Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Champ Magnétique Variable sur une Plaque

Champ Magnétique Variable sur une Plaque Conductrice

Champ Magnétique Variable sur une Plaque Conductrice

Comprendre l'Induction Électromagnétique et les Courants de Foucault

Lorsqu'une plaque conductrice est exposée à un champ magnétique variable dans le temps, des phénomènes d'induction électromagnétique se produisent. Conformément à la loi de Faraday, une variation du flux magnétique à travers une surface induit une force électromotrice (f.é.m.) dans tout contour fermé tracé sur cette surface. Si le matériau est conducteur, cette f.é.m. induite donne naissance à des courants électriques circulant à l'intérieur de la plaque. Ces courants sont appelés courants de Foucault.

Les courants de Foucault circulent dans des boucles à l'intérieur du conducteur et, selon la loi de Lenz, ils s'opposent par leurs effets à la cause qui leur a donné naissance (la variation du flux magnétique). Ces courants dissipent de l'énergie par effet Joule dans le matériau conducteur, ce qui se traduit par un échauffement de la plaque. Ce phénomène a des applications utiles (freinage électromagnétique, chauffage par induction) mais peut aussi être une source de pertes indésirables dans d'autres contextes (transformateurs, machines électriques).

Cet exercice se concentre sur le calcul du flux magnétique et de la f.é.m. induite dans une plaque rectangulaire soumise à un champ magnétique variable, ainsi que sur l'estimation des courants induits et de la puissance dissipée.

Données de l'étude

Une plaque rectangulaire en cuivre est placée dans une région où règne un champ magnétique uniforme, perpendiculaire à la surface de la plaque, et variant sinusoïdalement avec le temps.

Caractéristiques de la plaque et du champ :

  • Matériau de la plaque : Cuivre
  • Longueur de la plaque (\(L_p\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Largeur de la plaque (\(w_p\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
  • Champ magnétique : \(\vec{B}(t) = B_0 \cos(\omega t) \vec{u}_z\), où \(\vec{u}_z\) est un vecteur unitaire perpendiculaire à la plaque.
  • Amplitude maximale du champ magnétique (\(B_0\)) : \(0.5 \, \text{T}\)
  • Fréquence du champ magnétique (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
  • Résistivité du cuivre (\(\rho_{Cu}\)) : \(1.7 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}\) (utilisée pour une estimation ultérieure)
Schéma de la Plaque dans le Champ Magnétique Variable
Plaque Conductrice Lp = 0.20 m wp=0.10m Champ Magnétique B(t) (perpendiculaire)

Plaque conductrice rectangulaire soumise à un champ magnétique \(\vec{B}(t)\) uniforme et perpendiculaire à sa surface.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A\) de la surface de la plaque.
  2. Déterminer la pulsation \(\omega\) du champ magnétique.
  3. Écrire l'expression du flux magnétique \(\Phi_B(t)\) à travers la surface de la plaque.
  4. Calculer la valeur maximale du flux magnétique, \(\Phi_{B,\text{max}}\).
  5. Déterminer l'expression de la force électromotrice (f.é.m.) induite \(e(t)\) le long du périmètre de la plaque.
  6. Calculer la valeur maximale de la f.é.m. induite, \(e_{\text{max}}\).
  7. Si l'on suppose que la plaque forme une boucle de courant unique ayant une résistance équivalente \(R_{\text{eq}} = 0.05 \, \text{Ω}\), estimer la valeur maximale du courant induit \(I_{\text{induit,max}}\) dans cette boucle.
  8. Calculer la puissance moyenne \(P_{\text{moy}}\) dissipée par effet Joule dans cette boucle équivalente.

Correction : Champ Magnétique Variable sur une Plaque Conductrice

Question 1 : Aire (\(A\)) de la plaque

Principe :

L'aire d'une plaque rectangulaire est le produit de sa longueur et de sa largeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = L_p \cdot w_p\]
Données spécifiques :
  • Longueur (\(L_p\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Largeur (\(w_p\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 0.20 \, \text{m} \cdot 0.10 \, \text{m} \\ &= 0.020 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la surface de la plaque est \(A = 0.020 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la longueur et la largeur d'une plaque rectangulaire doublent, son aire :

Question 2 : Pulsation (\(\omega\)) du champ magnétique

Principe :

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \cdot 50 \, \text{Hz} \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.159 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La pulsation du champ magnétique est \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s} \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la pulsation \(\omega\) dans le Système International est :

