Champ électrique et potentiel électrique
Comprendre le Champ électrique et potentiel électrique
Considérons deux charges ponctuelles, \(q_1\) et \(q_2\), placées dans le vide. La charge \(q_1 = +1 \mu C\) est située à l’origine du système de coordonnées \((0, 0, 0)\), et la charge \(q_2 = -1 \mu C\) est située à une distance d = 10 cm sur l’axe \(x\), soit aux coordonnées \((10, 0, 0)\) cm.
Données :
- \(q_1 = +1 \mu C\)
- \(q_2 = -1 \mu C\)
- \(d = 10 \, \text{cm}\)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
- La distance entre \(q_1\) et \(P\) est \(15 \, \text{cm}\)
- La distance entre \(q_2\) et \(P\) est \(5 \, \text{cm}\)
Questions :
1. Calculer le champ électrique \(\vec{E}\) en un point P situé à 15 cm sur l’axe \(x\), c’est-à-dire aux coordonnées \((15, 0, 0)\) cm.
2. Calculer le potentiel électrique V au même point P.
Correction : Champ électrique et potentiel électrique
1. Calcul du champ Électrique (\vec{E}\) en P
Le champ total en P est la superposition vectorielle des champs créés par chacune des charges.
a) Champ de la charge \(q_1\) (à l’origine)
La formule du champ électrique créé par une charge ponctuelle est :
\[\vec{E} = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{u}_r,\]
où \(\hat{u}_r\) indique la direction, c’est-à-dire le vecteur unitaire allant de la charge vers le point considéré (pour une charge positive).
- Distance : \( r_1 = 0.15\,\mathrm{m} \).
Calcul du module :
\[E_1 = k\,\frac{|q_1|}{r_1^2}\]
\[E_1 9 = \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{(0.15)^2}.\]
Calculons :
\[(0.15)^2 = 0.0225\] et \[9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} = 9 \times 10^3\].
Ainsi,
\[E_1 = \frac{9 \times 10^3}{0.0225}\]
\[E_1 = 4 \times 10^5\,\mathrm{N/C}.\]
Interprétation :
Comme \(q_1\) est positive, le champ pointe de \(q_1\) vers P (donc le long de l’axe x positif).
Dès lors, on a :
\[\vec{E}_1 = +4 \times 10^5\,\mathrm{N/C}\,\vec{i}.\]
b) Champ de la charge \(q_2\) (à 10 cm sur l’axe x)
Distance : \( r_2 = 5\,\mathrm{cm} = 0.05\,\mathrm{m} \).
Calcul du module :
\[E_2 = k\,\frac{|q_2|}{r_2^2}\]
\[E_2 = 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{(0.05)^2}.\]
Calculons :
\[(0.05)^2 = 0.0025\] et \[9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} = 9 \times 10^3\].
Ainsi,
\[E_2 = \frac{9 \times 10^3}{0.0025}\]
\[E_2 = 3.6 \times 10^6\,\mathrm{N/C}.\]
Interprétation :
\(q_2\) est négative. Par conséquent, le champ en P est dirigé vers \(q_2\). Comme P se trouve à droite de \(q_2\) (sur l’axe x), la direction de \(\vec{E}_2\) est vers la gauche, c’est-à-dire dans le sens négatif de x.
On obtient donc :
\[\vec{E}_2 = -3.6 \times 10^6\,\mathrm{N/C}\,\vec{i}.\]
c) Champ total \(\vec{E}\) en P
La superposition vectorielle conduit à :
\[\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2.\]
En substituant les valeurs, on a :
\[\vec{E} = 4 \times 10^5\,\vec{i} – 3.6 \times 10^6\,\vec{i}\]
\[\vec{E} = -3.2 \times 10^6\,\mathrm{N/C}\,\vec{i}.\]
Interprétation :
Le champ total a un module de \(3.2 \times 10^6\,\mathrm{N/C}\) et est dirigé vers la gauche (sens négatif de x), ce qui s’explique par l’influence plus forte de la charge \(q_2\), étant plus proche de P.
2. Calcul du potentiel électrique \(V\) en P
Le potentiel électrique en un point est donné par la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge ponctuelle (le potentiel est une grandeur scalaire).
La formule utilisée est :
\[V = k\,\frac{q}{r}.\]
a) Potentiel créé par \(q_1\)
- Distance : \( r_1 = 0.15\,\mathrm{m} \).
Calcul :
\[V_1 = k\,\frac{q_1}{r_1}\]
\[V_1 = 9 \times 10^9 \times \frac{+1 \times 10^{-6}}{0.15}.\]
Ainsi,
\[V_1 = \frac{9 \times 10^3}{0.15}\]
\[V_1 = 6 \times 10^4\,\mathrm{V}.\]
b) Potentiel créé par \(q_2\)
- Distance : \( r_2 = 0.05\,\mathrm{m} \).
Calcul :
\[V_2 = k\,\frac{q_2}{r_2}\]
\[V_2 = 9 \times 10^9 \times \frac{-1 \times 10^{-6}}{0.05}.\]
Ainsi,
\[V_2 = \frac{-9 \times 10^3}{0.05}\]
\[V_2 = -1.8 \times 10^5\,\mathrm{V}.\]
c) Potentiel total \(V\) en P
On additionne algébriquement les potentiels :
\[V = V_1 + V_2 = 6 \times 10^4 – 1.8 \times 10^5\]
\[V = -1.2 \times 10^5\,\mathrm{V}.\]
Champ électrique et potentiel électrique
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