Puissance en régime sinusoïdal permanent
Comprendre la Puissance en régime sinusoïdal permanent
Un circuit en régime sinusoïdal permanent est alimenté par une source de tension alternative (AC) avec une tension \(V(t) = V_{\text{max}} \cos(\omega t)\), où \(V_{\text{max}} = 240\,V\) est la valeur maximale de la tension et \(\omega\) est la pulsation de la source. Le circuit contient une résistance \(R = 30\,\Omega\), un condensateur de capacité \(C = 100\,\mu F\) et une bobine d’inductance \(L = 0.2\,H\) connectés en série. La fréquence de la source de tension est de \(50\,Hz\).
Questions
1. Calculer l’impédance totale du circuit.
2. Déterminer l’amplitude du courant \(I_{\text{max}}\) dans le circuit.
3. Calculer la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q\), la puissance apparente \(S\) et le facteur de puissance \(\cos(\varphi)\).
Correction : Puissance en régime sinusoïdal permanent
1. Impédance totale du circuit
Nous cherchons à trouver l’impédance, qui est la « résistance » globale du circuit à la circulation d’un courant alternatif. Elle inclut la résistance (R) et les effets de stockage d’énergie du condensateur et de la bobine.
On définit :
- \( ω \) : la pulsation, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). C’est le rythme angulaire d’oscillation.
- XL \) : la réactance inductive, \(X_L = \omega L\). Elle mesure l’opposition de la bobine au changement de courant.
- XC : la réactance capacitive, \(X_C = \frac{1}{\omega C}\). Elle mesure l’opposition du condensateur au changement de tension.
Formules
L’impédance complexe s’écrit :
\[Z = R + j\,(X_L - X_C),\]
et son module (valeur absolue) :
\[|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.\]
Données
- \(\omega = 2\pi\times50 = 100\pi \approx 314{,}16\ \text{rad/s}\)
- \(X_L = 314{,}16 \times 0{,}2 = 62{,}83\ \Omega\)
- \(X_C = \frac{1}{314{,}16 \times 100\times10^{-6}} \approx 31{,}83\ \Omega\)
Calcul pas à pas
- XL : comprend pourquoi une bobine s’oppose au changement de courant — plus la fréquence est élevée, plus cette opposition augmente.
\[X_L = 62{,}83\ \Omega.\] - XC : le condensateur laisse plus passer les basses fréquences et bloque les hautes — l’opposition diminue quand la fréquence augmente.
\[X_C = 31{,}83\ \Omega.\] - Différence XL−XC : c’est l’effet net des deux réactances.
\[X_L - X_C = 62{,}83 - 31{,}83 \] \[X_L - X_C = 31{,}00\ \Omega.\] - Impédance complexe : on additionne la résistance et la partie imaginaire.
\[Z = 30 + j\,31{,}00\ \Omega.\] - Module |Z| : mesure la grandeur de l’impédance, utile pour calculer le courant.
\[|Z| = \sqrt{30^2 + 31{,}00^2} \] \[|Z| \approx 43{,}15\ \Omega.\] - Angle φ : déphasage entre tension et courant. Un φ positif signifie que le courant retarde la tension.
\[\varphi = \arctan\bigl(31{,}00/30\bigr) \] \[\varphi \approx 46{,}0^\circ.\]
Résultats
2. Amplitude du courant \(I_{\rm max}\)
On veut savoir quelle est l’intensité maximale du courant qui traverse le circuit, en utilisant la tension maximale et l’impédance.
Formule
Le courant crête est simplement :
\[I_{\rm max} = \frac{V_{\rm max}}{|Z|}.\]
Cela vient de la loi d’Ohm généralisée au régime alternatif.
Données
- \(V_{\rm max} = 240\ \text{V}\)
- \(|Z| = 43{,}15\ \Omega\)
Calcul
\[ I_{\rm max} = \frac{240}{43{,}15} \] \[ I_{\rm max} \approx 5{,}56\ \text{A}\]Résultat
Intensité crête : \(I_{\rm max}\approx5{,}56\ \text{A}\)
3. Puissances et facteur de puissance
En courant alternatif, on distingue :
- Puissance apparente S : produit de la tension et du courant efficaces \(\text{(VA)}\).
- Puissance active P : partie réellement consommée ou transformée en chaleur/travail \(\text{(W)}\).
- Puissance réactive Q : partie échangée entre source et composants réactifs \(\text{(var)}\).
- Facteur de puissance \(\cos\varphi\) : rapport \(P/S\), indique l’efficacité du transfert d’énergie.
Valeurs efficaces
-
\[ V_{\rm rms} = \frac{240}{\sqrt2} \] \[ V_{\rm rms} \approx169{,}71\ \text{V}\]
\[I_{\rm rms} = \frac{5{,}56}{\sqrt2} \] \[I_{\rm rms} \approx3{,}93\ \text{A}\]
3.1 Puissance apparente S
\[S = V_{\rm rms}I_{\rm rms} \] \[S = 169{,}71\times3{,}93 \] \[S = \approx666{,}9\ \text{VA}.\]
3.2 Puissance active P
Calcul avec \(\cos\varphi\) :
\[P = V_{\rm rms}I_{\rm rms}\cos\varphi \]\[P = 666{,}9\times0{,}694 \] \[P \approx463\ \text{W}.\]
Vérification (loi d’Ohm sur la partie résistive) :
\[P = I_{\rm rms}^2R \] \[P = 3{,}93^2\times30\] \[P \approx463{,}5\ \text{W}.\]
3.3 Puissance réactive Q
\[Q = V_{\rm rms}I_{\rm rms}\sin\varphi \] \[Q = 666{,}9\times0{,}719 \] \[Q \approx480\ \text{var}.\]
Vérification :
\[Q = I_{\rm rms}^2(X_L - X_C) \] \[Q \approx479,6\ \text{var}.\]
3.4 Facteur de puissance \(\cos\varphi\)
\[\cos\varphi = \frac{P}{S} \] \[\cos\varphi = \frac{463}{666{,}9} \] \[\cos\varphi \approx0{,}694.\]
Puissance en régime sinusoïdal permanent
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