Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul des caractéristiques d’un transformateur

Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur

Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur Monophasé

Comprendre les Caractéristiques d'un Transformateur

Les transformateurs sont des dispositifs électriques essentiels qui permettent de modifier les niveaux de tension et de courant alternatifs. Leur performance est caractérisée par plusieurs paramètres, notamment leur rapport de transformation, les éléments de leur circuit équivalent (qui modélisent les pertes et les imperfections), leur rendement énergétique et leur régulation de tension (chute de tension en charge). Ces caractéristiques sont cruciales pour leur sélection et leur intégration dans les réseaux électriques. Les essais à vide et en court-circuit sont des méthodes normalisées pour déterminer expérimentalement ces paramètres.

Données de l'étude

On étudie un transformateur monophasé dont les caractéristiques nominales et les résultats d'essais sont les suivants :

Caractéristiques nominales :

  • Puissance apparente nominale (\(S_n\)) : \(20 \, \text{kVA}\)
  • Tension primaire nominale (\(V_{1n}\)) : \(2000 \, \text{V}\)
  • Tension secondaire nominale (\(V_{2n}\)) : \(200 \, \text{V}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)

Résultats des essais :

  • Essai à vide (effectué sous tension primaire nominale \(V_{1n}\), secondaire à vide) :
    • Tension primaire (\(V_{1v}\)) : \(2000 \, \text{V}\)
    • Courant primaire à vide (\(I_{1v}\)) : \(0.6 \, \text{A}\)
    • Puissance absorbée à vide (\(P_{1v}\)) : \(250 \, \text{W}\)
  • Essai en court-circuit (effectué côté primaire, secondaire en court-circuit, avec courant primaire \(I_{1cc}\) égal au courant primaire nominal \(I_{1n}\)) :
    • Courant primaire de court-circuit (\(I_{1cc} = I_{1n}\)) : (à calculer)
    • Tension primaire de court-circuit (\(V_{1cc}\)) : \(80 \, \text{V}\)
    • Puissance absorbée en court-circuit (\(P_{1cc}\)) : \(400 \, \text{W}\)
Schéma Simplifié d'un Transformateur Monophasé
V1 Primaire V2 Secondaire Transformateur Monophasé

Représentation schématique d'un transformateur avec ses enroulements primaire et secondaire autour d'un noyau.

Questions à traiter

  1. Calculer le rapport de transformation (\(m\)) du transformateur.
  2. Calculer le courant primaire nominal (\(I_{1n}\)) et le courant secondaire nominal (\(I_{2n}\)).
  3. À partir de l'essai à vide, déterminer les éléments de la branche de magnétisation du circuit équivalent ramené au primaire : la résistance modélisant les pertes fer (\(R_{fe1}\)) et la réactance magnétisante (\(X_{\mu1}\)).
  4. À partir de l'essai en court-circuit, déterminer les éléments série du circuit équivalent ramené au primaire : la résistance équivalente (\(R_{eq1}\)) et la réactance de fuite équivalente (\(X_{eq1}\)).
  5. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur lorsqu'il fonctionne à 75% de sa charge nominale avec un facteur de puissance de la charge de 0.9 inductif.
  6. Calculer la chute de tension secondaire en pourcentage (\(\Delta V_2\%\)) pour les conditions de charge de la question 5.

Correction : Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur

Question 1 : Rapport de transformation (\(m\))

Principe :

Le rapport de transformation (\(m\)) d'un transformateur est défini comme le rapport de la tension secondaire à vide (\(V_{2v}\)) sur la tension primaire (\(V_{1n}\) ou \(V_{1v}\) lors de l'essai à vide). Il est approximativement égal au rapport des tensions nominales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[m = \frac{V_{2n}}{V_{1n}}\]

Note: Parfois, le rapport est défini comme \(V_{1n}/V_{2n}\). Nous utiliserons \(m = V_{2n}/V_{1n}\) ici. Si l'essai à vide donne \(V_{2v}\) sous \(V_{1v}=V_{1n}\), alors \(m = V_{2v}/V_{1v}\). Ici, \(V_{2n}\) est la tension nominale secondaire.

