Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Impédance et Admittance dans un Circuit RLC

Impédance et Admittance d'un Circuit RLC Parallèle

Facilité de Passage : Impédance et Admittance en Circuit RLC Parallèle

Impédance et Admittance : Deux faces d'une même pièce !

En courant alternatif, l'impédance (\(Z\)) représente l'opposition totale d'un circuit au passage du courant. C'est l'équivalent de la résistance en courant continu, mais elle prend en compte les effets des inductances et des capacités, qui varient avec la fréquence. L'admittance (\(Y\)) est l'inverse de l'impédance (\(Y = 1/Z\)) et représente la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Pour les circuits avec des branches en parallèle, comme celui que nous allons étudier, il est souvent plus simple de travailler avec les admittances, car elles s'additionnent directement.

Le Circuit Parallèle d'Alex

Alex analyse un circuit RLC parallèle alimenté par une source de tension alternative \(v_s(t)\). Les trois composants (résistance R, inductance L, capacité C) sont connectés en parallèle aux bornes de la source.

Informations sur le circuit :

  • Tension efficace de la source (\(V_s\)) : \(10 \, \text{Volts (V)}\).
  • Fréquence de la source (\(f\)) : \(50 \, \text{Hertz (Hz)}\).
  • Résistance \(R\) : \(20 \, \text{Ohms (}\text{\Omega}\text{)}\).
  • Inductance \(L\) : \(100 \, \text{millihenrys (mH)}\) (c'est-à-dire \(100 \times 10^{-3} \, \text{H}\)).
  • Capacité \(C\) : \(50 \, \text{microfarads (}\mu\text{F}\text{)}\) (c'est-à-dire \(50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)).
Schéma du circuit RLC parallèle d'Alex
vs(t) R=20Ω L=100mH C=50µF Circuit RLC Parallèle

La tension \(v_s(t)\) est appliquée aux bornes de chaque branche.

Questions à traiter

  1. Calculez la pulsation \(\omega\) du circuit.
  2. Calculez la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).
  3. Déterminez la conductance \(G_R\) de la résistance.
  4. Déterminez la susceptance inductive \(B_L\) et la susceptance capacitive \(B_C\). (Attention aux signes !)
  5. Calculez l'admittance totale \(\underline{Y}_{tot}\) du circuit sous forme rectangulaire (\(G + jB\)).
  6. Convertissez l'admittance totale \(\underline{Y}_{tot}\) en forme polaire (\(|Y| \angle \phi_Y\)).
  7. Calculez l'impédance totale \(\underline{Z}_{tot}\) du circuit en utilisant l'admittance totale (sous forme polaire et/ou rectangulaire).
  8. Calculez le courant total efficace \(I_{tot}\) fourni par la source.

Correction : Analyse du Circuit RLC Parallèle d'Alex

Question 1 : Calcul de la pulsation (\(\omega\))

Données :
  • Fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \cdot 50 \, \text{Hz} \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation \(\omega\) est de \(100\pi \, \text{rad/s} \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Calcul des réactances (\(X_L\) et \(X_C\))

Données :
  • \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)
  • \(L = 100 \, \text{mH} = 0.1 \, \text{H}\)
  • \(C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul de \(X_L\) :
\[ \begin{aligned} X_L &= \omega L \\ &= (100\pi \, \text{rad/s}) \cdot (0.1 \, \text{H}) \\ &= 10\pi \, \text{\Omega} \\ &\approx 31.416 \, \text{\Omega} \end{aligned} \]
Calcul de \(X_C\) :
\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{(100\pi \, \text{rad/s}) \cdot (50 \times 10^{-6} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{0.005\pi \, \text{s/F}} \\ &= \frac{200}{\pi} \, \text{\Omega} \\ &\approx 63.662 \, \text{\Omega} \end{aligned} \]
Résultats Question 2 :
  • Réactance inductive \(X_L \approx 31.416 \, \text{\Omega}\)
  • Réactance capacitive \(X_C \approx 63.662 \, \text{\Omega}\)

Question 3 : Détermination de la conductance (\(G_R\))

Données :
  • Résistance \(R = 20 \, \text{\Omega}\)
Calcul :

La conductance est l'inverse de la résistance.

\[ \begin{aligned} G_R &= \frac{1}{R} \\ &= \frac{1}{20 \, \text{\Omega}} \\ &= 0.05 \, \text{S (Siemens)} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La conductance \(G_R\) est de \(0.05 \, \text{S}\).

