Circuit monophasé R–L

Les circuits R-L (Résistance-Inductance) sont fondamentaux en électrotechnique. En courant alternatif sinusoïdal, l'inductance présente une opposition au passage du courant appelée réactance inductive (\(X_L\)), qui dépend de la fréquence.

La réactance inductive est donnée par :

X_L = L\omega = 2\pi fL

où \(L\) est l'inductance en Henrys (H), \(f\) la fréquence en Hertz (Hz), et \(\omega\) la pulsation en radians par seconde (rad/s).

L'impédance (\(Z\)) d'un circuit R-L série est la combinaison vectorielle de la résistance et de la réactance inductive :

Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}

Le courant \(I\) dans le circuit est donné par la loi d'Ohm généralisée : \(U = ZI\), où \(U\) est la tension efficace aux bornes du circuit.

Le déphasage \(\varphi\) entre la tension totale \(U\) et le courant \(I\) est donné par :

\cos\varphi = \frac{R}{Z} \quad ; \quad \sin\varphi = \frac{X_L}{Z} \quad ; \quad \tan\varphi = \frac{X_L}{R}

Les puissances dans le circuit sont :

Puissance active (\(P\)) : \(P = UI\cos\varphi = RI^2\) (en Watts, W)
Puissance réactive (\(Q_L\)) : \(Q_L = UI\sin\varphi = X_L I^2\) (en Voltampères réactifs, VAR)
Puissance apparente (\(S\)) : \(S = UI = ZI^2 = \sqrt{P^2 + Q_L^2}\) (en Voltampères, VA)

Données du Problème

Un circuit R-L série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale \(U_S = 230 \text{ V}\) à une fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).

Résistance : \(R = 30 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 127.3 \text{ mH}\) (millihenrys)

Questions

Convertir l'inductance \(L\) en Henrys (H).
Calculer la réactance inductive \(X_L\) du circuit.
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
Calculer le courant efficace \(I\) circulant dans le circuit.
Calculer la tension efficace \(U_R\) aux bornes de la résistance.
Calculer la tension efficace \(U_L\) aux bornes de l'inductance.
Vérifier si la somme vectorielle des tensions \(U_R\) et \(U_L\) correspond à la tension source \(U_S\) (c'est-à-dire, \(U_S = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}\)).
Calculer le facteur de puissance \(\cos\varphi\) du circuit.
Calculer la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q_L\), et la puissance apparente \(S\) du circuit.

Correction : Circuit Monophasé R-L

1. Conversion de l'Inductance (\(L\)) en Henrys

L'inductance est donnée en millihenrys (mH). \(1 \text{ H} = 1000 \text{ mH}\).

Données :
\(L = 127.3 \text{ mH}\)

L = 127.3 \text{ mH} = 127.3 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.1273 \text{ H}

L'inductance est \(L = 0.1273 \text{ H}\).

2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))

On utilise la formule \(X_L = 2\pi fL\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
\(L = 0.1273 \text{ H}\) (de l'étape 1)

\begin{aligned} X_L &= 2\pi fL \\ &= 2\pi \cdot 50 \text{ Hz} \cdot 0.1273 \text{ H} \\ &\approx 100\pi \cdot 0.1273 \\ &\approx 314.159 \cdot 0.1273 \\ &\approx 39.99 \, \Omega \approx 40 \, \Omega \end{aligned}

Nous utiliserons \(X_L = 40 \, \Omega\) pour simplifier les calculs suivants.

La réactance inductive est \(X_L \approx 40 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire : Réactance Inductive

3. Calcul de l'Impédance Totale (\(Z\))

On utilise la formule \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).

Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_L = 40 \, \Omega\) (de l'étape 2)

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{(30 \, \Omega)^2 + (40 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{900 + 1600} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= 50 \, \Omega \end{aligned}

L'impédance totale du circuit est \(Z = 50 \, \Omega\).

4. Calcul du Courant Efficace (\(I\))

On utilise la loi d'Ohm généralisée : \(I = U_S / Z\).

Données :
\(U_S = 230 \text{ V}\)
\(Z = 50 \, \Omega\) (de l'étape 3)

\begin{aligned} I &= \frac{U_S}{Z} \\ &= \frac{230 \text{ V}}{50 \, \Omega} \\ &= 4.6 \text{ A} \end{aligned}

Le courant efficace circulant dans le circuit est \(I = 4.6 \text{ A}\).

5. Calcul de la Tension Efficace (\(U_R\)) aux Bornes de la Résistance

On utilise la loi d'Ohm pour la résistance : \(U_R = R \cdot I\).

Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(I = 4.6 \text{ A}\) (de l'étape 4)

\begin{aligned} U_R &= R \cdot I \\ &= 30 \, \Omega \cdot 4.6 \text{ A} \\ &= 138 \text{ V} \end{aligned}

La tension efficace aux bornes de la résistance est \(U_R = 138 \text{ V}\).

6. Calcul de la Tension Efficace (\(U_L\)) aux Bornes de l'Inductance

On utilise la loi d'Ohm pour l'inductance : \(U_L = X_L \cdot I\).

Données :
\(X_L = 40 \, \Omega\)
\(I = 4.6 \text{ A}\) (de l'étape 4)

\begin{aligned} U_L &= X_L \cdot I \\ &= 40 \, \Omega \cdot 4.6 \text{ A} \\ &= 184 \text{ V} \end{aligned}

La tension efficace aux bornes de l'inductance est \(U_L = 184 \text{ V}\).