Données spécifiques :
  • Tension primaire nominale (\(V_{1n}\)) : \(2000 \, \text{V}\)
  • Tension secondaire nominale (\(V_{2n}\)) : \(200 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m &= \frac{200 \, \text{V}}{2000 \, \text{V}} \\ &= 0.1 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rapport de transformation est \(m = 0.1\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un transformateur a un rapport de transformation \(m < 1\), il s'agit d'un transformateur :

Question 2 : Courants nominaux (\(I_{1n}\) et \(I_{2n}\))

Principe :

Les courants nominaux primaire (\(I_{1n}\)) et secondaire (\(I_{2n}\)) peuvent être calculés à partir de la puissance apparente nominale (\(S_n\)) et des tensions nominales respectives (\(V_{1n}\) et \(V_{2n}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{1n} = \frac{S_n}{V_{1n}}\] \[I_{2n} = \frac{S_n}{V_{2n}}\]

On peut aussi utiliser \(I_{2n} \approx I_{1n}/m\).

Données spécifiques :
  • Puissance apparente nominale (\(S_n\)) : \(20 \, \text{kVA} = 20000 \, \text{VA}\)
  • Tension primaire nominale (\(V_{1n}\)) : \(2000 \, \text{V}\)
  • Tension secondaire nominale (\(V_{2n}\)) : \(200 \, \text{V}\)
  • Rapport de transformation (\(m\)) : \(0.1\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{1n} &= \frac{20000 \, \text{VA}}{2000 \, \text{V}} \\ &= 10 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{2n} &= \frac{20000 \, \text{VA}}{200 \, \text{V}} \\ &= 100 \, \text{A} \end{aligned} \]

Vérification avec le rapport de transformation : \(I_{1n}/m = 10 \, \text{A} / 0.1 = 100 \, \text{A} = I_{2n}\).

Résultat Question 2 :
  • Courant primaire nominal : \(I_{1n} = 10 \, \text{A}\)
  • Courant secondaire nominal : \(I_{2n} = 100 \, \text{A}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Pour un transformateur idéal, si la tension est abaissée d'un facteur 10, le courant au secondaire (par rapport au primaire) est :

Question 3 : Éléments de la branche de magnétisation (\(R_{fe1}\), \(X_{\mu1}\))

Principe :

L'essai à vide, effectué sous tension primaire nominale, permet de déterminer les paramètres de la branche parallèle du circuit équivalent ramené au primaire. La puissance active absorbée \(P_{1v}\) correspond aux pertes fer (\(P_{fe}\)). Le courant à vide \(I_{1v}\) se décompose en un courant actif \(I_{a}\) (dans \(R_{fe1}\)) et un courant réactif (magnétisant) \(I_{\mu}\) (dans \(X_{\mu1}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{1v} = \frac{V_{1v}^2}{R_{fe1}} \Rightarrow R_{fe1} = \frac{V_{1v}^2}{P_{1v}}\] \[S_{1v} = V_{1v} I_{1v}\] \[Q_{1v} = \sqrt{S_{1v}^2 - P_{1v}^2}\] \[Q_{1v} = \frac{V_{1v}^2}{X_{\mu1}} \Rightarrow X_{\mu1} = \frac{V_{1v}^2}{Q_{1v}}\]

Comme l'essai est fait sous \(V_{1n}\), \(V_{1v} = V_{1n}\).

Données spécifiques :
  • \(V_{1v} = V_{1n} = 2000 \, \text{V}\)
  • \(I_{1v} = 0.6 \, \text{A}\)
  • \(P_{1v} = 250 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{fe1} &= \frac{(2000 \, \text{V})^2}{250 \, \text{W}} \\ &= \frac{4000000}{250} \, \Omega \\ &= 16000 \, \Omega \\ &= 16 \, \text{k}\Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} S_{1v} &= 2000 \, \text{V} \times 0.6 \, \text{A} \\ &= 1200 \, \text{VA} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Q_{1v} &= \sqrt{(1200 \, \text{VA})^2 - (250 \, \text{W})^2} \\ &= \sqrt{1440000 - 62500} \\ &= \sqrt{1377500} \, \text{VAR} \\ &\approx 1173.67 \, \text{VAR} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{\mu1} &= \frac{(2000 \, \text{V})^2}{1173.67 \, \text{VAR}} \\ &= \frac{4000000}{1173.67} \, \Omega \\ &\approx 3408.36 \, \Omega \\ &\approx 3.41 \, \text{k}\Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Résistance des pertes fer ramenée au primaire : \(R_{fe1} = 16 \, \text{k}\Omega\)
  • Réactance magnétisante ramenée au primaire : \(X_{\mu1} \approx 3.41 \, \text{k}\Omega\)

