Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée

Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Comprendre l'Inductance et l'Énergie Magnétique

L'inductance (\(L\)) est une propriété fondamentale des circuits électriques qui décrit leur capacité à s'opposer aux variations de courant. Elle est définie comme le rapport entre le flux magnétique total (\(\Phi_{\text{total}}\)) qui traverse les spires d'une bobine et le courant (\(I\)) qui produit ce flux : \(L = \Phi_{\text{total}} / I\). Lorsqu'un courant circule dans un inducteur, comme un solénoïde, un champ magnétique est créé, et de l'énergie est stockée dans ce champ.

L'énergie magnétique (\(W_m\)) emmagasinée dans un inducteur d'inductance \(L\) parcouru par un courant \(I\) est donnée par \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). Pour un solénoïde long, l'inductance peut être calculée à partir de ses caractéristiques géométriques (nombre de spires \(N\), longueur \(l\), section \(A\)) et de la perméabilité magnétique (\(\mu\)) du milieu. Dans le vide ou l'air, \(\mu \approx \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).

Cet exercice vise à calculer l'inductance d'un solénoïde, le champ magnétique qu'il génère, le flux magnétique à travers ses spires, et l'énergie magnétique totale stockée, ainsi que la densité d'énergie magnétique.

Données de l'étude

On considère un solénoïde long, comportant un grand nombre de spires, supposé idéal (champ magnétique uniforme à l'intérieur et nul à l'extérieur).

Caractéristiques du solénoïde :

  • Nombre de spires (\(N\)) : \(800\)
  • Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.40 \, \text{m}\)
  • Rayon des spires (\(r\)) : \(0.025 \, \text{m}\) (soit \(2.5 \, \text{cm}\))
  • Courant parcourant le solénoïde (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
  • Le solénoïde est supposé être dans l'air (ou vide), donc on utilise la perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Schéma d'un Solénoïde
I B Longueur l 2r N spires

Solénoïde de longueur \(l\), rayon \(r\), \(N\) spires, parcouru par un courant \(I\).

Questions à traiter

  1. Calculer la section transversale (aire) \(A\) d'une spire du solénoïde en \(\text{m}^2\).
  2. Calculer la densité de spires (nombre de spires par unité de longueur) \(n\).
  3. Calculer l'intensité du champ magnétique \(B\) à l'intérieur du solénoïde.
  4. Calculer le flux magnétique \(\Phi_{\text{spire}}\) à travers une seule spire.
  5. Calculer l'inductance propre \(L\) du solénoïde en utilisant la formule \(L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\).
  6. Calculer l'énergie magnétique \(W_m\) stockée dans le solénoïde.
  7. Calculer la densité d'énergie magnétique \(w_m\) à l'intérieur du solénoïde.
  8. Vérifier que l'énergie totale stockée \(W_m\) peut aussi être obtenue en multipliant la densité d'énergie \(w_m\) par le volume intérieur du solénoïde \(V_{\text{int}} = A \cdot l\).

Correction : Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

Question 1 : Section transversale (\(A\)) d'une spire

Principe :

La section transversale d'une spire circulaire de rayon \(r\) est l'aire d'un disque : \(A = \pi r^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \pi r^2\]
Données spécifiques :
  • Rayon (\(r\)) : \(0.025 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot (0.025 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \cdot 0.000625 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0019635 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Soit \(A \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).

Résultat Question 1 : La section transversale d'une spire est \(A \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une spire est triplé, sa section :

Question 2 : Densité de spires (\(n\))

Principe :

La densité de spires \(n\) est le nombre total de spires \(N\) divisé par la longueur \(l\) du solénoïde.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n = \frac{N}{l}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de spires (\(N\)) : \(800\)
  • Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.40 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{800}{0.40 \, \text{m}} \\ &= 2000 \, \text{spires/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La densité de spires est \(n = 2000 \, \text{spires/m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la longueur d'un solénoïde double mais que le nombre total de spires reste le même, la densité de spires \(n\) :

Question 3 : Intensité du champ magnétique (\(B\))

Principe :

Pour un solénoïde long, le champ magnétique à l'intérieur est approximativement uniforme et donné par \(B = \mu_0 n I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[B = \mu_0 n I\]
Données spécifiques :
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • Densité de spires (\(n\)) : \(2000 \, \text{spires/m}\) (de Q2)
  • Courant (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot (2000 \, \text{m}^{-1}) \cdot (4.0 \, \text{A}) \\ &= 4\pi \times 10^{-7} \cdot 8000 \, \text{T} \\ &= 32000\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \\ &= 3.2\pi \times 10^{-3} \, \text{T} \\ &\approx 0.010053 \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B \approx 10.05 \, \text{mT}\).

Résultat Question 3 : L'intensité du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est \(B \approx 1.005 \times 10^{-2} \, \text{T}\) (ou \(10.05 \, \text{mT}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Le champ magnétique à l'extérieur d'un solénoïde idéal long est :

Question 4 : Flux magnétique (\(\Phi_{\text{spire}}\)) à travers une seule spire

Principe :

Le flux magnétique à travers une spire est \(\Phi_{\text{spire}} = B \cdot A\), car le champ \(B\) est supposé uniforme et perpendiculaire à la section \(A\) de la spire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi_{\text{spire}} = B \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(\approx 0.010053 \, \text{T}\) (de Q3)
  • Section (\(A\)) : \(\approx 0.0019635 \, \text{m}^2\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{spire}} &= (0.010053 \, \text{T}) \cdot (0.0019635 \, \text{m}^2) \\ &\approx 1.9739 \times 10^{-5} \, \text{Wb} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le flux magnétique à travers une seule spire est \(\Phi_{\text{spire}} \approx 1.974 \times 10^{-5} \, \text{Wb}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si l'aire d'une spire double et que le champ magnétique B reste constant et perpendiculaire, le flux à travers la spire :

