Champ Magnétique Variable sur une Plaque
Contexte : L'induction électromagnétique.
Cet exercice porte sur un phénomène fondamental en électromagnétisme : l'induction. Lorsqu'une plaque conductrice est soumise à un champ magnétiqueRégion de l'espace où une force magnétique s'exerce. Il est créé par des charges électriques en mouvement (courants) ou des matériaux magnétiques. variable dans le temps, des courants électriques, appelés Courants de FoucaultBoucles de courant électrique induites dans un conducteur par un champ magnétique variable, conformément à la loi de Faraday-Lenz., sont générés à l'intérieur du matériau. Ces courants dissipent de l'énergie par effet Joule, ce qui provoque un échauffement de la plaque. Ce principe est à la base de nombreuses applications industrielles comme le chauffage par induction, les freins électromagnétiques ou les plaques de cuisson à induction.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi de Faraday pour quantifier les courants induits et la puissance dissipée, des compétences essentielles pour l'ingénieur en génie électrique.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi de Faraday-LenzLoi fondamentale qui stipule qu'un champ magnétique variable induit une force électromotrice (tension) dans un circuit, s'opposant à la variation de flux. dans un cas pratique.
- Calculer le Flux MagnétiqueMesure de la quantité de champ magnétique traversant une surface donnée. Son unité est le Weber (Wb). à travers une surface.
- Modéliser et calculer la force électromotrice (f.é.m.) et les courants induits.
- Estimer la puissance dissipée par effet Joule due aux courants de Foucault.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Plaque
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Matériau | Aluminium |
| Conductivité Électrique (\(\sigma\)) | \(3,77 \times 10^7 \, \text{S/m}\) |
| Perméabilité Magnétique Relative (\(\mu_r\)) | \(\approx 1\) (non magnétique) |
Schéma de la situation physique
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la plaque | \(L\) | 30 | cm |
| Largeur de la plaque | \(l\) | 20 | cm |
| Épaisseur de la plaque | \(e\) | 2 | mm |
| Amplitude du champ magnétique | \(B_0\) | 50 | mT |
| Fréquence du champ | \(f\) | 50 | Hz |
Questions à traiter
- Déterminer l'expression et la valeur maximale du flux magnétique \(\Phi(t)\) qui traverse la plaque.
- Calculer la force électromotrice (f.é.m.) induite \(e(t)\) le long du périmètre extérieur de la plaque. Quelle est sa valeur maximale \(E_{\text{max}}\) ?
- Pour simplifier, on modélise les courants de Foucault par une seule boucle de courant suivant le périmètre de la plaque. Estimer la résistance électrique \(R\) de cette boucle.
- En déduire l'expression du courant induit \(i(t)\) et calculer son amplitude maximale \(I_{\text{max}}\).
- Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans la plaque.
Les bases sur l'Induction Électromagnétique
L'induction électromagnétique est le phénomène qui produit une force électromotrice (une tension) dans un conducteur exposé à un flux magnétique variable. Ce principe est décrit par la loi de Faraday-Lenz.
1. Flux Magnétique (\(\Phi\))
Pour un champ magnétique \(\vec{B}\) uniforme et perpendiculaire à une surface plane \(S\), le flux est simplement le produit de l'intensité du champ et de l'aire de la surface.
\[ \Phi = B \cdot S \]
2. Loi de Faraday-Lenz
La force électromotrice \(e\) induite dans une boucle fermée est égale à l'opposé de la dérivée du flux magnétique qui la traverse par rapport au temps. Le signe "moins" (loi de Lenz) indique que le courant induit crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation du flux qui l'a engendré.
\[ e(t) = - \frac{d\Phi(t)}{dt} \]
3. Loi d'Ohm et Puissance Joule
Le courant \(i\) qui circule dans une boucle de résistance \(R\) soumise à une f.é.m. \(e\) est donné par la loi d'Ohm : \(i = e/R\). La puissance instantanée dissipée par effet Joule est \(P(t) = R \cdot i(t)^2\). Pour un courant sinusoïdal d'amplitude \(I_{\text{max}}\), la puissance moyenne est :
\[ \begin{aligned} P_{\text{moy}} &= R \cdot I_{\text{eff}}^2 \\ &= R \cdot \left(\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{2} R I_{\text{max}}^2 \end{aligned} \]
Correction : Champ Magnétique Variable sur une Plaque
Question 1 : Calcul du flux magnétique \(\Phi(t)\)
Principe
Le flux magnétique quantifie la "quantité" de champ magnétique traversant une surface. C'est le produit de l'intensité du champ magnétique par la surface qu'il traverse perpendiculairement. Comme le champ varie dans le temps, le flux varie aussi.