Quiz Intermédiaire 3 : Lors de l'essai à vide d'un transformateur, le courant primaire \(I_{1v}\) est principalement :

Question 4 : Éléments série du circuit équivalent (\(R_{eq1}\), \(X_{eq1}\))

Principe :

L'essai en court-circuit, effectué en appliquant une tension réduite au primaire pour obtenir le courant nominal \(I_{1n}\) (ici \(I_{1cc} = I_{1n}\)), permet de déterminer les paramètres série du circuit équivalent ramené au primaire. La puissance active absorbée \(P_{1cc}\) correspond aux pertes Joule totales dans les enroulements (ramenées au primaire). L'impédance équivalente \(Z_{eq1}\) est calculée à partir de \(V_{1cc}\) et \(I_{1cc}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{1cc} = R_{eq1} I_{1cc}^2 \Rightarrow R_{eq1} = \frac{P_{1cc}}{I_{1cc}^2}\] \[Z_{eq1} = \frac{V_{1cc}}{I_{1cc}}\] \[X_{eq1} = \sqrt{Z_{eq1}^2 - R_{eq1}^2}\]

On utilise \(I_{1cc} = I_{1n}\) calculé à la question 2.

Données spécifiques :
  • \(I_{1cc} = I_{1n} = 10 \, \text{A}\)
  • \(V_{1cc} = 80 \, \text{V}\)
  • \(P_{1cc} = 400 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{eq1} &= \frac{400 \, \text{W}}{(10 \, \text{A})^2} \\ &= \frac{400}{100} \, \Omega \\ &= 4 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z_{eq1} &= \frac{80 \, \text{V}}{10 \, \text{A}} \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{eq1} &= \sqrt{(8 \, \Omega)^2 - (4 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{64 - 16} \\ &= \sqrt{48} \, \Omega \\ &\approx 6.928 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Résistance équivalente ramenée au primaire : \(R_{eq1} = 4 \, \Omega\)
  • Réactance de fuite équivalente ramenée au primaire : \(X_{eq1} \approx 6.93 \, \Omega\)

Quiz Intermédiaire 4 : Lors de l'essai en court-circuit, la tension appliquée au primaire est réduite car :

Question 5 : Rendement (\(\eta\)) à 75% de charge, \(\cos(\phi_2) = 0.9\) inductif

Principe :

Le rendement est le rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée. La puissance de sortie est \(P_2 = x S_n \cos(\phi_2)\). Les pertes cuivre en charge sont \(P_{cu,charge} = x^2 P_{1cc}\) (car \(P_{1cc}\) a été mesurée au courant nominal). Les pertes fer sont \(P_{fe} = P_{1v}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\] \[P_{cu,charge} = x^2 \cdot P_{1cc}\] \[P_{fe} = P_{1v}\] \[\eta = \frac{P_2}{P_2 + P_{fe} + P_{cu,charge}}\]
Données spécifiques :
  • Taux de charge \(x = 0.75\)
  • \(S_n = 20000 \, \text{VA}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.9\)
  • \(P_{1v} = 250 \, \text{W}\)
  • \(P_{1cc} = 400 \, \text{W}\) (pertes cuivre nominales)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 0.75 \times 20000 \, \text{VA} \times 0.9 \\ &= 15000 \times 0.9 \, \text{W} \\ &= 13500 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{cu,charge} &= (0.75)^2 \times 400 \, \text{W} \\ &= 0.5625 \times 400 \, \text{W} \\ &= 225 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ P_{fe} = 250 \, \text{W} \] \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{13500 \, \text{W}}{13500 \, \text{W} + 250 \, \text{W} + 225 \, \text{W}} \\ &= \frac{13500}{13500 + 475} \\ &= \frac{13500}{13975} \\ &\approx 0.96601 \\ &\approx 96.60\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le rendement à 75% de charge avec \(\cos(\phi_2) = 0.9\) inductif est \(\eta \approx 96.60\%\).