Question 3 : Expression du flux magnétique \(\Phi_B(t)\)

Principe :

Le flux magnétique \(\Phi_B\) à travers une surface \(A\) est le produit scalaire du champ magnétique \(\vec{B}\) et du vecteur surface \(\vec{A}\) (dont la magnitude est l'aire et la direction est la normale à la surface). Si \(\vec{B}\) est uniforme et perpendiculaire à la surface, \(\Phi_B = B \cdot A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi_B(t) = B(t) \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique : \(B(t) = B_0 \cos(\omega t)\) avec \(B_0 = 0.5 \, \text{T}\)
  • Aire (\(A\)) : \(0.020 \, \text{m}^2\) (calculée à la Q1)
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(100\pi \, \text{rad/s}\) (calculée à la Q2)
Expression :
\[ \begin{aligned} \Phi_B(t) &= (B_0 \cos(\omega t)) \cdot A \\ &= (0.5 \, \text{T} \cdot \cos(100\pi t)) \cdot 0.020 \, \text{m}^2 \\ &= 0.01 \cos(100\pi t) \, \text{T} \cdot \text{m}^2 \\ &= 0.01 \cos(100\pi t) \, \text{Wb} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'expression du flux magnétique est \(\Phi_B(t) = 0.01 \cos(100\pi t) \, \text{Wb}\).

Quiz Intermédiaire 3 : L'unité du flux magnétique dans le Système International est le :

Question 4 : Valeur maximale du flux magnétique (\(\Phi_{B,\text{max}}\))

Principe :

Le flux magnétique est \(\Phi_B(t) = 0.01 \cos(100\pi t) \, \text{Wb}\). La valeur maximale de la fonction cosinus est 1.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi_{B,\text{max}} &= 0.01 \cdot \max(\cos(100\pi t)) \\ &= 0.01 \cdot 1 \, \text{Wb} \\ &= 0.01 \, \text{Wb} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La valeur maximale du flux magnétique est \(\Phi_{B,\text{max}} = 0.01 \, \text{Wb}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Le flux magnétique à travers une surface est maximal lorsque le champ magnétique est :

Question 5 : Expression de la f.é.m. induite \(e(t)\)

Principe :

La loi de Faraday de l'induction stipule que la force électromotrice induite \(e(t)\) dans un circuit fermé est égale à l'opposé de la dérivée temporelle du flux magnétique \(\Phi_B(t)\) à travers le circuit : \(e(t) = - \frac{d\Phi_B(t)}{dt}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[e(t) = - \frac{d\Phi_B(t)}{dt}\]
Données spécifiques :
  • Flux magnétique : \(\Phi_B(t) = 0.01 \cos(100\pi t) \, \text{Wb}\) (calculé à la Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} e(t) &= - \frac{d}{dt} (0.01 \cos(100\pi t)) \\ &= - 0.01 \cdot (-\sin(100\pi t) \cdot 100\pi) \\ &= 0.01 \cdot 100\pi \cdot \sin(100\pi t) \\ &= \pi \sin(100\pi t) \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'expression de la f.é.m. induite est \(e(t) = \pi \sin(100\pi t) \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 5 : La loi de Faraday relie :

Question 6 : Valeur maximale de la f.é.m. induite (\(e_{\text{max}}\))

Principe :

La f.é.m. induite est \(e(t) = \pi \sin(100\pi t) \, \text{V}\). La valeur maximale de la fonction sinus est 1.

Calcul :
\[ \begin{aligned} e_{\text{max}} &= \pi \cdot \max(\sin(100\pi t)) \\ &= \pi \cdot 1 \, \text{V} \\ &= \pi \, \text{V} \\ &\approx 3.14159 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La valeur maximale de la f.é.m. induite est \(e_{\text{max}} = \pi \, \text{V} \approx 3.14 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 6 : La f.é.m. induite est maximale lorsque la variation du flux magnétique est :

Question 7 : Valeur maximale du courant induit (\(I_{\text{induit,max}}\))

Principe :

