Champ Électrique Créé par un Système de Charges
📝 Situation du Projet & Enjeux Industriels
Le Centre d'Excellence en Microélectronique (CEM) de Grenoble, en partenariat avec le consortium européen SENSOR-ION, développe une nouvelle génération de spectromètres de mobilité ionique miniaturisés. Ces dispositifs sont cruciaux pour la surveillance environnementale, notamment pour la détection temps-réel de composés organiques volatils (COV) dans les zones urbaines denses.
Le cœur du système repose sur une puce de silicium de série "Alpha-1", gravée en salle blanche ISO-5. Cette puce intègre deux micro-électrodes de focalisation, nommées A (Anode virtuelle) et B (Cathode de guidage), destinées à générer une barrière de potentiel précise. Cette barrière doit canaliser les ions entrants vers un détecteur capacitif situé au point critique M. Une déviation non maîtrisée du champ électrostatique à cet endroit entraînerait une perte de sensibilité de 40%, rendant le capteur non conforme aux normes de qualité de l'air.
En tant qu'ingénieur en physique appliquée du bureau d'études, votre responsabilité est engagée. Avant le lancement de la production de 50 000 unités, vous devez valider analytiquement la topologie du champ. Le modèle numérique par éléments finis (FEM) a donné des résultats préliminaires, mais une validation manuelle rigoureuse est exigée par le protocole de certification pour garantir l'absence d'artefacts numériques.
En tant qu'Ingénieur Physicien, vous devez calculer le vecteur champ électrique net au point de passage \( M \), généré par le système de deux charges statiques \( q_A \) et \( q_B \). Vous devrez déterminer ses composantes cartésiennes, sa norme et son orientation précise par rapport à l'horizontale.
"Attention, les charges mises en jeu sont faibles (micro-coulombs) mais les distances sont très courtes (centimètres). Cela engendre des champs intenses. Veillez à bien convertir les distances en mètres avant tout calcul pour éviter une erreur d'ordre de grandeur catastrophique pour le silicium."
Pour mener à bien cette étude de dimensionnement, nous nous basons sur les spécifications techniques du Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP) du projet SENSOR-ION. Chaque paramètre a été défini par les contraintes de fabrication nanométriques.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
- Loi de Coulomb (1785) : Principe fondamental décrivant l'interaction électrostatique entre charges ponctuelles dans le vide.
- Principe de Superposition Linéaire : Le champ résultant est la somme vectorielle des champs individuels (validé pour les milieux linéaires comme le vide ou l'air sec).
- Norme IEEE 2700-2017 : Standard pour les définitions de capteurs MEMS (Micro-Electromechanical Systems).
⚙️ Caractérisation du Système
Les valeurs de charge sont imposées par les amplificateurs de tension intégrés au circuit ASIC de pilotage. La charge \( q_A \) est positive car reliée au rail haute tension (+HV), tandis que \( q_B \) est négative, connectée au rail de contre-polarisation (-HV). Les positions géométriques sont figées par la lithographie optique du wafer.
| SOURCES ÉLECTROSTATIQUES | |
| Charge Anode A (\( q_A \)) | +2,0 \( \mu C \) (Source Répulsive) |
| Charge Cathode B (\( q_B \)) | -3,0 \( \mu C \) (Source Attractive) |
| GÉOMÉTRIE (Coordonnées du plan de gravure) | |
| Position A (Origine) | (0 ; 0) cm |
| Position B (Sur axe focal) | (4,0 ; 0) cm |
| Position M (Point de passage) | (0 ; 3,0) cm |
| CONSTANTES UNIVERSELLES | |
| Constante de Coulomb (\( k \)) | \( 9,0 \times 10^9 \) \( \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2} \) |
| Milieu de propagation | Vide / Air Sec (\( \epsilon_r \approx 1 \)) |
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Charge A (Source 1) | \( q_A \) | +2,0 | \( \mu C \) |
| Charge B (Source 2) | \( q_B \) | -3,0 | \( \mu C \) |
| Abscisse relative | \( x_B \) | 4,0 | cm |
| Ordonnée relative | \( y_M \) | 3,0 | cm |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer le champ électrique résultant avec rigueur, nous allons décomposer le problème vectoriel en étapes scalaires et géométriques successives.
Analyse Géométrique
Calcul des distances séparant chaque charge du point M et détermination des angles trigonométriques du triangle formé par les points A, B et M.
Calcul des Intensités (Normes)
Application de la loi de Coulomb pour déterminer la valeur scalaire (la norme) du champ généré individuellement par la charge A et la charge B au point M, sans tenir compte de la direction pour l'instant.
