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Exercices Électricité

Différence de Potentiel dans un Câble Cylindrique

Différence de Potentiel dans un Câble Cylindrique

Différence de Potentiel dans un Câble Cylindrique (Coaxial)

Comprendre la Différence de Potentiel dans un Câble Coaxial

Un câble coaxial est une structure courante en électromagnétisme, constituée d'un conducteur central (âme) et d'un conducteur cylindrique extérieur (gaine ou blindage), séparés par un matériau diélectrique (ou le vide). Lorsqu'une charge est présente sur le conducteur interne (et une charge opposée induite sur la surface interne du conducteur externe, ou si ce dernier est à un potentiel de référence), un champ électrique radial s'établit dans l'espace entre les deux conducteurs. La différence de potentiel entre l'âme et la gaine est une caractéristique importante de ces câbles, notamment pour déterminer leur capacité par unité de longueur.

Données de l'étude

On considère un long câble coaxial. Le conducteur interne est un cylindre plein de rayon \(R_1 = 1,0 \, \text{mm}\). Le conducteur externe est une gaine cylindrique coaxiale de rayon intérieur \(R_2 = 5,0 \, \text{mm}\). L'espace entre les deux conducteurs est rempli de vide.

Le conducteur interne porte une densité de charge linéique uniforme \(+\lambda = +30,0 \, \text{nC/m}\). On supposera que le conducteur externe est à un potentiel de référence \(V(R_2) = 0 \, \text{V}\) (mis à la terre).

Constantes :

  • Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Constante de Coulomb (pour référence) : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Coupe Transversale d'un Câble Coaxial
{/* Conducteur externe */} R₂ Gaine (V=0) {/* Conducteur interne */} R₁ Âme (+λ) {/* Centre O */} O {/* Ligne de champ électrique (exemple) */} E Câble coaxial

Coupe transversale du câble coaxial avec conducteur interne de rayon \(R_1\) et conducteur externe de rayon \(R_2\).

Questions à traiter

  1. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l'expression du module du champ électrique \(E(r)\) pour \(R_1 < r < R_2\) (c'est-à-dire dans l'espace entre les deux conducteurs).
  2. Quelle est la direction du champ électrique \(\vec{E}(r)\) dans cette région ?
  3. Calculer la différence de potentiel \(V(R_1) - V(R_2)\) entre le conducteur interne et le conducteur externe. On rappelle que \(V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}\).
  4. Application numérique : Calculer la valeur de cette différence de potentiel \(U = V(R_1) - V(R_2)\).
  5. Définir et calculer la capacité par unité de longueur \(C/L\) de ce câble coaxial.

Correction : Différence de Potentiel dans un Câble Cylindrique

Question 1 : Champ électrique \(E(r)\) pour \(R_1 < r < R_2\)

Principe :

On utilise le théorème de Gauss avec une surface de Gauss cylindrique de rayon \(r\) (avec \(R_1 < r < R_2\)) et de longueur \(L'\). Par symétrie cylindrique, le champ électrique \(\vec{E}\) est radial et sa magnitude ne dépend que de \(r\). Le flux à travers les bases du cylindre de Gauss est nul car \(\vec{E}\) est perpendiculaire à \(d\vec{A}\) sur ces surfaces.

Formule(s) utilisée(s) (Théorème de Gauss) :
\[ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \]
Calcul :

La charge enfermée par le cylindre de Gauss de longueur \(L'\) est \(Q_{\text{int}} = \lambda L'\). Le flux à travers la surface latérale du cylindre de Gauss est \(\Phi_E = E(r) \cdot (2\pi r L')\).

\[ \begin{aligned} E(r) \cdot (2\pi r L') &= \frac{\lambda L'}{\varepsilon_0} \\ E(r) &= \frac{\lambda L'}{2\pi r L' \varepsilon_0} \\ E(r) &= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \end{aligned} \]

On peut aussi écrire \(E(r) = \frac{2k_e\lambda}{r}\) puisque \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0)\).

Résultat Question 1 : Le module du champ électrique pour \(R_1 < r < R_2\) est \(E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\).

Question 2 : Direction du champ électrique \(\vec{E}(r)\)

Principe :

Si \(\lambda > 0\) (charge positive sur le conducteur interne), le champ électrique pointe radialement vers l'extérieur, s'éloignant de l'axe du câble.

Résultat Question 2 : Le champ électrique \(\vec{E}(r)\) est dirigé radialement vers l'extérieur (de l'âme vers la gaine). En coordonnées cylindriques, \(\vec{E}(r) = E(r) \hat{u}_r\).

