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Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Comprendre l'Énergie Magnétique dans un Solénoïde

Un solénoïde, qui est essentiellement une bobine de fil enroulée en hélice, est un composant fondamental en électromagnétisme. Lorsqu'il est parcouru par un courant électrique, il génère un champ magnétique relativement uniforme à l'intérieur de ses spires et plus faible à l'extérieur. Ce champ magnétique stocke de l'énergie, appelée énergie magnétique. La capacité d'un solénoïde à stocker cette énergie est caractérisée par son inductance (\(L\)).

L'énergie magnétique (\(W_m\)) stockée dans un solénoïde (ou toute inductance) parcouru par un courant \(I\) est donnée par la formule \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). L'inductance \(L\) d'un solénoïde long dépend de ses caractéristiques géométriques (nombre de spires \(N\), longueur \(l\), section \(A\)) et de la perméabilité magnétique (\(\mu\)) du milieu à l'intérieur du solénoïde. Pour un solénoïde à air ou avec un noyau non magnétique, on utilise la perméabilité du vide \(\mu_0\).

Cet exercice vise à calculer l'inductance d'un solénoïde, le champ magnétique qu'il produit, le flux magnétique à travers ses spires, et enfin l'énergie magnétique qu'il stocke.

Données de l'étude

On considère un solénoïde long, comportant un grand nombre de spires, supposé idéal (champ magnétique uniforme à l'intérieur et nul à l'extérieur).

Caractéristiques du solénoïde :

  • Nombre de spires (\(N\)) : \(500\)
  • Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Rayon des spires (\(r\)) : \(0.02 \, \text{m}\) (soit \(2 \, \text{cm}\))
  • Courant parcourant le solénoïde (\(I\)) : \(3.0 \, \text{A}\)
  • Le solénoïde est supposé être dans l'air (ou vide), donc on utilise la perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Schéma d'un Solénoïde
I B Longueur l = 0.20 m 2r N = 500 spires

Solénoïde de longueur \(l\), rayon \(r\), \(N\) spires, parcouru par un courant \(I\).

Questions à traiter

  1. Calculer la section transversale (aire) \(A\) d'une spire du solénoïde en \(\text{m}^2\).
  2. Calculer l'intensité du champ magnétique \(B\) à l'intérieur du solénoïde (supposé long et idéal).
  3. Calculer l'inductance propre \(L\) du solénoïde.
  4. Calculer le flux magnétique total \(\Phi_{\text{total}}\) à travers toutes les spires du solénoïde (flux propre).
  5. Calculer l'énergie magnétique \(W_m\) stockée dans le solénoïde en utilisant la formule \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\).
  6. Calculer la densité d'énergie magnétique \(w_m\) à l'intérieur du solénoïde.
  7. Calculer le volume intérieur \(V_{\text{int}}\) du solénoïde.
  8. Calculer l'énergie magnétique totale stockée en utilisant la densité d'énergie et le volume (\(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\)) et vérifier si elle correspond au résultat de la question 5.

Correction : Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Question 1 : Section transversale (\(A\)) d'une spire

Principe :

La section transversale d'une spire circulaire de rayon \(r\) est l'aire d'un disque : \(A = \pi r^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \pi r^2\]
Données spécifiques :
  • Rayon (\(r\)) : \(0.02 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot (0.02 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \cdot 0.0004 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0012566 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Soit \(A \approx 1.257 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).

Résultat Question 1 : La section transversale d'une spire est \(A \approx 1.257 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une spire est doublé, sa section :

Question 2 : Intensité du champ magnétique (\(B\))

Principe :

Pour un solénoïde long, le champ magnétique à l'intérieur est approximativement uniforme et donné par \(B = \mu_0 n I\), où \(n = N/l\) est le nombre de spires par unité de longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[B = \mu_0 \frac{N}{l} I\]
Données spécifiques :
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • Nombre de spires (\(N\)) : \(500\)
  • Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Courant (\(I\)) : \(3.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot \frac{500}{0.20 \, \text{m}} \cdot 3.0 \, \text{A} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 2500 \cdot 3.0 \, \text{T} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 7500 \, \text{T} \\ &= 30000\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \\ &= 3\pi \times 10^{-3} \, \text{T} \\ &\approx 0.0094247 \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B \approx 9.42 \, \text{mT}\).