Projection Vectorielle
Décomposition de chaque vecteur champ sur les axes cartésiens (Ox) et (Oy) en utilisant les fonctions cosinus et sinus, en faisant attention aux signes imposés par la nature attractive ou répulsive des charges.
Superposition & Résultante
Sommation des composantes pour obtenir le vecteur total, puis calcul de la norme finale et de l'angle d'inclinaison du champ net.
Champ Électrique Créé par un Système de Charges
1. Objectif de cette étape
L'objectif fondamental de cette première étape est de modéliser l'espace métrique dans lequel les interactions physiques vont se produire. Avant d'appliquer la moindre loi électromagnétique, nous devons connaître avec une précision absolue les distances qui séparent les sources (charges A et B) de la cible (point M). En effet, l'intensité de la force coulombienne décroît avec le carré de la distance : une approximation ici fausserait tout le reste. Nous devons également identifier les angles géométriques du triangle ABM qui nous permettront, dans l'étape 3, de projeter nos vecteurs forces sur les axes du repère orthonormé.
2. Référentiel Mathématique
Géométrie Euclidienne (Pythagore) Trigonométrie Plane (Sin/Cos/Tan)En analysant les coordonnées fournies par le bureau d'études, nous remarquons une configuration très particulière : le point A est à l'origine \( (0,0) \), le point B est sur l'axe des abscisses \( (4,0) \) et le point M est sur l'axe des ordonnées \( (0,3) \).
Cette disposition n'est pas aléatoire : elle forme un triangle rectangle en A. C'est une excellente nouvelle pour la résolution analytique, car cela simplifie considérablement les calculs de distances. La distance \( r_A \) (de A vers M) correspond simplement à l'ordonnée de M. La distance \( r_B \) (de B vers M) est l'hypoténuse du triangle rectangle ABM. Nous n'aurons même pas besoin de calculer l'angle en degrés immédiatement, car les rapports trigonométriques (cosinus et sinus) peuvent être déduits directement des longueurs des côtés.
Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse \( c \) est reliée aux deux autres côtés \( a \) et \( b \) par la relation fondamentale :
De plus, pour un angle \( \theta \), les rapports trigonométriques se définissent ainsi :
6. Données d'Entrée
| Point | Abscisse X (cm) | Ordonnée Y (cm) |
|---|---|---|
| A (Source 1) | 0 | 0 |
| B (Source 2) | 4 | 0 |
| M (Cible) | 0 | 3 |
Attention ! Les coordonnées sont données en centimètres (cm), unité usuelle des plans mécaniques. Cependant, le Système International (SI) utilisé en électromagnétisme exige des mètres (m). Il est impératif de convertir dès maintenant pour éviter d'introduire des facteurs \( 10^{-2} \) ou \( 10^{-4} \) erronés plus tard.
Rappel : \( 1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m} \).
8. Calculs Détaillés
1. Détermination de la distance rA (A → M) :
Explication de la démarche : Le point M est situé verticalement au-dessus de A. Puisque A est à l'origine (0,0) et M à (0,3), la distance correspond simplement à la différence de leurs ordonnées. C'est une mesure directe le long de l'axe Y.
Interprétation : La charge A est très proche du point de mesure (3 cm). Son influence sera probablement dominante.
2. Détermination de la distance rB (B → M) :
Explication de la démarche : Le point B est décalé horizontalement. Nous calculons la diagonale directe reliant B à M en utilisant le théorème de Pythagore sur les coordonnées converties. Nous remplaçons les valeurs : \( x_M=0, x_B=0.04 \) et \( y_M=0.03, y_B=0 \). Ensuite, nous calculons les carrés puis la racine de la somme.
Interprétation : On reconnaît ici le triplet Pythagoricien "3-4-5". La distance est exactement de 5 cm. C'est une valeur "ronde" qui confirme la cohérence de l'énoncé.
3. Calcul du cosinus de l'angle θ :
Explication de la démarche : Nous définissons \( \theta \) comme l'angle au sommet B du triangle ABM. Cet angle sera essentiel pour décomposer le vecteur \( \vec{E}_B \). Dans le triangle rectangle en A, nous utilisons les définitions standard : le Cosinus est le rapport (Adjacent/Hypoténuse).
- Adjacent = AB = 0,04 m.
- Hypoténuse = BM = 0,05 m.
4. Calcul du sinus de l'angle θ :
Explication de la démarche : De même, le Sinus est le rapport (Opposé/Hypoténuse).
- Opposé = AM = 0,03 m.
Interprétation : Ces valeurs exactes (0,8 et 0,6) vont grandement simplifier les calculs vectoriels ultérieurs en évitant les arrondis d'angles.