Mini-Cours
Le flux \(\Phi\) à travers une surface \(S\) est formellement défini par l'intégrale de surface : \(\Phi = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S}\). Dans notre cas, le champ \(\vec{B}\) est uniforme et perpendiculaire à la surface plane, l'intégrale se simplifie donc en un simple produit \(B \cdot S\).
Remarque Pédagogique
La première étape cruciale dans tout problème de physique est de bien identifier les grandeurs données et de les convertir dans le Système International (SI). Cela évite 90% des erreurs de calcul !
Normes
Cet exercice applique des lois fondamentales de la physique. Dans un contexte industriel, l'exposition aux champs magnétiques est réglementée par des normes comme celles de l'ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) pour la sécurité des personnes.
Formule(s)
Formule générale du flux
Données du problème
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Longueur | \(L\) | 30 | cm | Énoncé |
| Largeur | \(l\) | 20 | cm | Énoncé |
| Amplitude du champ | \(B_0\) | 50 | mT | Énoncé |
Astuces
Pour trouver la valeur maximale d'une fonction sinusoïdale comme \(\cos(\omega t)\), il suffit de prendre l'amplitude qui la multiplie, car la valeur maximale de \(\cos()\) est 1.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la situation physique
Calcul(s)
Conversion des dimensions
Calcul de la surface S
Expression littérale de \(\Phi(t)\)
Conversion de l'amplitude du champ B₀
Calcul de l'amplitude du flux \(\Phi_{\text{max}}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme montre la variation cosinusoïdale du flux magnétique dans le temps. Il oscille entre sa valeur maximale positive et négative à la pulsation \(\omega\).
Variation temporelle du flux \(\Phi(t)\)
Réflexions
Le résultat de 3 mWb (milliweber) est une valeur typique pour des applications à petite échelle. Comprendre comment ce flux varie est la clé pour comprendre l'induction qu'il va générer.
Points de vigilance
Attention aux unités ! Une erreur fréquente est d'oublier de convertir les centimètres en mètres (facteur \(10^{-2}\)) et les milliteslas en teslas (facteur \(10^{-3}\)).
Points à retenir
Pour un champ uniforme et perpendiculaire, retenir la formule simple : Flux = Champ × Surface. La nature temporelle du champ (cosinus) se transmet directement au flux.
Le saviez-vous ?
L'unité du flux magnétique, le Weber (Wb), est nommée en l'honneur du physicien allemand Wilhelm Eduard Weber. Il a développé, avec Carl Friedrich Gauss, le premier télégraphe électromagnétique.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(\Phi_{\text{max}}\) si l'amplitude du champ était de 80 mT ?
Question 2 : Calcul de la force électromotrice \(e(t)\)
Principe
La loi de Faraday-Lenz stipule qu'une variation de flux magnétique au cours du temps engendre une force électromotrice (f.é.m.), c'est-à-dire une tension. Mathématiquement, la f.é.m. est l'opposé de la dérivée temporelle du flux.
Mini-Cours
La f.é.m. \(e(t)\) représente le travail par unité de charge que fournirait la force électromagnétique si une charge parcourait la boucle. C'est le "moteur" qui va pousser les électrons à se mettre en mouvement et créer un courant.
Remarque Pédagogique
Souvenez-vous que la dérivation d'un cosinus donne un sinus (et inversement), ce qui introduit un déphasage de 90° (\(\pi/2\)) entre le flux et la f.é.m. induite. La tension est maximale lorsque le flux varie le plus vite, et non lorsqu'il est maximal.
Normes
La fréquence de 50 Hz est la norme pour les réseaux électriques en Europe. Les tensions induites par les champs à cette fréquence sont une préoccupation majeure en matière de compatibilité électromagnétique (CEM).
