Calcul de l’Énergie Magnétique Stockée dans un Solénoïde
Contexte : L'Inductance et le Stockage d'Énergie.
Les solénoïdes sont des composants électromagnétiques fondamentaux, constitués d'un fil conducteur enroulé en hélice. Lorsqu'ils sont parcourus par un courant électrique, ils génèrent un champ magnétique quasi uniforme en leur sein, agissant comme un "réservoir" d'énergie magnétique. Cette capacité à stocker de l'énergie est quantifiée par une propriété appelée inductancePropriété d'un circuit électrique qui décrit sa capacité à s'opposer aux variations du courant. Elle se mesure en Henry (H).. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de l'inductance d'un solénoïde idéal, puis de l'énergie qu'il emmagasine.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre comment l'énergie est stockée dans les champs magnétiques, un principe au cœur du fonctionnement des inductances, des transformateurs et de nombreux autres dispositifs électromécaniques.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre la géométrie d'un solénoïde et son inductance.
- Appliquer la formule de l'inductance pour un solénoïde long.
- Calculer l'énergie magnétique stockée à partir de l'inductance et du courant.
- Déterminer l'intensité du champ magnétique et la densité d'énergie.
Données de l'étude
Schéma d'un Solénoïde
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Longueur du solénoïde | \(l\) | 50 cm |
| Rayon des spires | \(r\) | 4 cm |
| Nombre total de spires | \(N\) | 1000 |
| Courant continu | \(I\) | 8 A |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) H/m |
Questions à traiter
- Calculer le champ magnétique (\(B\)) à l'intérieur du solénoïde.
- Calculer l'inductance propre (\(L\)) du solénoïde.
- En déduire l'énergie magnétique totale (\(W_m\)) stockée par le composant.
- Calculer la densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) à l'intérieur du solénoïde.
Les bases sur l'Inductance et l'Énergie Magnétique
Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts clés de l'électromagnétisme sont nécessaires.
1. Champ Magnétique d'un Solénoïde Idéal
L'intensité du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde long est quasi-uniforme et se calcule avec la formule :
\[ B = \mu_0 n I \]
Où \(n\) est la densité de spires (\(n = N/l\), en spires par mètre) et \(I\) est le courant.
2. Inductance d'un Solénoïde Idéal
L'inductance propre d'un solénoïde long dépend uniquement de ses caractéristiques géométriques :
\[ L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \]
Où \(A\) est l'aire d'une spire (\(A=\pi r^2\)).
3. Énergie Magnétique Stockée
L'énergie stockée dans le champ magnétique d'une bobine d'inductance \(L\) est :
\[ W_m = \frac{1}{2} L I^2 \]
Cette énergie est exprimée en Joules (J).
4. Densité d'Énergie Magnétique
C'est l'énergie stockée par unité de volume. Elle est uniforme à l'intérieur du solénoïde et se calcule de deux manières équivalentes :
\[ w_m = \frac{W_m}{\text{Volume}} \quad \text{ou} \quad w_m = \frac{B^2}{2\mu_0} \]
Son unité est le Joule par mètre cube (J/m³).
Correction : Calcul de l’Énergie Magnétique Stockée dans un Solénoïde
Question 1 : Calculer le champ magnétique (B) à l'intérieur du solénoïde.
Principe
Le champ magnétique est la conséquence directe du courant circulant dans les enroulements. Pour un solénoïde idéal, ce champ est constant à l'intérieur et sa valeur dépend de la concentration des spires et de l'intensité du courant.
Mini-Cours
Le théorème d'Ampère, \(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}\), est le fondement de ce calcul. En choisissant un contour rectangulaire judicieux (un côté à l'intérieur du solénoïde, un côté à l'extérieur où B=0), on démontre simplement que le champ à l'intérieur est uniforme et vaut \(B = \mu_0 n I\).
Remarque Pédagogique
Pour aborder ce problème, commencez toujours par calculer les grandeurs "intermédiaires" comme la densité de spires \(n\). Cela clarifie les étapes et réduit le risque d'erreur dans le calcul final.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à des normes de construction, mais il est une application directe des lois fondamentales de l'électromagnétisme, notamment les équations de Maxwell.
Formule(s)
Champ magnétique
Densité de spires
Hypothèses
Le modèle du solénoïde idéal est utilisé, ce qui implique :
- La longueur \(l\) est très supérieure au rayon \(r\) (\(l \gg r\)).
- Le champ magnétique est considéré comme parfaitement nul à l'extérieur.
- Les effets de bord sont négligés ; le champ est uniforme sur toute la longueur interne.