Question 5 : Inductance propre (\(L\)) du solénoïde

Principe :

L'inductance propre d'un solénoïde long est donnée par la formule \(L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • \(N = 800\)
  • \(A \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\) (de Q1)
  • \(l = 0.40 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot \frac{(800)^2 \cdot (0.0019635 \, \text{m}^2)}{0.40 \, \text{m}} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \frac{640000 \cdot 0.0019635}{0.40} \, \text{H} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \frac{1256.64}{0.40} \, \text{H} \\ &= (4\pi \times 10^{-7}) \cdot 3141.6 \, \text{H} \\ &\approx 12.56637 \times 10^{-7} \cdot 3141.6 \, \text{H} \\ &\approx 0.0039478 \, \text{H} \end{aligned} \]

Soit \(L \approx 3.95 \, \text{mH}\).

Alternativement, utilisant \(n=N/l=2000\), \(L = \mu_0 n^2 A l = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot (2000)^2 \cdot (0.0019635) \cdot (0.40) \approx 0.0039478 \, \text{H}\).

Résultat Question 5 : L'inductance propre du solénoïde est \(L \approx 3.95 \times 10^{-3} \, \text{H}\) (ou \(3.95 \, \text{mH}\)).

Quiz Intermédiaire 5 : Si la longueur \(l\) d'un solénoïde est doublée (N et A constants), son inductance \(L\) :

Question 6 : Énergie magnétique (\(W_m\)) stockée

Principe :

L'énergie magnétique stockée dans une inductance est \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_m = \frac{1}{2} L I^2\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(\approx 0.0039478 \, \text{H}\) (de Q5)
  • Courant (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_m &= \frac{1}{2} \cdot (0.0039478 \, \text{H}) \cdot (4.0 \, \text{A})^2 \\ &= 0.5 \cdot 0.0039478 \cdot 16.0 \, \text{J} \\ &\approx 0.0315824 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(W_m \approx 31.58 \, \text{mJ}\).

Résultat Question 6 : L'énergie magnétique stockée est \(W_m \approx 3.16 \times 10^{-2} \, \text{J}\) (ou \(31.6 \, \text{mJ}\)).

Quiz Intermédiaire 6 : L'énergie stockée dans un inducteur est sous forme :

Question 7 : Densité d'énergie magnétique (\(w_m\))

Principe :

La densité d'énergie magnétique dans un milieu de perméabilité \(\mu_0\) où règne un champ magnétique \(B\) est \(w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(\approx 0.010053 \, \text{T}\) (de Q3)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_m &= \frac{(0.010053 \, \text{T})^2}{2 \cdot (4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A})} \\ &= \frac{1.010628 \times 10^{-4} \, \text{T}^2}{8\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}} \\ &\approx \frac{1.010628 \times 10^{-4}}{2.513274 \times 10^{-6}} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 40.210 \, \text{J/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La densité d'énergie magnétique est \(w_m \approx 40.21 \, \text{J/m}^3\).

Quiz Intermédiaire 7 : Si le champ magnétique \(B\) à l'intérieur d'un solénoïde double, la densité d'énergie magnétique \(w_m\) :

Question 8 : Vérification de l'énergie stockée (\(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\))

Principe :

Le volume intérieur du solénoïde est \(V_{\text{int}} = A \cdot l\). L'énergie totale stockée est \(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\).

Calcul du volume :
\[ \begin{aligned} V_{\text{int}} &= A \cdot l \\ &= (0.0019635 \, \text{m}^2) \cdot (0.40 \, \text{m}) \\ &= 0.0007854 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Calcul de l'énergie :
\[ \begin{aligned} W_m &= w_m \cdot V_{\text{int}} \\ &= (40.210 \, \text{J/m}^3) \cdot (0.0007854 \, \text{m}^3) \\ &\approx 0.031582 \, \text{J} \end{aligned} \]

Cette valeur est très proche de \(0.0315824 \, \text{J}\) calculée en Q6. Les petites différences sont dues aux arrondis intermédiaires.

Résultat Question 8 : L'énergie calculée via la densité d'énergie (\(W_m \approx 3.16 \times 10^{-2} \, \text{J}\)) correspond bien à l'énergie calculée avec la formule de l'inductance.

Quiz Intermédiaire 8 : La densité d'énergie magnétique est utile pour :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'inductance d'un solénoïde long est proportionnelle :

2. L'énergie stockée dans un solénoïde est donnée par :

3. La densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) dans le vide est :

Glossaire

Solénoïde
Bobine de fil conductrice, généralement de forme cylindrique, conçue pour produire un champ magnétique lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique.
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Inductance (\(L\))
Propriété d'un circuit électrique par laquelle une force électromotrice (tension) est induite en lui-même par une variation du courant qui le traverse, ou dans un circuit voisin par une variation du courant dans ce circuit voisin. Unité : Henry (H).
Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
Mesure de la quantité totale de champ magnétique passant à travers une surface donnée. Unité : Weber (Wb).
Énergie Magnétique (\(W_m\))
Énergie stockée dans un champ magnétique. Pour une inductance, \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). Unité : Joule (J).
Densité d'Énergie Magnétique (\(w_m\))
Énergie magnétique stockée par unité de volume dans une région où existe un champ magnétique. \(w_m = \frac{B^2}{2\mu}\). Unité : Joule par mètre cube (J/m³).
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Perméabilité Magnétique (\(\mu\))
Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique en son sein. \(\mu = \mu_r \mu_0\), où \(\mu_r\) est la perméabilité relative.
Densité de Spires (\(n\))
Nombre de spires par unité de longueur d'un solénoïde (\(n=N/l\)).
Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde

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