L'analyse géométrique confirme que la configuration du capteur est stable. Les distances de 3 cm et 5 cm sont suffisamment proches pour générer des champs forts avec de faibles tensions, tout en restant dans les tolérances de fabrication. Les rapports trigonométriques simples (0,6 et 0,8) indiquent une conception optimisée pour faciliter les calculs de calibration.
Nous vérifions la relation fondamentale de la trigonométrie :
Le modèle géométrique est parfaitement cohérent et fermé.
Une erreur fréquente est d'inverser Sinus et Cosinus. Rappelez-vous : le cosinus est lié à l'axe adjacent (ici l'axe X horizontal), et le sinus à l'axe opposé (ici l'axe Y vertical).
1. Objectif de cette étape
Dans cette seconde phase, nous quittons la géométrie pure pour entrer dans la physique. Nous allons calculer l'intensité (ou la "norme") du champ électrique généré par chaque charge indépendamment au point M. Important : À ce stade, nous ne nous occupons pas de la direction des vecteurs (vers le haut, vers le bas, etc.), mais uniquement de leur "force" brute. Nous cherchons des valeurs scalaires positives, exprimées en Newton par Coulomb (N/C).
2. Référentiel Physique
Loi de Coulomb (Champ Électrostatique) Principe de Superposition (Indépendance des sources)Nous faisons face à deux charges de signes opposés : \( q_A \) est positive et \( q_B \) est négative (\(-3 \mu C\)). C'est une source fréquente d'erreur.
Règle d'or : Pour calculer une norme (la longueur d'un vecteur), on utilise toujours la valeur absolue de la charge \( |q| \). Le signe "moins" de la charge B n'a aucune influence sur l'intensité du champ ; il ne servira qu'à définir le sens du vecteur (attractif ou répulsif) dans l'étape suivante. Nous allons donc traiter \( q_B \) comme une charge de \( 3,0 \mu C \) pour ce calcul.
Le champ électrique \( E \) créé par une charge ponctuelle \( q \) en un point situé à une distance \( r \) dans le vide est proportionnel à la charge et inversement proportionnel au carré de la distance. La constante de proportionnalité \( k \) (ou \( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \)) caractérise la "permittivité" du vide à transmettre ce champ.
6. Données d'Entrée (Unités SI)
| Variable | Valeur Scientifique | Unité |
|---|---|---|
| Constante k | \( 9,0 \times 10^9 \) | SI |
| Charge \( |q_A| \) | \( 2,0 \times 10^{-6} \) | Coulomb (C) |
| Charge \( |q_B| \) | \( 3,0 \times 10^{-6} \) | Coulomb (C) |
| Distance \( r_A \) | 0,03 | Mètre (m) |
| Distance \( r_B \) | 0,05 | Mètre (m) |
Pour éviter les erreurs de calculatrice, séparez les nombres des puissances de 10. Calculez \( \frac{9 \times 2}{3^2} \) d'abord, puis gérez les puissances \( 10^9 \times 10^{-6} / 10^{-4} \) ensuite.
8. Calculs Détaillés
1. Intensité du champ créé par la charge A :
Explication de la démarche : Nous appliquons la formule de Coulomb. Nous substituons \( q \) par \( 2 \cdot 10^{-6} \) et \( r \) par \( 0,03 \). Nous élevons d'abord la distance au carré : \( (0,03)^2 = 0,0009 \) ou \( 9 \cdot 10^{-4} \). Ensuite, nous multiplions les coefficients \( (9 \cdot 2) / 9 = 2 \) et soustrayons les puissances de 10 pour obtenir le résultat final.
Interprétation : On obtient 20 Millions de Newtons par Coulomb. C'est un champ très intense, dû à la proximité extrême de la charge.
2. Intensité du champ créé par la charge B :
Explication de la démarche : Même processus pour la charge B. Nous substituons \( q \) par \( 3 \cdot 10^{-6} \) (valeur absolue !) et \( r \) par \( 0,05 \). Le carré de 0,05 est 0,0025. La division finale nous donne 1,08.
Interprétation : Bien que la charge B soit plus forte en valeur absolue (3 vs 2), la distance plus grande (5 cm vs 3 cm) au carré réduit considérablement l'intensité finale. Le champ \( E_B \) est presque deux fois plus faible que \( E_A \).
Les calculs confirment que l'influence prédominante au point M est celle de la charge A, du fait de sa proximité immédiate. Cependant, l'influence de B n'est pas négligeable (environ 50% de celle de A). Le système n'est donc pas dominé par une seule source, ce qui rend l'analyse vectorielle indispensable.