Donnée(s)
Les données utilisées pour ce calcul sont directement issues de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de spires | \(N\) | 1000 | - |
| Longueur | \(l\) | 50 | cm |
| Courant | \(I\) | 8 | A |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
Astuces
Pour un ordre de grandeur rapide, retenez que \(\mu_0 \approx 1.257 \times 10^{-6}\) H/m. Un solénoïde typique de laboratoire avec quelques milliers de spires/m et quelques ampères produit un champ de l'ordre de quelques dizaines de milliTeslas (mT).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre les paramètres d'entrée pour le calcul de B : le courant \(I\) dans les \(N\) spires réparties sur la longueur \(l\).
Calcul(s)
Conversion de la longueur
Calcul de la densité de spires \(n\)
Calcul du champ magnétique \(B\)
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est un champ magnétique uniforme. On peut le représenter par des lignes de champ parallèles et équidistantes à l'intérieur du solénoïde, avec la valeur calculée.
Visualisation du champ B calculé
Réflexions
Un champ de 20.1 milliTesla est significatif. À titre de comparaison, il est environ 400 fois plus intense que le champ magnétique terrestre (qui est d'environ 50 microTesla). Cela montre l'efficacité d'un solénoïde pour concentrer les lignes de champ.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de calculer la densité de spires \(n\) (en spires/mètre) et d'utiliser directement le nombre total de spires \(N\) dans la formule de \(B\). Assurez-vous que vos unités sont cohérentes.
Points à retenir
Pour un solénoïde idéal :
- Le champ magnétique \(B\) à l'intérieur est uniforme.
- \(B\) est directement proportionnel au courant \(I\) et à la densité de spires \(n\).
- \(B\) ne dépend pas du rayon du solénoïde.
Le saviez-vous ?
Les appareils d'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) utilisent des solénoïdes supraconducteurs gigantesques pour générer des champs magnétiques très intenses (de 1.5 à 3 Teslas, soit 100 000 fois notre résultat) afin d'aligner les protons dans le corps humain et de créer des images détaillées des tissus mous.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant était de 10 A, quelle serait la nouvelle valeur du champ magnétique B ?
Question 2 : Calculer l'inductance propre (L) du solénoïde.
Principe
L'inductance est une caractéristique purement géométrique. Elle représente la "facilité" avec laquelle le solénoïde peut générer son propre flux magnétique. Elle ne dépend pas du courant qui le traverse, mais uniquement de sa construction (nombre de spires, dimensions) et du matériau en son cœur (ici, le vide).
Mini-Cours
L'inductance \(L\) est définie par la relation \(\Phi = L \times I\), où \(\Phi\) est le flux magnétique total à travers le solénoïde. Comme \(\Phi = N \times (\text{flux par spire}) = N \times (B \times A)\), et que \(B = \mu_0 (N/l) I\), on peut substituer pour retrouver la formule : \(L = \mu_0 N^2 A / l\).
Remarque Pédagogique
Notez bien la dépendance de \(L\) au carré du nombre de spires (\(N^2\)). C'est le paramètre le plus influent : doubler le nombre de spires quadruple l'inductance ! C'est un levier de conception très puissant pour les ingénieurs.
Normes
Aucune norme spécifique n'est requise, le calcul découle des lois de l'électromagnétisme.
Formule(s)
Inductance
Aire de la section
Hypothèses
Les mêmes que pour la Question 1 : solénoïde long et idéal, champ uniforme, effets de bords négligés.
Donnée(s)
Les données utilisées pour ce calcul sont directement issues de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de spires | \(N\) | 1000 | - |
| Longueur | \(l\) | 50 | cm |
| Rayon | \(r\) | 4 | cm |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
Points de vigilance
Attention aux unités ! La plus grande source d'erreur dans ce type de calcul est une mauvaise conversion des unités. La longueur et le rayon sont donnés en centimètres (cm) et doivent impérativement être convertis en mètres (m) pour être cohérents avec l'unité de \(\mu_0\) (H/m).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma met en évidence les paramètres géométriques qui déterminent l'inductance : le nombre de spires \(N\), la longueur \(l\), et l'aire de la section \(A\), elle-même fonction du rayon \(r\).
Paramètres géométriques de l'inductance
Calcul(s)
Conversion de la longueur
Conversion du rayon
Calcul de l'aire de la section \(A\)
Calcul de l'inductance \(L\)
Schéma (Après les calculs)
L'inductance est une propriété scalaire intrinsèque du composant, représentée par un symbole unique dans les schémas de circuits électriques.