Question 3 : Différence de potentiel \(V(R_1) - V(R_2)\)

Principe :

La différence de potentiel est \(V(R_1) - V(R_2) = -\int_{R_2}^{R_1} \vec{E} \cdot d\vec{l}\). Comme \(\vec{E}\) est radial et que l'on intègre le long d'un rayon, \(d\vec{l} = dr \hat{u}_r\), donc \(\vec{E} \cdot d\vec{l} = E(r) dr\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V(R_1) - V(R_2) = -\int_{R_2}^{R_1} E(r) dr \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V(R_1) - V(R_2) &= -\int_{R_2}^{R_1} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} dr \\ &= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \int_{R_2}^{R_1} \frac{1}{r} dr \\ &= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} [\ln|r|]_{R_2}^{R_1} \\ &= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} (\ln(R_1) - \ln(R_2)) \\ &= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{R_1}{R_2}\right) \\ &= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \end{aligned} \]

Puisque \(R_2 > R_1\), \(\ln(R_2/R_1)\) est positif. Si \(\lambda > 0\), alors \(V(R_1) - V(R_2)\) est positif, ce qui signifie que le conducteur interne est à un potentiel plus élevé, ce qui est cohérent.

Résultat Question 3 : La différence de potentiel est \(V(R_1) - V(R_2) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon \(R_2\) du conducteur externe augmente (en gardant \(R_1\) et \(\lambda\) constants), la différence de potentiel \(V(R_1) - V(R_2)\) :

Question 4 : Application numérique pour \(U = V(R_1) - V(R_2)\)

Principe :

On utilise la formule trouvée à la question 3 avec les valeurs numériques données.

Données spécifiques :
  • \(\lambda = +30,0 \, \text{nC/m} = +30,0 \times 10^{-9} \, \text{C/m}\)
  • \(R_1 = 1,0 \, \text{mm} = 1,0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • \(R_2 = 5,0 \, \text{mm} = 5,0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Calcul :
\[ \frac{R_2}{R_1} = \frac{5,0 \times 10^{-3} \, \text{m}}{1,0 \times 10^{-3} \, \text{m}} = 5 \]
\[ \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) = \ln(5) \approx 1,6094 \]
\[ \begin{aligned} U &= V(R_1) - V(R_2) \\ &= \frac{30,0 \times 10^{-9} \, \text{C/m}}{2\pi (8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m})} \times \ln(5) \\ &\approx \frac{30,0 \times 10^{-9}}{2\pi \times 8,854 \times 10^{-12}} \times 1,6094 \, \text{V} \\ &\approx \frac{30,0 \times 10^{-9}}{55,632 \times 10^{-12}} \times 1,6094 \, \text{V} \\ &\approx (0,53924 \times 10^3) \times 1,6094 \, \text{V} \\ &\approx 539,24 \times 1,6094 \, \text{V} \\ &\approx 867,80 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La différence de potentiel \(U = V(R_1) - V(R_2) \approx 867,80 \, \text{V}\).

Question 5 : Capacité par unité de longueur \(C/L\)

Principe :

La capacité \(C\) d'un condensateur est définie par \(C = Q/U\), où \(Q\) est la magnitude de la charge sur l'un des conducteurs et \(U\) est la différence de potentiel entre eux. Pour un câble de longueur \(L\), la charge est \(Q = \lambda L\). La capacité par unité de longueur est donc \((C/L) = \lambda/U\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{C}{L} = \frac{\lambda}{V(R_1) - V(R_2)} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{C}{L} &= \frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \\ &= \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(R_2/R_1)} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} \frac{C}{L} &= \frac{2\pi (8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m})}{\ln(5)} \\ &\approx \frac{55,632 \times 10^{-12} \, \text{F/m}}{1,6094} \\ &\approx 34,569 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \\ &\approx 34,57 \, \text{pF/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La capacité par unité de longueur est \(\frac{C}{L} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(R_2/R_1)} \approx 34,57 \, \text{pF/m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La capacité par unité de longueur d'un câble coaxial :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un câble coaxial, le champ électrique entre le conducteur interne et le conducteur externe (en supposant une charge \(+\lambda\) sur l'âme) est :

2. La différence de potentiel entre deux points A et B est définie comme :

3. La capacité par unité de longueur d'un câble coaxial augmente si :

Glossaire

Câble Coaxial
Type de câble électrique constitué d'un conducteur central (âme) entouré d'un diélectrique, lui-même entouré d'un conducteur extérieur cylindrique (gaine ou blindage), le tout souvent recouvert d'une gaine isolante protectrice.
Densité de Charge Linéique (\(\lambda\))
Charge électrique par unité de longueur. Unité : Coulomb par mètre (C/m).
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Unité : Volt (V).
Différence de Potentiel (\(U\) ou \(\Delta V\))
Travail par unité de charge nécessaire pour déplacer une charge entre deux points. \(U_{AB} = V_A - V_B\). Unité : Volt (V).
Théorème de Gauss
Le flux électrique net à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique nette enfermée : \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\).
Permittivité du Vide (\(\varepsilon_0\))
Constante physique fondamentale. \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Capacité (\(C\))
Rapport de la charge \(Q\) emmagasinée sur un conducteur à la différence de potentiel \(U\) entre ce conducteur et un autre (ou l'infini). \(C = Q/U\). Unité : Farad (F).
Différence de Potentiel dans un Câble Cylindrique

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