Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Champ électrique créé par un système de charges

Champ Électrique créé par un Système de Charges

Champ Électrique créé par un Système de Charges

Comprendre le Champ Électrique créé par un Système de Charges Ponctuelles

En électrostatique, une charge électrique ponctuelle \(q\) crée autour d'elle un champ électrique \(\vec{E}\). Ce champ vectoriel représente la force électrique qui serait exercée sur une charge d'essai unité placée en un point de l'espace. Lorsque plusieurs charges sont présentes, le champ électrique total en un point est la somme vectorielle des champs créés individuellement par chaque charge. C'est le principe de superposition. Cet exercice vise à appliquer ce principe pour calculer le champ électrique résultant d'un ensemble de charges discrètes.

Données de l'étude

On considère deux charges ponctuelles placées dans le vide :

  • Une charge \(q_1 = +2,0 \, \text{nC}\) située à l'origine O \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Une charge \(q_2 = -1,0 \, \text{nC}\) située au point A \((3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer le champ électrique total créé par ces deux charges au point P de coordonnées \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Système de Charges et Point P
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) {/* Origine O */} O {/* Charge q1 à l'origine (0,0) -> (50,150) en SVG */} q₁ {/* Charge q2 à A (3,0) -> (50+3*30, 150) = (140,150) en SVG (échelle: 1cm = 30px) */} q₂ A(3,0) {/* Point P (3,4) -> (50+3*30, 150-4*30) = (140,30) en SVG */} P(3,4) {/* Vecteur r1 de q1 à P */} r₁ {/* Vecteur r2 de q2 à P */} r₂ {/* Champ E1 (approximatif) */} {/* E1: (3,4) -> (3+0.6*3, 4-0.6*4) approx */} E₁ {/* Champ E2 (approximatif) */} {/* E2: (3,4) -> (3, 4+0.8) approx */} E₂ Système de charges et point d'évaluation P

Configuration des charges \(q_1\), \(q_2\) et du point P.

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur distance \(\vec{r}_1\) de la charge \(q_1\) au point P, sa norme \(r_1\), et le vecteur unitaire \(\hat{u}_1\) dirigé de \(q_1\) vers P.
  2. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par la charge \(q_1\) au point P.
  3. Calculer le vecteur distance \(\vec{r}_2\) de la charge \(q_2\) au point P, sa norme \(r_2\), et le vecteur unitaire \(\hat{u}_2\) dirigé de \(q_2\) vers P.
  4. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par la charge \(q_2\) au point P.
  5. En utilisant le principe de superposition, déterminer le vecteur champ électrique total \(\vec{E}_{\text{tot}}\) au point P.
  6. Calculer la magnitude (norme) et l'angle (par rapport à l'axe des x positifs) du champ électrique total \(\vec{E}_{\text{tot}}\) au point P.

Correction : Champ Électrique par un Système de Charges

Question 1 : Vecteur distance \(\vec{r}_1\), norme \(r_1\), et vecteur unitaire \(\hat{u}_1\)

Principe :

Le vecteur distance \(\vec{r}_1\) va de la source (charge \(q_1\)) au point d'observation (P). Si \(q_1\) est en \((x_1, y_1)\) et P en \((x_P, y_P)\), alors \(\vec{r}_1 = (x_P - x_1)\hat{i} + (y_P - y_1)\hat{j}\). La norme est \(r_1 = |\vec{r}_1| = \sqrt{(x_P - x_1)^2 + (y_P - y_1)^2}\). Le vecteur unitaire est \(\hat{u}_1 = \vec{r}_1 / r_1\).

Données spécifiques :
  • Position de \(q_1\) (Origine O) : \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de P : \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q_1\) en \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P en \((0,03 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} \vec{r}_1 &= (0,03 - 0)\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_1 &= |\vec{r}_1| \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \hat{u}_1 &= \frac{\vec{r}_1}{r_1} \\ &= \frac{0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}}{0,05 \, \text{m}} \\ &= \frac{0,03}{0,05}\hat{i} + \frac{0,04}{0,05}\hat{j} \\ &= 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r}_1 = 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_1 = 0,05 \, \text{m}\)
  • \(\hat{u}_1 = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)

Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}_1\) créé par \(q_1\) au point P

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par la loi de Coulomb : \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}\), où \(\hat{u}\) est le vecteur unitaire dirigé de la charge vers le point d'observation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_1 = k_e \frac{q_1}{r_1^2} \hat{u}_1\]
Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_1 = 0,05 \, \text{m}\)
  • \(\hat{u}_1 = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_1 &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,05 \, \text{m})^2} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{2,0 \times 10^{-9}}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{18}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= 7200 (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (7200 \times 0,6)\hat{i} + (7200 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= 4320\hat{i} + 5760\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{E}_1 = 4320\hat{i} + 5760\hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 3 : Vecteur distance \(\vec{r}_2\), norme \(r_2\), et vecteur unitaire \(\hat{u}_2\)

Principe :

Similaire à la question 1, mais pour la charge \(q_2\).