Quiz Intermédiaire 5 : Le rendement d'un transformateur est généralement maximal lorsque :

Question 6 : Chute de tension secondaire en pourcentage (\(\Delta V_2\%\))

Principe :

La chute de tension secondaire en pourcentage (ou régulation de tension) est la variation de la tension secondaire entre le fonctionnement à vide et en charge, rapportée à la tension secondaire nominale. Une formule approchée pour la chute de tension ramenée au primaire est : \(\Delta V_1 \approx I_{1,charge} (R_{eq1} \cos(\phi_2) + X_{eq1} \sin(\phi_2))\) pour une charge inductive. La chute de tension secondaire en pourcentage est alors \(\Delta V_2\% = (\Delta V_1 / V_{1n}) \times 100\%\) (car \(\Delta V_2 / V_{2n} = \Delta V_1 / V_{1n}\) en négligeant le courant à vide).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{1,charge} = x \cdot I_{1n}\] \[\sin(\phi_2) = \sqrt{1 - \cos^2(\phi_2)}\] \[\Delta V_2\% \approx \frac{I_{1,charge} (R_{eq1} \cos(\phi_2) + X_{eq1} \sin(\phi_2))}{V_{1n}} \times 100\%\]

(Le signe + devant \(X_{eq1}\) est pour une charge inductive).

Données spécifiques :
  • \(x = 0.75\)
  • \(I_{1n} = 10 \, \text{A}\)
  • \(R_{eq1} = 4 \, \Omega\)
  • \(X_{eq1} \approx 6.928 \, \Omega\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.9\) (inductif)
  • \(V_{1n} = 2000 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{1,charge} &= 0.75 \times 10 \, \text{A} \\ &= 7.5 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sin(\phi_2) &= \sqrt{1 - (0.9)^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.81} \\ &= \sqrt{0.19} \\ &\approx 0.4359 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \Delta V_2\% &\approx \frac{7.5 \, \text{A} \times (4 \, \Omega \times 0.9 + 6.928 \, \Omega \times 0.4359)}{2000 \, \text{V}} \times 100\% \\ &\approx \frac{7.5 \times (3.6 + 3.019)}{2000} \times 100\% \\ &\approx \frac{7.5 \times 6.619}{2000} \times 100\% \\ &\approx \frac{49.6425}{2000} \times 100\% \\ &\approx 0.02482 \times 100\% \\ &\approx 2.48\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La chute de tension secondaire en pourcentage est \(\Delta V_2\% \approx 2.48\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'essai à vide d'un transformateur permet de déterminer principalement :

2. La réactance de fuite d'un transformateur est due :

3. Un rendement élevé pour un transformateur signifie :

Glossaire

Transformateur
Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction électromagnétique, généralement avec un changement de tension et de courant, à fréquence constante.
Rapport de Transformation (\(m\))
Rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire. \(m = V_{2v}/V_{1v} \approx V_{2n}/V_{1n}\).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la valeur efficace de la tension par la valeur efficace du courant. Unité : Voltampère (VA).
Essai à Vide
Essai réalisé en alimentant un enroulement à sa tension nominale, l'autre étant ouvert. Il permet de déterminer les pertes fer et les paramètres de la branche de magnétisation du circuit équivalent.
Pertes Fer (\(P_{fe}\) ou \(P_{1v}\))
Pertes dans le circuit magnétique dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont pratiquement constantes et dépendent de la tension et de la fréquence.
Réactance Magnétisante (\(X_{\mu}\))
Partie réactive de l'impédance de la branche de magnétisation, liée au flux magnétisant dans le noyau.
Essai en Court-Circuit
Essai réalisé en alimentant un enroulement sous tension réduite de manière à faire circuler le courant nominal, l'autre enroulement étant court-circuité. Il permet de déterminer les pertes Joule nominales et les paramètres série (impédance de fuite) du circuit équivalent.
Pertes Cuivre (ou Pertes Joule, \(P_{cu}\))
Pertes par effet Joule dans la résistance des enroulements. Elles varient avec le carré du courant de charge. \(P_{1cc}\) représente les pertes cuivre nominales.
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\))
Résistance totale des enroulements primaire et secondaire, ramenée à un seul côté (primaire ou secondaire).
Réactance de Fuite Équivalente (\(X_{eq}\))
Réactance due aux flux de fuite (flux ne couplant pas les deux enroulements), ramenée à un seul côté.
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance active de sortie à la puissance active d'entrée. \(\eta = P_{sortie} / P_{entree}\).
Chute de Tension (ou Régulation de Tension, \(\Delta V_2\%\))
Variation de la tension secondaire entre le fonctionnement à vide et un fonctionnement en charge donné, exprimée en pourcentage de la tension secondaire nominale (ou à vide).
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il caractérise le déphasage entre la tension et le courant.
Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur

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