Question 4 : Détermination des susceptances (\(B_L\) et \(B_C\))

Données :
  • \(X_L = 10\pi \, \text{\Omega}\)
  • \(X_C = 200/\pi \, \text{\Omega}\)
Calcul de \(B_L\) :

La susceptance inductive est l'inverse de la réactance inductive, avec un signe négatif car le courant est en retard sur la tension dans une inductance.

\[ \begin{aligned} B_L &= -\frac{1}{X_L} \\ &= -\frac{1}{10\pi \, \text{\Omega}} \\ &\approx -0.03183 \, \text{S} \end{aligned} \]
Calcul de \(B_C\) :

La susceptance capacitive est l'inverse de la réactance capacitive, avec un signe positif car le courant est en avance sur la tension dans un condensateur.

\[ \begin{aligned} B_C &= \frac{1}{X_C} \\ &= \frac{1}{(200/\pi) \, \text{\Omega}} \\ &= \frac{\pi}{200} \, \text{S} \\ &\approx 0.01571 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultats Question 4 :
  • Susceptance inductive \(B_L \approx -0.03183 \, \text{S}\)
  • Susceptance capacitive \(B_C \approx 0.01571 \, \text{S}\)

Question 5 : Calcul de l'admittance totale (\(\underline{Y}_{tot}\)) en forme rectangulaire

Données :
  • \(G_R = 0.05 \, \text{S}\)
  • \(B_L \approx -0.03183 \, \text{S}\)
  • \(B_C \approx 0.01571 \, \text{S}\)

Pour des composants en parallèle, les admittances s'additionnent : \(\underline{Y}_{tot} = \underline{Y}_R + \underline{Y}_L + \underline{Y}_C\).

Avec \(\underline{Y}_R = G_R\), \(\underline{Y}_L = jB_L\), et \(\underline{Y}_C = jB_C\).

\[ \begin{aligned} \underline{Y}_{tot} &= G_R + jB_L + jB_C \\ &= G_R + j(B_L + B_C) \\ &= 0.05 \, \text{S} + j(-0.03183 \, \text{S} + 0.01571 \, \text{S}) \\ &= 0.05 \, \text{S} + j(-0.01612 \, \text{S}) \\ &= (0.05 - j0.01612) \, \text{S} \end{aligned} \]

Note: Il y avait une erreur de signe dans mon calcul préparatoire pour \(B_L\), la susceptance inductive est \(1/(\omega L)\) et comme l'admittance est \(1/(j\omega L) = -j/(\omega L)\), \(B_L = -1/X_L\). Pour la capacité, \(j\omega C\), donc \(B_C = \omega C = 1/X_C\). L'admittance totale est \(Y = G + j(B_C - B_L)\) si \(B_L\) est défini comme \(1/X_L\). Si \(B_L\) est défini comme la partie imaginaire de \(Y_L\), alors \(Y_L = -j/X_L\), donc \(B_L = -1/X_L\). La formule correcte pour l'admittance totale est \(Y_{tot} = G_R + j(B_C + B_L)\) où \(B_L = -1/X_L\) et \(B_C = 1/X_C\). Donc, \(Y_{tot} = 0.05 + j(0.01571 - 0.03183) = 0.05 - j0.01612 \, \text{S}\).

Résultat Question 5 : L'admittance totale est \(\underline{Y}_{tot} = (0.05 - j0.01612) \, \text{S}\).

Question 6 : Conversion de \(\underline{Y}_{tot}\) en forme polaire

Données :
  • \(\underline{Y}_{tot} = (0.05 - j0.01612) \, \text{S}\)
Calcul du module :
\[ \begin{aligned} |Y_{tot}| &= \sqrt{(0.05)^2 + (-0.01612)^2} \\ &= \sqrt{0.0025 + 0.0002598544} \\ &= \sqrt{0.0027598544} \\ &\approx 0.05253 \, \text{S} \end{aligned} \]
Calcul de la phase :
\[ \begin{aligned} \phi_Y &= \arctan\left(\frac{-0.01612}{0.05}\right) \\ &= \arctan(-0.3224) \\ &\approx -17.86^\circ \quad (\text{ou } -0.3117 \, \text{rad}) \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'admittance totale en forme polaire est \(\underline{Y}_{tot} \approx 0.05253 \angle -17.86^\circ \, \text{S}\).