Résultat Question 2 : L'intensité du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est \(B \approx 9.42 \times 10^{-3} \, \text{T}\) (ou \(9.42 \, \text{mT}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le nombre de spires \(N\) d'un solénoïde double (longueur et courant constants), le champ magnétique \(B\) à l'intérieur :

Question 3 : Inductance propre (\(L\)) du solénoïde

Principe :

L'inductance propre d'un solénoïde long est donnée par \(L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • \(N = 500\)
  • \(A \approx 1.2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\) (de Q1)
  • \(l = 0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot \frac{(500)^2 \cdot (1.2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2)}{0.20 \, \text{m}} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \frac{250000 \cdot 1.2566 \times 10^{-3}}{0.20} \, \text{H} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \frac{314.15}{0.20} \, \text{H} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 1570.75 \, \text{H} \\ &\approx 12.566 \times 10^{-7} \cdot 1570.75 \, \text{H} \\ &\approx 0.0019739 \, \text{H} \end{aligned} \]

Soit \(L \approx 1.97 \, \text{mH}\).

Résultat Question 3 : L'inductance propre du solénoïde est \(L \approx 1.97 \times 10^{-3} \, \text{H}\) (ou \(1.97 \, \text{mH}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : L'unité de l'inductance dans le Système International est le :

Question 4 : Flux magnétique total (\(\Phi_{\text{total}}\))

Principe :

Le flux magnétique total (ou flux propre) à travers toutes les spires du solénoïde est donné par \(\Phi_{\text{total}} = N \cdot \Phi_{\text{spire}}\), où \(\Phi_{\text{spire}} = B \cdot A\). Alternativement, \(\Phi_{\text{total}} = L \cdot I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi_{\text{total}} = L \cdot I\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(\approx 0.0019739 \, \text{H}\) (de Q3)
  • Courant (\(I\)) : \(3.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{total}} &= 0.0019739 \, \text{H} \cdot 3.0 \, \text{A} \\ &\approx 0.0059217 \, \text{Wb} \end{aligned} \]

Vérification avec \(\Phi_{\text{total}} = N B A\): \(\Phi_{\text{total}} = 500 \cdot (3\pi \times 10^{-3} \, \text{T}) \cdot (1.2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2) \approx 500 \cdot 0.0094247 \cdot 0.0012566 \approx 0.005921 \, \text{Wb}\). Les résultats concordent.

Résultat Question 4 : Le flux magnétique total est \(\Phi_{\text{total}} \approx 5.92 \times 10^{-3} \, \text{Wb}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Le flux magnétique total à travers un solénoïde est proportionnel :

Question 5 : Énergie magnétique (\(W_m\)) stockée

Principe :

L'énergie magnétique stockée dans une inductance est \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_m = \frac{1}{2} L I^2\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(\approx 0.0019739 \, \text{H}\) (de Q3)
  • Courant (\(I\)) : \(3.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_m &= \frac{1}{2} \cdot 0.0019739 \, \text{H} \cdot (3.0 \, \text{A})^2 \\ &= 0.5 \cdot 0.0019739 \cdot 9.0 \, \text{J} \\ &\approx 0.00888255 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(W_m \approx 8.88 \, \text{mJ}\).

Résultat Question 5 : L'énergie magnétique stockée est \(W_m \approx 8.88 \times 10^{-3} \, \text{J}\) (ou \(8.88 \, \text{mJ}\)).