Symbole et valeur de l'inductance
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait l'inductance (en mH) si on doublait le rayon du solénoïde ?
Question 3 : En déduire l'énergie magnétique totale (\(W_m\)) stockée.
Principe
L'énergie n'est pas "créée" mais "stockée". Elle est prélevée au circuit électrique lors de l'établissement du courant et est conservée dans le volume du champ magnétique. Cette énergie est proportionnelle à l'inductance (la capacité du réservoir) et au carré du courant (le niveau de remplissage).
Mini-Cours
Pour "charger" une inductance de 0 à un courant final I, une source de tension doit fournir un travail. La puissance instantanée fournie est \(P(t) = u(t)i(t)\). Avec \(u = L \frac{di}{dt}\), la puissance devient \(P(t) = Li\frac{di}{dt}\). L'énergie totale est l'intégrale de cette puissance dans le temps : \(W_m = \int P(t) dt = \int_0^I L i \,di = \frac{1}{2} L I^2\).
Remarque Pédagogique
Visualisez la relation \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\) comme analogue à l'énergie cinétique d'une masse \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). L'inductance \(L\) joue le rôle de l'inertie (\(m\)) du circuit, s'opposant à la variation du "mouvement" des charges (le courant \(I\), analogue à la vitesse \(v\)).
Normes
Ce calcul est une application directe des lois de l'électromagnétisme et ne dépend pas d'une norme de construction spécifique.
Formule(s)
Énergie magnétique stockée
Hypothèses
On suppose que l'inductance est purement idéale, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de résistance interne. Dans un cas réel, une partie de l'énergie fournie par la source serait dissipée en chaleur par effet Joule dans le fil.
Donnée(s)
Les données utilisées proviennent de l'énoncé et du résultat du calcul précédent.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Inductance propre | \(L\) | 0.01263 | H |
| Courant | \(I\) | 8 | A |
Astuces
Pour vérifier rapidement un calcul, souvenez-vous que si vous doublez le courant, l'énergie est quadruplée. Si vous triplez le courant, l'énergie est multipliée par 9. C'est une conséquence directe du terme en \(I^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre l'analogie du réservoir : l'inductance \(L\) est la capacité du réservoir, le courant \(I\) le remplit, et l'énergie \(W_m\) est le contenu stocké.
Concept du stockage d'énergie
Calcul(s)
Calcul de l'énergie \(W_m\)
Schéma (Après les calculs)
La relation quadratique entre l'énergie et le courant peut être représentée graphiquement. Ce n'est pas une ligne droite : l'énergie augmente beaucoup plus vite que le courant.
Graphique Énergie vs. Courant
Réflexions
Le solénoïde stocke environ 0.404 Joules. C'est l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 41 grammes d'un mètre. Bien que modeste, cette énergie peut être libérée très rapidement lors de la coupure du courant, créant des surtensions importantes. C'est ce principe qui est utilisé dans les bobines d'allumage des moteurs à essence.
Points de vigilance
N'oubliez pas le carré sur le courant (\(I^2\)) ! C'est une erreur fréquente. L'énergie stockée n'est pas proportionnelle au courant, mais à son carré, ce qui signifie qu'elle augmente très rapidement.
Points à retenir
- L'énergie stockée est proportionnelle à l'inductance \(L\).
- L'énergie stockée est proportionnelle au carré du courant \(I^2\).
Le saviez-vous ?
Les systèmes de stockage d'énergie magnétique supraconductrice (SMES) sont des solénoïdes géants refroidis à très basse température. Ils peuvent stocker d'énormes quantités d'énergie avec une efficacité de plus de 95% et la restituer quasi instantanément pour stabiliser les réseaux électriques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie (en J) si le courant est réduit de moitié (4 A).
Question 4 : Calculer la densité d'énergie magnétique (\(w_m\)).
Principe
La densité d'énergie nous renseigne sur la concentration de l'énergie dans l'espace. Plutôt que de connaître l'énergie totale, on cherche à savoir combien de Joules sont stockés dans chaque mètre cube à l'intérieur du solénoïde. Cela donne une mesure de l'intensité du stockage énergétique.
Mini-Cours
La notion de densité d'énergie est universelle en physique. Elle représente l'énergie contenue dans un champ (électrique, magnétique, gravitationnel) par unité de volume. Le fait que \(w_m\) puisse être exprimé uniquement en fonction de \(B\) et \(\mu_0\) montre que c'est le champ magnétique lui-même qui est le "siège" de l'énergie.
