Calcul de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

1. Calcul du Champ Magnétique (B) à l’intérieur du solénoïde à t = 0,01 s

Un solénoïde est constitué d’un fil enroulé en boucles (ou « spires ») autour d’un cylindre. Lorsqu’un courant électrique le traverse, chaque spire crée un petit champ magnétique ; toutes ces contributions s’ajoutent à l’intérieur, produisant un champ quasiment uniforme. Plus il y a de spires rapprochées (nombre de spires N) et plus l’intensité du courant I est grande, plus le champ B est fort. La longueur L répartit ces spires : un solénoïde court avec le même nombre de spires donnera un champ plus intense qu’un solénoïde long.

Formule :

\[ B(t) = \mu_{0} \;\frac{N}{L}\; I(t) \]

Données :

• Perméabilité du vide : \(\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}\).
• Nombre de spires : \(N = 300\).
• Longueur du solénoïde : \(L = 0.5\ \mathrm{m}\).
• Courant : \(I(t) = I_{0}\sin(\omega t)\) avec \(I_{0} = 5\ \mathrm{A}\) et \(\omega = 100\pi\ \mathrm{rad/s}\).
• Instant : \(t = 0.01\ \mathrm{s}\).

Calcul :

1. Calcul de l’argument du sinus :
   \[ \omega t = 100\pi \times 0.01 = \pi (soit 180°). \]
2. Valeur de \(\sin(\omega t)\) :
   \[ \sin \pi = 0.\]
3. Calcul du courant :
   \[ I(0.01) = I_{0}\sin(\omega t) \] \[ I = 5 \times 0 \] \[ I = 0\ \mathrm{A}. \]
4. Substitution dans la formule de B :
   \[ B(0.01) = \mu_{0} \frac{N}{L} \times I(0.01) \] \[ B = (4\pi\times10^{-7})\frac{300}{0.5}\times0 \] \[ B = 0\ \mathrm{T}. \]

2. Énergie Magnétique Stockée (U) à t = 0,01 s

Un solénoïde se comporte comme une bobine inductive : lorsqu’il y a un courant, de l’énergie est emmagasinée dans son champ magnétique, un peu comme de l’énergie potentielle dans un ressort. Plus le courant est fort, plus l’énergie stockée est élevée.

Formule :

\[ U(t) = \frac{1}{2}L_{\mathrm{ind}}\,I^{2}(t), \quad L_{\mathrm{ind}} = \mu_{0}\,\frac{N^{2}A}{L}. \]

Données :

• Inductance symbolique : \(L_{\mathrm{ind}} = \mu_{0}\,\frac{300^{2}\,A}{0.5}\).
• Courant à 0,01 s : à calculer.

Calcul étape par étape :

1. Argument du sinus (même que pour B) :
   \[ \omega t = \pi \quad\Longrightarrow\quad \sin(\omega t) = 0. \]
2. Courant instantané :
   \[ I(0.01) \] \[ I = 5\sin(\pi) = 5 \times 0 \] \[ I = 0\ \mathrm{A}. \]
3. Carré du courant :
   \[ [I(0.01)]^{2} = 0^{2} = 0. \]
4. Substitution dans l’énergie :
   \[ U(0.01) = \frac{1}{2}L_{\mathrm{ind}} \times 0 \] \[ U = 0\ \mathrm{J}. \]

Peu importe la valeur de A dans L_ind, quand I=0, U=0.

3. Puissance Électrique Consommée (P) à t = 0,01 s

Explication :

La résistance dissipe l’énergie électrique en chaleur par effet Joule : cette puissance est proportionnelle au carré du courant.

Formule :

\[ P(t) = R\,I^{2}(t) \]

Données :

• Résistance : R = 2 Ω.
• Courant à 0,01 s : 0 A.

Calcul :

\[ P(0.01) = 2 \times 0^{2} \] \[ P = 0\ \mathrm{W}. \]

Conclusion : À t = 0,01 s, le courant est nul, donc le solénoïde ne crée pas de champ, n’emmagasine pas d’énergie et ne dissipe pas de puissance.