L'ordre de grandeur est le Méga-Newton par Coulomb (\( 10^7 \)). Cela semble énorme, mais c'est standard à l'échelle microscopique des MEMS. Cela confirme la note de l'ingénieur en chef sur les risques de claquage.
L'erreur la plus courante est l'oubli du carré au dénominateur (\(r^2\)). Cela modifierait le résultat d'un facteur 100 ! Vérifiez toujours vos unités.
1. Objectif de cette étape
C'est l'étape critique de l'exercice. Nous disposons des "forces" brutes (les normes calculées en étape 2), mais un champ électrique est une grandeur vectorielle. Nous ne pouvons pas simplement additionner \( 2,0 + 1,08 \). Nous devons déterminer dans quelle direction pointe chaque champ et les décomposer sur les axes (Ox) et (Oy) du repère. C'est ici que les signes des charges (+/-) et les angles trigonométriques prennent tout leur sens.
2. Référentiel Mathématique
Calcul Vectoriel Projection OrthogonaleVisualisons mentalement les vecteurs au point M :
1. Pour la charge A (positive) : Le champ électrique "fuit" les charges positives. Le vecteur \( \vec{E}_A \) part donc de M et s'éloigne de A. Comme M est verticalement au-dessus de A, ce vecteur pointe droit vers le haut. Sa composante X sera nulle, et sa composante Y sera positive.
2. Pour la charge B (négative) : Le champ électrique "converge" vers les charges négatives. Le vecteur \( \vec{E}_B \) part de M et pointe vers B (en bas à droite). Il a donc une composante X positive (vers la droite) et une composante Y négative (vers le bas).
Pour décomposer un vecteur \( \vec{V} \) de norme \( V \) faisant un angle \( \theta \) avec l'axe X, on utilise les formules de projection orthogonale :
Il faut ensuite ajouter manuellement les signes (+ ou -) selon la direction.
Le champ total est la somme vectorielle des champs individuels :
6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Norme \( E_A \) | \( 2,0 \times 10^7 \) N/C |
| Norme \( E_B \) | \( 1,08 \times 10^7 \) N/C |
| Cosinus \( \theta \) | 0,8 |
| Sinus \( \theta \) | 0,6 |
Pour ne jamais inverser sin et cos : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. Ici, l'axe X est "adjacent" à l'angle \( \theta \) en B, donc on utilise le cosinus pour la composante X.
8. Calculs Détaillés
1. Projection du vecteur EA :
Explication de la démarche : Le vecteur est purement vertical et ascendant (répulsion le long de l'axe Y). L'angle avec l'axe X est de 90°. Donc \( \cos(90)=0 \) et \( \sin(90)=1 \). Nous affectons directement la norme totale à la composante Y, avec un signe positif.
Interprétation : La charge A ne pousse pas le point M ni vers la droite ni vers la gauche, uniquement vers le haut.
2. Projection du vecteur EB sur X :
Explication de la démarche : Le vecteur pointe de M vers B (direction Sud-Est). L'angle \( \theta \) que nous avons calculé au sommet B se retrouve par géométrie (angles alternes-internes) au point M par rapport à l'horizontale. Nous multiplions la norme de \( E_B \) par les coefficients trigonométriques :
- Sur l'axe X (Horizontal) : On projette avec le Cosinus. La direction est vers la droite, donc nous ajoutons un signe positif.
3. Projection du vecteur EB sur Y :
Explication de la démarche : Sur l'axe Y (Vertical) : On projette avec le Sinus. La direction est vers le bas, donc nous ajoutons manuellement un signe négatif.
Interprétation : La charge B "tire" le point M vers la droite avec une force de 0,864 unités et vers le bas avec une force de 0,648 unités.
4. Sommation Vectorielle sur l'axe X :
Explication de la démarche : Pour obtenir le vecteur final, nous appliquons la linéarité. Nous additionnons toutes les contributions sur l'axe X ensemble.
5. Sommation Vectorielle sur l'axe Y :
Explication de la démarche : Nous additionnons toutes les contributions sur l'axe Y ensemble.
Interprétation : Le bilan est positif sur les deux axes. Globalement, le champ pousse vers la droite et vers le haut. La composante verticale ascendante de A l'emporte sur la composante descendante de B.
Le champ résultant est désormais parfaitement défini. Nous savons qu'il pointe vers le "Nord-Est". La composante verticale est presque double de la composante horizontale, ce qui suggère un angle assez élevé. La dérive horizontale imposée par B est suffisante pour éloigner les ions de l'axe vertical, ce qui est le but recherché pour le guidage vers le détecteur.