Question 7 : Calcul de l'impédance totale (\(\underline{Z}_{tot}\))

Données :
  • \(\underline{Y}_{tot} = (0.05 - j0.01612) \, \text{S}\)
  • \(|Y_{tot}| \approx 0.05253 \, \text{S}\), \(\phi_Y \approx -17.86^\circ\)
Calcul à partir de la forme polaire de Y :
\[ \begin{aligned} |Z_{tot}| &= \frac{1}{|Y_{tot}|} \\ &\approx \frac{1}{0.05253 \, \text{S}} \\ &\approx 19.037 \, \text{\Omega} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \phi_Z &= -\phi_Y \\ &\approx -(-17.86^\circ) \\ &\approx 17.86^\circ \end{aligned} \]

Donc, \(\underline{Z}_{tot} \approx 19.037 \angle 17.86^\circ \, \text{\Omega}\).

Calcul à partir de la forme rectangulaire de Y :
\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{tot} &= \frac{1}{\underline{Y}_{tot}} = \frac{1}{0.05 - j0.01612} \\ &= \frac{1 \cdot (0.05 + j0.01612)}{(0.05 - j0.01612)(0.05 + j0.01612)} \\ &= \frac{0.05 + j0.01612}{0.05^2 + 0.01612^2} \\ &= \frac{0.05 + j0.01612}{0.0025 + 0.0002598544} \\ &= \frac{0.05 + j0.01612}{0.0027598544} \\ &\approx (18.116 + j5.841) \, \text{\Omega} \end{aligned} \]

(Vérification : \(\sqrt{18.116^2 + 5.841^2} \approx \sqrt{328.19 + 34.11} \approx \sqrt{362.3} \approx 19.034 \, \text{\Omega}\). \(\arctan(5.841/18.116) \approx \arctan(0.3224) \approx 17.86^\circ\). Les résultats concordent.)

Résultat Question 7 : L'impédance totale est \(\underline{Z}_{tot} \approx 19.037 \angle 17.86^\circ \, \text{\Omega}\) ou \(\underline{Z}_{tot} \approx (18.116 + j5.841) \, \text{\Omega}\).

Question 8 : Calcul du courant total efficace (\(I_{tot}\))

Données :
  • \(V_s = 10 \, \text{V}\)
  • \(|Z_{tot}| \approx 19.037 \, \text{\Omega}\) (ou \(|Y_{tot}| \approx 0.05253 \, \text{S}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{tot} &= \frac{V_s}{|Z_{tot}|} \\ &\approx \frac{10 \, \text{V}}{19.037 \, \text{\Omega}} \\ &\approx 0.5253 \, \text{A} \end{aligned} \]

Ou en utilisant l'admittance :

\[ \begin{aligned} I_{tot} &= V_s \cdot |Y_{tot}| \\ &\approx 10 \, \text{V} \cdot 0.05253 \, \text{S} \\ &\approx 0.5253 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant total efficace fourni par la source est \(I_{tot} \approx 0.5253 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire : L'unité de la susceptance est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'admittance est définie comme :

2. Dans un circuit parallèle, l'admittance totale est la somme :

3. Si l'admittance d'un circuit est \(\underline{Y} = (3 + j4) \, \text{S}\), son impédance \(\underline{Z}\) est :

Glossaire

Impédance (\(\underline{Z}\))
Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe dont la partie réelle est la résistance et la partie imaginaire est la réactance. Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Admittance (\(\underline{Y}\))
Inverse de l'impédance (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)). Elle mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. C'est une grandeur complexe. Unité : \(\text{Siemens (S)}\).
Résistance (\(R\))
Partie réelle de l'impédance, responsable de la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Réactance (\(X\))
Partie imaginaire de l'impédance, due aux inductances (\(X_L = \omega L\)) et capacités (\(X_C = -1/(\omega C)\) en convention d'impédance, ou \(X_C = 1/(\omega C)\) si l'on parle de la grandeur de la réactance). Elle ne dissipe pas d'énergie mais la stocke temporairement. Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Conductance (\(G\))
Partie réelle de l'admittance. Pour une résistance pure, \(G = 1/R\). Unité : \(\text{Siemens (S)}\).
Susceptance (\(B\))
Partie imaginaire de l'admittance. Pour une inductance pure, \(B_L = -1/(\omega L)\). Pour une capacité pure, \(B_C = \omega C\). Unité : \(\text{Siemens (S)}\).
Circuit Parallèle
Configuration de circuit où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux.
Impédance et Admittance en Circuit RLC

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