge électrique par unité de surface. Si une charge \(Q\) est uniformément répartie sur une surface d'aire \(A\), alors \(\sigma = Q/A\). Unité : Coulomb par mètre carré (\(\text{C/m}^2\)).
Aire Latérale d'un Cylindre
Aire de la surface courbe du cylindre, excluant les bases. Formule : \(2\pi R h\), où \(R\) est le rayon et \(h\) la hauteur.
Aire d'une Base (Cercle)
Aire d'une des faces circulaires du cylindre. Formule : \(\pi R^2\).
Aire Totale d'un Cylindre Fermé
Somme des aires des deux bases et de l'aire latérale. Formule : \(2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R (R+h)\).
Charge Électrique (\(Q\))
Propriété fondamentale de la matière qui subit une force lorsqu'elle est placée dans un champ électromagnétique. Unité : Coulomb (C).
Nanocoulomb (nC)
Unité de charge électrique égale à \(10^{-9}\) coulombs.
Calculs de Surface et Densité de Charge

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