Données spécifiques :
  • Position de \(q_2\) (Point A) : \((3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de P : \((3,0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q_2\) en \((0,03 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P en \((0,03 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} \vec{r}_2 &= (0,03 - 0,03)\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_2 &= |\vec{r}_2| \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= 0,04 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \hat{u}_2 &= \frac{\vec{r}_2}{r_2} \\ &= \frac{0,04\hat{j} \, \text{m}}{0,04 \, \text{m}} \\ &= \hat{j} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • \(\vec{r}_2 = 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_2 = 0,04 \, \text{m}\)
  • \(\hat{u}_2 = \hat{j}\)

Question 4 : Champ électrique \(\vec{E}_2\) créé par \(q_2\) au point P

Principe :

Identique à la question 2, mais pour la charge \(q_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_2 = k_e \frac{q_2}{r_2^2} \hat{u}_2\]
Données spécifiques :
  • \(q_2 = -1,0 \, \text{nC} = -1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_2 = 0,04 \, \text{m}\)
  • \(\hat{u}_2 = \hat{j}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_2 &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,04 \, \text{m})^2} (\hat{j}) \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-1,0 \times 10^{-9}}{0,0016} (\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{-9,0}{0,0016} \hat{j} \, \text{N/C} \\ &= -5625 \hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{E}_2 = -5625\hat{j} \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire : La direction du champ électrique créé par une charge négative en un point P est :

Question 5 : Champ électrique total \(\vec{E}_{\text{tot}}\) au point P

Principe :

Le principe de superposition stipule que le champ électrique total en un point dû à un ensemble de charges est la somme vectorielle des champs électriques créés par chaque charge individuelle en ce point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_{\text{tot}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\]
Données spécifiques :
  • \(\vec{E}_1 = 4320\hat{i} + 5760\hat{j} \, \text{N/C}\)
  • \(\vec{E}_2 = -5625\hat{j} \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E}_{\text{tot}} &= (4320\hat{i} + 5760\hat{j}) + (0\hat{i} - 5625\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (4320 + 0)\hat{i} + (5760 - 5625)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= 4320\hat{i} + 135\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{E}_{\text{tot}} = 4320\hat{i} + 135\hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 6 : Magnitude et direction de \(\vec{E}_{\text{tot}}\)

Principe :

La magnitude (ou norme) d'un vecteur \(\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j}\) est \(|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\). L'angle \(\alpha\) qu'il forme avec l'axe des x positifs est donné par \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\). Il faut faire attention au quadrant pour déterminer l'angle correct.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ |\vec{E}_{\text{tot}}| = \sqrt{E_{\text{tot},x}^2 + E_{\text{tot},y}^2} \] \[ \alpha = \text{atan2}(E_{\text{tot},y}, E_{\text{tot},x}) \quad \text{ou} \quad \tan(\alpha) = \frac{E_{\text{tot},y}}{E_{\text{tot},x}} \]
Données spécifiques :
  • \(E_{\text{tot},x} = 4320 \, \text{N/C}\)
  • \(E_{\text{tot},y} = 135 \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\vec{E}_{\text{tot}}| &= \sqrt{(4320 \, \text{N/C})^2 + (135 \, \text{N/C})^2} \\ &= \sqrt{18662400 + 18225} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{18680625} \, \text{N/C} \\ &\approx 4322,11 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{135}{4320} \\ &\approx 0,03125 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(0,03125) \\ &\approx 1,79^{\circ} \end{aligned} \]

Comme \(E_{\text{tot},x} > 0\) et \(E_{\text{tot},y} > 0\), le vecteur est dans le premier quadrant, donc l'angle est correct.

Résultat Question 6 :
  • Magnitude : \(|\vec{E}_{\text{tot}}| \approx 4322,11 \, \text{N/C}\)
  • Angle avec l'axe des x positifs : \(\alpha \approx 1,79^{\circ}\)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle positive en un point M :

2. Le principe de superposition pour les champs électriques stipule que :

3. L'unité du champ électrique dans le Système International (SI) est :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Région de l'espace où une charge électrique exercerait une force électrique. C'est un champ vectoriel défini en chaque point par la force par unité de charge positive test. Unité : N/C ou V/m.
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb
Loi fondamentale de l'électrostatique qui décrit la force d'interaction entre deux charges électriques ponctuelles. Le champ électrique d'une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(E = k_e |q|/r^2\).
Principe de Superposition
Pour un système de plusieurs charges, le champ électrique total (ou la force totale) en un point est la somme vectorielle des champs (ou des forces) créés individuellement par chaque charge en ce point, comme si les autres charges n'étaient pas présentes.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, valant environ \(9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). Elle est reliée à la permittivité du vide \(\varepsilon_0\) par \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0)\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}\))
Vecteur de norme (longueur) égale à 1, utilisé pour indiquer une direction. Par exemple, \(\hat{u}_r = \vec{r}/|\vec{r}|\) est le vecteur unitaire dans la direction de \(\vec{r}\).
Champ Électrique par un Système de Charges

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