Calcul de la portée d’un radar
Comprendre le Calcul de la portée d’un radar
Un radar utilise des ondes électromagnétiques pour détecter la position et la vitesse d’objets tels que des avions, des bateaux, ou des véhicules météorologiques. La portée maximale d’un radar dépend de plusieurs facteurs, dont la puissance de l’émetteur, les caractéristiques de l’antenne, les pertes du système, et les propriétés de l’objet cible (comme sa taille et son matériel).
Objectif:
Calculer la portée maximale à laquelle un radar peut détecter un avion. On suppose que l’avion a une surface équivalente radar (RCS) de 2 m².
Données:
- \( P_t = 1.5 \times 10^6 \) W (1.5 MW)
- \( G = 1500 \) (sans unité).
- \( \lambda = 0.03 \) m — Longueur d’onde des ondes radar, correspondant à une fréquence d’environ 10 GHz.
- \( \sigma = 2 \) m\(^2\) — Surface équivalente radar de l’avion.
- \( P_{\text{min}} = 1 \times 10^{-13} \) W (0.1 pW) — Puissance minimale du signal radar reçu nécessaire pour la détection.
Questions:
1. Calculez la portée maximale \( R \) à laquelle le radar peut détecter l’avion.
2. Discutez de l’effet d’une augmentation de la puissance de l’émetteur \( P_t \) et du gain de l’antenne \( G \) sur la portée du radar.
Correction : Calcul de la portée d’un radar
1. Calcul la portée maximale \( R \)
La relation fondamentale (équation radar) reliant la puissance émise, la puissance reçue et la distance \(R\) s’exprime par :
\[P_r = \frac{P_t \, G^2 \, \lambda^2 \, \sigma}{(4\pi)^3 \, R^4}\]
Pour que le radar détecte l’avion, il faut que la puissance reçue \(P_r\) soit égale à la puissance minimale \(P_{\min}\).
On a donc :
\[P_{\min} = \frac{P_t \, G^2 \, \lambda^2 \, \sigma}{(4\pi)^3 \, R^4}\]
Isolons \(R^4\) :
\[R^4 = \frac{P_t \, G^2 \, \lambda^2 \, \sigma}{(4\pi)^3 \, P_{\min}}\]
Donc :
\[R = \left(\frac{P_t \, G^2 \, \lambda^2 \, \sigma}{(4\pi)^3 \, P_{\min}}\right)^{\frac{1}{4}}\]
En substituant les valeurs :
- \(P_t = 1.5 \times 10^6\,\mathrm{W}\)
- \(G = 1500\) donc \(G^2 = 1500^2 = 2\,250\,000\)
- \(\lambda = 0.03\,\mathrm{m}\) donc \(\lambda^2 = 0.03^2 = 0.0009\,\mathrm{m^2}\)
- \(\sigma = 2\,\mathrm{m^2}\)
- \(P_{\min} = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}\)
Calcul de \((4\pi)^3\) :
\[4\pi \approx 12.5664\]
\[(4\pi)^3 \approx 12.5664^3\]
\[4\pi \approx 1984.4\]
Calculons le numérateur en plusieurs étapes :
- Calcul de \(P_t \, G^2\) :
\[1.5 \times 10^6 \times 2\,250\,000 = 3.375 \times 10^{12}\]
- Multiplication par \(\lambda^2\) :
\[3.375 \times 10^{12} \times 0.0009 = 3.0375 \times 10^9\]
- Multiplication par \(\sigma\) :
\[3.0375 \times 10^9 \times 2 = 6.075 \times 10^9\]
Puis calculons le dénominateur :
\[(4\pi)^3 \, P_{\min} = 1984.4 \times 1 \times 10^{-13}\]
\[(4\pi)^3 \, P_{\min} \approx 1.9844 \times 10^{-10}\]
Calcul de \(R\)
Le rapport donnant \(R^4\) est :
\[R^4 = \frac{6.075 \times 10^9}{1.9844 \times 10^{-10}}\]
\[R^4 \approx 3.0633 \times 10^{19}\]
Pour obtenir \(R\), nous prenons la racine quatrième :
\[R = \left(3.0633 \times 10^{19}\right)^{\frac{1}{4}}\]
Calcul par étapes :
- Première étape : Calcul de la racine carrée de \(3.0633 \times 10^{19}\)
\[R = \sqrt{3.0633 \times 10^{19}}\]
\[R \approx 1.75 \times 10^{9.5}\]
\[R \approx 5.53 \times 10^9\]
- Deuxième étape : Calcul de la racine carrée du résultat précédent
\[R \approx \sqrt{5.53 \times 10^9}\]
\[R \approx 2.35 \times 31622.8\]
\[R \approx 74300\,\mathrm{m}\]
On peut donc estimer :
\[R \approx 7.4 \times 10^4\,\mathrm{m} \quad (\text{soit environ } 74\,\mathrm{km})\]
Résultat :
La portée maximale \(R\) à laquelle le radar peut détecter l’avion est d’environ 75 km.
2. Discussion sur l’effet d’une augmentation de \(P_t\) et \(G\)}
L’expression de \(R\) est :
\[R = \left(\frac{P_t \, G^2 \, \lambda^2 \, \sigma}{(4\pi)^3 \, P_{\min}}\right)^{\frac{1}{4}}\]
- Effet de la puissance émettrice \(P_t\) :
Relation : \[R \propto P_t^{\frac{1}{4}}\]
La portée est proportionnelle à \(P_t^{\frac{1}{4}}\). Ainsi, en doublant \(P_t\) (passant de \(P_t\) à \(2P_t\)) :
\[R_{\text{nouveau}} = \left(2P_t\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{4}}\]
\[R \approx 1.19 \, R\]
La portée augmente donc d’environ 19 %.
- Effet du gain de l’antenne \(G\) :
Le gain intervient sous la forme \(G^2\) dans l’équation, de sorte que :
\[R \propto G^{\frac{1}{2}}\]
Une augmentation du gain \(G\) a un effet plus prononcé que l’augmentation de \(Pt\)Doubler \(G\) (passant de \(G\) à \(2G\)) conduit à :
\[R_{\text{nouveau}} = \left((2G)^2\right)^{\frac{1}{4}}\]
\[R_{\text{nouveau}} = \left(4G^2\right)^{\frac{1}{4}}\]
\[R_{\text{nouveau}} = 4^{\frac{1}{4}} \, R\]
\[R_{\text{nouveau}} \approx 1.41 \, R\]
La portée augmente donc d’environ 41 %.
Conclusion
Une augmentation de la puissance \(P_t\) accroît la portée proportionnellement à \(P_t^{\frac{1}{4}}\).
\item Une amélioration du gain \(G\) augmente la portée en proportion de \(G^{\frac{1}{2}}\), ce qui est un effet plus marqué.
Cette analyse démontre que le système radar est plus sensible aux modifications du gain de l’antenne qu’à celles de la puissance émettrice, du fait de la dépendance quadratique de \(G\) dans l’équation.
Calcul de la portée d’un radar
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