Remarque Pédagogique
Utiliser les deux formules pour \(w_m\) (celle avec \(W_m\) et le volume, et celle avec \(B^2\)) est une excellente habitude à prendre. Si vous obtenez le même résultat, cela confirme la cohérence de tous vos calculs précédents (B, L, et Wm). C'est un puissant outil d'auto-vérification.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul, qui relève de la physique fondamentale.
Formule(s)
Densité d'énergie (par l'énergie totale)
Densité d'énergie (par le champ magnétique)
Hypothèses
On suppose que l'énergie magnétique est répartie de manière parfaitement uniforme dans tout le volume intérieur du solénoïde, ce qui est cohérent avec l'hypothèse d'un champ \(B\) uniforme.
Donnée(s)
Les données utilisées proviennent de l'énoncé et des résultats des calculs précédents.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Énergie totale | \(W_m\) | 0.404 | J |
| Champ magnétique | \(B\) | 0.0201 | T |
| Aire de la section | \(A\) | \(5.0265 \times 10^{-3}\) | m² |
| Longueur | \(l\) | 0.5 | m |
Astuces
Utiliser la formule \(w_m = B^2 / (2\mu_0)\) est souvent plus direct si vous avez déjà calculé \(B\). Cela évite d'avoir à calculer le volume et de propager une éventuelle erreur de calcul sur l'énergie totale \(W_m\).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre que la densité d'énergie est l'énergie totale \(W_m\) répartie uniformément dans le volume cylindrique du solénoïde.
Volume de stockage de l'énergie
Calcul(s)
Calcul du volume du solénoïde
Calcul de la densité d'énergie
Vérification avec la formule du champ magnétique
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une valeur scalaire constante en tout point du volume interne, représentant la concentration d'énergie.
Densité d'énergie uniforme
Réflexions
Chaque mètre cube à l'intérieur du solénoïde contient environ 161 Joules d'énergie. Cette valeur est directement proportionnelle au carré du champ magnétique, ce qui montre que les champs magnétiques intenses sont de formidables concentrateurs d'énergie.
Points de vigilance
Attention à ne pas faire d'erreurs dans le calcul du volume, en particulier avec les puissances de 10 lors de la conversion des unités (cm² en m², cm en m).
Points à retenir
- La densité d'énergie \(w_m\) est l'énergie par unité de volume.
- Elle peut se calculer à partir de l'énergie totale \(W_m\) ou directement à partir du champ magnétique \(B\).
- Elle est proportionnelle au carré du champ magnétique (\(w_m \propto B^2\)).
Le saviez-vous ?
Dans les expériences de fusion nucléaire comme ITER, des champs magnétiques extraordinairement intenses (plusieurs Teslas) sont utilisés pour confiner le plasma à des millions de degrés. La densité d'énergie magnétique y atteint des valeurs gigantesques, bien supérieures à celle d'explosifs conventionnels !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on double le champ magnétique B, par combien la densité d'énergie \(w_m\) est-elle multipliée ?
Outil Interactif : Simulateur d'Énergie
Utilisez les curseurs pour faire varier le courant et le nombre de spires, et observez en temps réel l'impact sur l'inductance et l'énergie stockée. Le graphique montre l'évolution de l'énergie en fonction du courant pour le nombre de spires sélectionné.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de l'inductance ?
2. Si on double le courant traversant un solénoïde, son énergie stockée est...
3. L'inductance d'un solénoïde dépend-elle du courant qui le traverse ?
4. Si on double le nombre de spires (N) d'un solénoïde (sans changer sa longueur), son inductance est...
5. Le champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde idéal est :
Glossaire
- Solénoïde
- Composant formé d'un fil électrique enroulé en hélice (bobine). Il est conçu pour produire un champ magnétique contrôlé lorsqu'il est traversé par un courant.
- Inductance (L)
- Grandeur physique qui caractérise la capacité d'un circuit à s'opposer aux variations du courant qui le traverse, en stockant de l'énergie sous forme magnétique. Son unité est le Henry (H).
- Énergie Magnétique (Wm)
- Énergie potentielle emmagasinée dans un champ magnétique. Elle est libérée lorsque le champ disparaît. Son unité est le Joule (J).
- Densité d'énergie magnétique (wm)
- Quantité d'énergie magnétique stockée par unité de volume. Elle s'exprime en Joules par mètre cube (J/m³).
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\))
- Constante physique fondamentale qui mesure la capacité du vide à permettre aux lignes de champ magnétique de se former. C'est une mesure de la "résistance" du vide à la création d'un champ magnétique.
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