Si l'on modélise la plaque comme une boucle de résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\), le courant induit \(i(t)\) peut être estimé par la loi d'Ohm : \(i(t) = e(t) / R_{\text{eq}}\). La valeur maximale du courant correspondra à la valeur maximale de la f.é.m. induite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{induit,max}} = \frac{e_{\text{max}}}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • Valeur maximale de la f.é.m. induite (\(e_{\text{max}}\)) : \(\pi \, \text{V} \approx 3.14159 \, \text{V}\) (calculée à la Q6)
  • Résistance équivalente de la boucle (\(R_{\text{eq}}\)) : \(0.05 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{induit,max}} &= \frac{\pi \, \text{V}}{0.05 \, \text{Ω}} \\ &\approx \frac{3.14159}{0.05} \, \text{A} \\ &\approx 62.8318 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La valeur maximale estimée du courant induit est \(I_{\text{induit,max}} \approx 62.83 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 7 : Les courants de Foucault sont généralement plus intenses si la conductivité du matériau est :

Question 8 : Puissance moyenne (\(P_{\text{moy}}\)) dissipée

Principe :

Pour un courant sinusoïdal \(i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)\) traversant une résistance \(R_{\text{eq}}\), la puissance instantanée est \(p(t) = R_{\text{eq}} i(t)^2\). La puissance moyenne est \(P_{\text{moy}} = R_{\text{eq}} I_{\text{eff}}^2\), où \(I_{\text{eff}} = I_{\text{max}} / \sqrt{2}\). Donc, \(P_{\text{moy}} = R_{\text{eq}} \frac{I_{\text{max}}^2}{2}\), ou aussi \(P_{\text{moy}} = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R_{\text{eq}}} = \frac{(e_{\text{max}}/\sqrt{2})^2}{R_{\text{eq}}} = \frac{e_{\text{max}}^2}{2R_{\text{eq}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{moy}} = \frac{e_{\text{max}} \cdot I_{\text{induit,max}}}{2} \quad \text{ou} \quad P_{\text{moy}} = \frac{1}{2} R_{\text{eq}} I_{\text{induit,max}}^2 \quad \text{ou} \quad P_{\text{moy}} = \frac{e_{\text{max}}^2}{2 R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • \(e_{\text{max}} \approx 3.14159 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{induit,max}} \approx 62.8318 \, \text{A}\)
  • \(R_{\text{eq}} = 0.05 \, \text{Ω}\)
Calcul (en utilisant \(P_{\text{moy}} = \frac{1}{2} R_{\text{eq}} I_{\text{induit,max}}^2\)) :
\[ \begin{aligned} P_{\text{moy}} &= \frac{1}{2} \cdot 0.05 \, \text{Ω} \cdot (62.8318 \, \text{A})^2 \\ &= 0.025 \cdot 3947.84 \, \text{W} \\ &\approx 98.696 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification avec \(P_{\text{moy}} = \frac{e_{\text{max}}^2}{2 R_{\text{eq}}}\) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{moy}} &= \frac{(\pi \, \text{V})^2}{2 \cdot 0.05 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{\pi^2}{0.1} \, \text{W} \\ &\approx \frac{9.8696}{0.1} \, \text{W} \\ &\approx 98.696 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La puissance moyenne dissipée par effet Joule est \(P_{\text{moy}} \approx 98.7 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 8 : Les courants de Foucault sont responsables :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Faraday stipule qu'une f.é.m. est induite dans un circuit si :

2. Les courants de Foucault sont des courants induits qui :

3. La puissance dissipée par les courants de Foucault dans une plaque conductrice :

Glossaire

Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel décrivant l'influence magnétique sur les charges électriques en mouvement, les courants électriques et les matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
Mesure de la quantité totale de champ magnétique passant à travers une surface donnée. Unité : Weber (Wb).
Loi de Faraday (de l'induction)
Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui prédit comment un champ magnétique interagira avec un circuit électrique pour produire une force électromotrice (f.é.m.) — un phénomène appelé induction électromagnétique. \(e = - \frac{d\Phi_B}{dt}\).
Force Électromotrice Induite (f.é.m., \(e\))
Tension électrique produite dans un conducteur ou un circuit par une variation du flux magnétique à travers ce circuit, ou par le mouvement du conducteur dans un champ magnétique. Unité : Volt (V).
Courants de Foucault
Courants électriques créés dans une masse conductrice, soit par la variation au cours du temps d'un champ magnétique extérieur traversant ce conducteur (induction), soit par un déplacement de cette masse dans un champ magnétique. Ils sont une conséquence de la loi de Faraday.
Loi de Lenz
Principe qui stipule que les effets des courants induits s'opposent toujours à la cause qui leur a donné naissance (la variation du flux magnétique).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire d'un phénomène périodique, reliée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : Radian par seconde (rad/s).
Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur parcouru par un courant électrique, due à sa résistance.
Champ Magnétique Variable sur une Plaque Conductrice

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