Le résultat vectoriel est logique. A est plus proche de M que B, donc son influence (répulsion vers le haut) domine l'axe vertical. Cependant, B impose une dérive latérale vers la droite que A ne peut pas contrer.
Le piège absolu ici est le signe de \( E_{By} \). C'est une attraction vers le bas, donc le signe DOIT être négatif. Une erreur de signe ici fausserait totalement l'angle final.
1. Objectif de cette étape
Nous disposons maintenant de la définition mathématique exacte du vecteur champ \( \vec{E}_M \) (ses coordonnées). Cependant, pour l'ingénieur système qui va calibrer le capteur, ces deux chiffres ne suffisent pas. Il a besoin de grandeurs physiques concrètes : la norme totale du champ (pour vérifier le risque de claquage diélectrique) et l'angle de déviation exact (pour orienter les fentes de détection).
2. Référentiel Mathématique
Norme d'un Vecteur (Euclide) Fonction ArcTangenteNous avons un vecteur avec une composante X positive (\(+0,864\)) et une composante Y positive (\(+1,352\)). Géométriquement, ce vecteur pointe dans le premier quadrant (vers le Nord-Est).
Pour trouver la norme, nous réutilisons Pythagore sur ces deux composantes. Pour l'angle \( \alpha \) par rapport à l'horizontale, nous utilisons la trigonométrie dans le triangle formé par le vecteur lui-même : la tangente de l'angle est égale au rapport (Côté Opposé / Côté Adjacent), soit \( E_y / E_x \).
Transformer des coordonnées cartésiennes \((x, y)\) en coordonnées polaires \((R, \alpha)\) se fait via :
6. Données Vectorielles
| Composante | Valeur (\( \times 10^7 \) N/C) |
|---|---|
| Horizontale (Ex) | 0,864 |
| Verticale (Ey) | 1,352 |
Ne rentrez pas la puissance de 10 dans la fonction \( \arctan \). Comme elle est présente au numérateur et au dénominateur, elle s'annule :
Cela simplifie la saisie et évite les erreurs.
8. Calculs Détaillés
1. Calcul de la Norme Totale (Intensité ressentie) :
Explication de la démarche : Nous appliquons la racine carrée de la somme des carrés des composantes. Nous mettons le facteur \( 10^7 \) en facteur commun pour alléger l'écriture sous la racine : \( \sqrt{(0,864 \cdot 10^7)^2 + (1,352 \cdot 10^7)^2} = \sqrt{0,864^2 + 1,352^2} \cdot 10^7 \). Nous calculons la somme des carrés (2,574) puis prenons la racine (1,604).
Interprétation : L'intensité résultante est de 16 MN/C. C'est inférieur à la somme algébrique des normes (20 + 10 = 30), ce qui est normal car les vecteurs ne sont pas alignés.
2. Calcul de l'Orientation (Angle α) :
Explication de la démarche : Nous calculons l'angle par rapport à l'axe horizontal positif (Ox). Comme \( E_x > 0 \) et \( E_y > 0 \), l'arctangente donne directement le bon angle dans le premier quadrant. Nous calculons le ratio \( 1,352 / 0,864 \) qui vaut environ 1,565, puis nous prenons l'inverse de la tangente.
Interprétation : Le champ pousse les ions positifs vers le haut et la droite, avec une pente assez prononcée (plus de 45°, car la composante verticale est plus forte que l'horizontale).
Le modèle est validé. L'angle de 57,4° est idéal pour orienter les ions vers la plaque de détection située dans le quadrant supérieur droit. L'intensité de 16 MN/m est suffisante pour surpasser l'agitation thermique des ions, garantissant un guidage efficace, mais reste en dessous du seuil critique de claquage dans le vide (généralement autour de 20-30 MV/m pour des gaps millimétriques, bien que plus élevé à l'échelle micrométrique).
Le résultat (1,60) est bien intermédiaire entre \( E_A \) (2,0) et \( E_B \) (1,08). L'angle de 57° est cohérent : le vecteur est "tiré" vers le bas par B (ce qui réduit l'angle de 90° initial de A) mais reste majoritairement vertical.
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode DEGRÉS (DEG) et non en Radians (RAD) pour le calcul final de l'arctangente, sinon vous obtiendrez environ 1,00, ce qui serait faux.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 12/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Calcul |
- Loi de Coulomb (Électrostatique dans le vide)
- Principe de superposition vectorielle linéaire
| Charge Source A | +2,0 µC à (0,0) |
| Charge Source B | -3,0 µC à (4,0) |
| Point Cible M | (0,3) |
Synthèse des grandeurs vectorielles calculées au point M.
Expert I.A.
Directeur Labo
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