Circuit monophasé R–L
Comprendre le Circuit monophasé R–L
On alimente un circuit constitué d’une résistance \( R \) et d’une bobine d’inductance \( L \) en série. La source est un réseau monophasé alternatif de tension efficace \( U \), de fréquence \( f \). On néglige toute autre résistance interne ou inductance parasite.
Données:
- Tension efficace de la source : \( U = 230 \, \text{V} \)
- Fréquence du réseau : \( f = 50 \, \text{Hz} \)
- Résistance : \( R = 20 \, \Omega \)
- Inductance : \( L = 0.1 \, \text{H} \)
Questions:
1. Déterminer la réactance inductive \( X_L \) de la bobine.
2. Déterminer l’impédance totale \( Z \) du circuit.
3. Calculer l’intensité efficace \( I \) du courant qui traverse le circuit.
4. Calculer la puissance active \( P \) consommée dans la résistance.
5. Déterminer le facteur de puissance \( \cos \phi \) du circuit.
Correction : Circuit monophasé R–L
1) Calcul de la réactance inductive \(X_L\)
La réactance inductive \(X_L\) traduit l’opposition d’une bobine (inductance \(L\)) au passage d’un courant alternatif sinusoïdal de fréquence \(f\). Plus la fréquence ou l’inductance sont élevées, plus la réactance est grande.
Formule:
\[ X_L = 2\pi fL. \]
Données:
- \(f = 50\,Hz\)
- \(L = 0,1\,H\)
Calcul:
- Calcul de \(2\pi f\):
\[ 2\times\pi \approx 6,2832\] \[6,2832 \times 50 = 314,16. \]
- Multiplication par \(L\):
\[ X_L = 314,16 \times 0,1 = 31,416. \]
Arrondi (deux décimales)
\[ X_L \approx 31,42 \,\Omega. \]
Résultat :
\[ X_L \approx 31,42 \,\Omega. \]
2) Calcul de l’impédance totale \(Z\)
Dans un circuit série R-L, l’impédance \(Z\) représente la combinaison de la résistance \(R\) et de la réactance \(X_L\). Géométriquement (en nombres complexes), on fait la somme vectorielle de \(R\) et \(jX_L\). En module, cela donne :
\[ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}. \]
Données:
- \(R = 20 \,\Omega\)
- \(X_L = 31,42 \,\Omega\) (résultat précédent)
Calcul:
- Calcul de \(R^2\) et de \(X_L^2\):
\[ R^2 = (20)^2 = 400 \]
\[ X_L^2 = (31,42)^2 \approx 987,07. \]
- Somme:
\[ R^2 + X_L^2 = 400 + 987,07 = 1387,07. \]
- Racine carrée:
\[ Z = \sqrt{1387,07} \approx 37,24 \,\Omega. \]
Résultat :
\[ Z \approx 37,24 \,\Omega. \]
3) Calcul de l’intensité efficace \(I\)
Dans un circuit série alimenté par une tension efficace \(U\), l’intensité efficace \(I\) est donnée par la loi d’Ohm en régime sinusoïdal :
\[ I = \frac{U}{Z}. \]
Données:
- \(U = 230\,V\)
- \(Z \approx 37,24 \,\Omega\)
Calcul:
\[ I = \frac{230}{37,24} \approx 6,17 \,A. \]
Résultat :
\[ I \approx 6,17 \,A. \]
4) Calcul de la puissance active \(P\)
La puissance active \(P\) dissipée dans un circuit R-L provient uniquement de la résistance \(R\). L’inductance idéale n’absorbe pas de puissance active, elle ne fait qu’échanger de l’énergie magnétique de manière réactive. La relation en régime sinusoïdal pour la résistance est :
\[ P = I^2 \times R. \]
Données:
- \(I \approx 6,17 \,A\) (résultat précédent)
- \(R = 20 \,\Omega\)
Calcul:
- Calcul de \(I^2\):
\[ I^2 = (6,17)^2 \approx 38,07. \]
- Multiplication par \(R\):
\[ P = 38,07 \times 20 = 761,4 \,W. \]
Résultat :
\[ P \approx 761,4 \,W. \]
5) Calcul du facteur de puissance \(\cos\phi\)
Le facteur de puissance \(\cos\phi\) mesure la proportion de la puissance active par rapport à la puissance apparente. Pour un circuit série R-L, on a :
\[ \cos\phi = \frac{R}{Z}. \]
Ici, \(\phi\) est l’angle de l’impédance, c’est-à-dire l’angle de déphasage entre tension et courant.
Données:
- \(R = 20 \,\Omega\)
- \(Z \approx 37,24 \,\Omega\)
Calcul:
\[ \cos\phi = \frac{20}{37,24} \approx 0,537. \]
Résultat :
\[ \cos\phi \approx 0,537. \]
Circuit monophasé R–L
D’autres exercices d’électrotechnique:
0 commentaires