7. Vérification de la Loi des Mailles (Somme Vectorielle des Tensions)

Dans un circuit R-L série, la tension source \(U_S\) est la somme vectorielle de \(U_R\) et \(U_L\). Comme \(U_R\) et \(U_L\) sont déphasées de 90°, on a \(U_S = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}\).

Données :
\(U_R = 138 \text{ V}\)
\(U_L = 184 \text{ V}\)
\(U_S = 230 \text{ V}\) (donnée initiale)

\begin{aligned} \sqrt{U_R^2 + U_L^2} &= \sqrt{(138 \text{ V})^2 + (184 \text{ V})^2} \\ &= \sqrt{19044 + 33856} \\ &= \sqrt{52900} \\ &= 230 \text{ V} \end{aligned}

La valeur calculée (\(230 \text{ V}\)) correspond bien à la tension source \(U_S\). La loi des mailles est vérifiée.

La somme vectorielle \(\sqrt{U_R^2 + U_L^2} = 230 \text{ V}\), ce qui est égal à \(U_S\).

Quiz Intermédiaire : Tensions dans un Circuit R-L Série

8. Calcul du Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\))

Le facteur de puissance est \(\cos\varphi = R/Z\).

Données :
\(R = 30 \, \Omega\)
\(Z = 50 \, \Omega\)

\begin{aligned} \cos\varphi &= \frac{R}{Z} \\ &= \frac{30 \, \Omega}{50 \, \Omega} \\ &= 0.6 \end{aligned}

Le circuit est inductif, donc le courant est en retard sur la tension.

Le facteur de puissance du circuit est \(\cos\varphi = 0.6\).

9. Calcul des Puissances (\(P, Q_L, S\))

Puissance active : \(P = U_S I \cos\varphi\) ou \(P = RI^2\).
Puissance réactive : \(Q_L = U_S I \sin\varphi\) ou \(Q_L = X_L I^2\). (On calcule \(\sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi}\) ou \(\sin\varphi = X_L/Z\)).
Puissance apparente : \(S = U_S I\) ou \(S = ZI^2\) ou \(S = \sqrt{P^2 + Q_L^2}\).

Données :
\(U_S = 230 \text{ V}\)
\(I = 4.6 \text{ A}\)
\(\cos\varphi = 0.6\)
\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_L = 40 \, \Omega\)
\(Z = 50 \, \Omega\)

Calcul de \(\sin\varphi\):

\sin\varphi = \frac{X_L}{Z} = \frac{40 \, \Omega}{50 \, \Omega} = 0.8 \] \[ \text{Ou } \sin\varphi = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8

Puissance active \(P\):

P = U_S I \cos\varphi = 230 \text{ V} \cdot 4.6 \text{ A} \cdot 0.6 = 1058 \text{ V} \cdot \text{A} \cdot 0.6 = 634.8 \text{ W} \] \[ \text{Vérification : } P = RI^2 = 30 \, \Omega \cdot (4.6 \text{ A})^2 = 30 \cdot 21.16 = 634.8 \text{ W}

Puissance réactive \(Q_L\):

Q_L = U_S I \sin\varphi = 230 \text{ V} \cdot 4.6 \text{ A} \cdot 0.8 = 1058 \text{ V} \cdot \text{A} \cdot 0.8 = 846.4 \text{ VAR} \] \[ \text{Vérification : } Q_L = X_L I^2 = 40 \, \Omega \cdot (4.6 \text{ A})^2 = 40 \cdot 21.16 = 846.4 \text{ VAR}

Puissance apparente \(S\):

S = U_S I = 230 \text{ V} \cdot 4.6 \text{ A} = 1058 \text{ VA} \] \[ \text{Vérification : } S = ZI^2 = 50 \, \Omega \cdot (4.6 \text{ A})^2 = 50 \cdot 21.16 = 1058 \text{ VA} \] \[ \text{Vérification : } S = \sqrt{P^2 + Q_L^2} = \sqrt{(634.8)^2 + (846.4)^2} = \sqrt{402971.04 + 716392.96} = \sqrt{1119364} = 1058 \text{ VA}

Puissance active : \(P = 634.8 \text{ W}\).
Puissance réactive : \(Q_L = 846.4 \text{ VAR}\).
Puissance apparente : \(S = 1058 \text{ VA}\).

Glossaire des Termes Clés

Circuit R-L Série :

Circuit électrique comprenant une résistance (R) et une inductance (L) connectées en série.

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\)) :

Cosinus de l'angle de déphasage entre la tension et le courant. Il indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance.

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance réellement consommée par la résistance et transformée en chaleur ou travail. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q_L\)) :

Puissance échangée par l'inductance avec la source, nécessaire à l'établissement du champ magnétique. Unité : Voltampère réactif (VAR).

Puissance Apparente (\(S\)) :

Puissance totale fournie par la source au circuit. Unité : Voltampère (VA).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment le diagramme de Fresnel (diagramme vectoriel des tensions ou des impédances) peut-il aider à visualiser les relations dans un circuit R-L série ?

2. Quel est l'effet d'une augmentation de la fréquence sur le courant et le facteur de puissance d'un circuit R-L série alimenté par une tension constante ?

3. Comment pourrait-on améliorer le facteur de puissance d'un circuit fortement inductif ? Quel composant ajouterait-on et comment ?

4. Citez des exemples d'applications réelles où l'on rencontre des circuits R-L (par exemple, moteurs, transformateurs, ballasts de lampes fluorescentes).

5. Quelle est la différence fondamentale de comportement entre un circuit R-L série et un circuit R-C série en courant alternatif ?

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