Quiz Intermédiaire 5 : Si le courant dans un solénoïde double, l'énergie stockée :

Question 6 : Densité d'énergie magnétique (\(w_m\))

Principe :

La densité d'énergie magnétique dans un milieu de perméabilité \(\mu_0\) où règne un champ magnétique \(B\) est \(w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(\approx 0.0094247 \, \text{T}\) (de Q2)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_m &= \frac{(0.0094247 \, \text{T})^2}{2 \cdot (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A})} \\ &= \frac{8.8825 \times 10^{-5} \, \text{T}^2}{8\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}} \\ &\approx \frac{8.8825 \times 10^{-5}}{2.51327 \times 10^{-6}} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 35.343 \, \text{J/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La densité d'énergie magnétique est \(w_m \approx 35.34 \, \text{J/m}^3\).

Quiz Intermédiaire 6 : L'unité de la densité d'énergie magnétique est :

Question 7 : Volume intérieur (\(V_{\text{int}}\)) du solénoïde

Principe :

Le volume intérieur d'un cylindre (solénoïde) est le produit de sa section transversale et de sa longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{int}} = A \cdot l\]
Données spécifiques :
  • Section (\(A\)) : \(\approx 1.2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\) (de Q1)
  • Longueur (\(l\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{int}} &= (1.2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2) \cdot 0.20 \, \text{m} \\ &= 0.00025132 \, \text{m}^3 \\ &= 2.5132 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le volume intérieur du solénoïde est \(V_{\text{int}} \approx 2.51 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Question 8 : Vérification de l'énergie stockée (\(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\))

Principe :

Multiplier la densité d'énergie magnétique par le volume intérieur du solénoïde pour obtenir l'énergie totale stockée et comparer avec le résultat de la Q5.

Données spécifiques :
  • Densité d'énergie (\(w_m\)) : \(\approx 35.343 \, \text{J/m}^3\) (de Q6)
  • Volume intérieur (\(V_{\text{int}}\)) : \(\approx 2.5132 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\) (de Q7)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_m &= w_m \cdot V_{\text{int}} \\ &= (35.343 \, \text{J/m}^3) \cdot (2.5132 \times 10^{-4} \, \text{m}^3) \\ &\approx 0.008882 \, \text{J} \end{aligned} \]

Cette valeur est très proche de \(0.00888255 \, \text{J}\) calculée en Q5. Les petites différences sont dues aux arrondis intermédiaires.

Résultat Question 8 : L'énergie calculée via la densité d'énergie (\(W_m \approx 8.88 \times 10^{-3} \, \text{J}\)) correspond bien à l'énergie calculée avec la formule de l'inductance.

Quiz Intermédiaire 7 : L'énergie stockée dans un champ magnétique est localisée :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'inductance d'un solénoïde long est proportionnelle :

2. L'énergie stockée dans un solénoïde est donnée par :

3. La densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) dans le vide est :

Glossaire

Solénoïde
Bobine de fil conductrice, généralement de forme cylindrique, conçue pour produire un champ magnétique lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique.
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Inductance (\(L\))
Propriété d'un circuit électrique par laquelle une force électromotrice (tension) est induite en lui-même par une variation du courant qui le traverse, ou dans un circuit voisin par une variation du courant dans ce circuit voisin. Unité : Henry (H).
Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
Mesure de la quantité totale de champ magnétique passant à travers une surface donnée. Unité : Weber (Wb).
Énergie Magnétique (\(W_m\))
Énergie stockée dans un champ magnétique. Pour une inductance, \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). Unité : Joule (J).
Densité d'Énergie Magnétique (\(w_m\))
Énergie magnétique stockée par unité de volume dans une région où existe un champ magnétique. \(w_m = \frac{B^2}{2\mu}\). Unité : Joule par mètre cube (J/m³).
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Perméabilité Magnétique (\(\mu\))
Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique en son sein. \(\mu = \mu_r \mu_0\), où \(\mu_r\) est la perméabilité relative.
Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

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