Formule(s)
Hypothèses
On calcule la f.é.m. le long d'une seule boucle qui suit le périmètre extérieur de la plaque, considérant que c'est là que l'effet est le plus simple à modéliser.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Amplitude du flux | \(\Phi_{\text{max}}\) | 0,003 | Wb | Calcul Q1 |
| Fréquence | \(f\) | 50 | Hz | Énoncé |
Astuces
La pulsation \(\omega\) est toujours \(2\pi f\). C'est un réflexe à avoir. La dérivée de \(\cos(\omega t)\) est \(-\omega\sin(\omega t)\). Le double signe "moins" de la loi de Lenz et de la dérivation donne un résultat positif.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma représente la boucle de courant virtuelle (en rouge) le long de laquelle on calcule la force électromotrice. La loi de Lenz (symbolisée par la main droite) indique que la f.é.m. va générer un courant créant un flux opposé à la variation du flux externe.
Boucle d'intégration pour la f.é.m.
Calcul(s)
Calcul de la pulsation \(\omega\)
Dérivation du flux
Calcul de l'amplitude \(E_{\text{max}}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme montre que la f.é.m. (en vert) est une sinusoïde déphasée de 90° (un quart de période) par rapport au flux (en bleu). Elle est maximale quand la pente du flux est la plus forte.
Déphasage entre Flux et f.é.m.
Réflexions
Près d'un volt est induit. C'est une tension faible, mais comme nous le verrons, la faible résistance de l'aluminium permettra à un courant très important de circuler.
Points de vigilance
Ne pas oublier le \(\omega\) qui sort lors de la dérivation de \(\cos(\omega t)\). Une erreur classique est de n'inverser que le cosinus en sinus.
Points à retenir
La f.é.m. est la dérivée du flux. Son amplitude dépend donc à la fois de l'amplitude du flux (\(\Phi_{\text{max}}\)) et de la rapidité de sa variation (la pulsation \(\omega\)).
Le saviez-vous ?
Michael Faraday, qui a découvert l'induction en 1831, était un scientifique largement autodidacte. Ses expériences, et non des calculs complexes, l'ont mené à ses découvertes révolutionnaires.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(E_{\text{max}}\) si la fréquence était de 60 Hz (norme américaine) ?
Question 3 : Estimation de la résistance de la boucle
Principe
On applique la seconde loi d'Ohm, qui relie la résistance d'un conducteur à ses dimensions (longueur, section) et à sa résistivité (l'inverse de la conductivité).
Mini-Cours
La résistance \(R\) mesure l'opposition d'un matériau au passage du courant. Elle est proportionnelle à la longueur \(P\) du chemin (plus c'est long, plus c'est dur) et inversement proportionnelle à la section \(A\) (plus c'est large, plus c'est facile). Le coefficient de proportionnalité est la résistivité \(\rho = 1/\sigma\).
Remarque Pédagogique
La principale difficulté ici est conceptuelle : comment définir la "section" d'un courant qui circule dans une plaque ? L'hypothèse d'une largeur efficace est une simplification nécessaire pour obtenir un ordre de grandeur.
Normes
Les valeurs de conductivité des matériaux sont standardisées, par exemple par la norme IEC 60028.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le courant se concentre dans une bande de largeur efficace \(w = l/4\) sur le pourtour de la plaque. C'est une approximation forte mais plausible pour une première estimation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Conductivité | \(\sigma\) | \(3,77 \times 10^7\) | S/m | Énoncé |
| Dimensions | L, l, e | 0.3, 0.2, 0.002 | m | Énoncé |
Astuces
Calculer l'inverse de la conductivité (\(\rho\)) en premier peut simplifier la notation. Pour l'aluminium, \(\rho \approx 2,65 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre une vue en coupe de l'arête de la plaque, illustrant la section \(A\) (en rouge) dans laquelle on suppose que le courant circule. Sa surface est le produit de l'épaisseur \(e\) et de la largeur efficace \(w\).
Section efficace de la boucle de courant
Calcul(s)
Calcul du périmètre P
Conversion de l'épaisseur e
Calcul de la largeur efficace w
Calcul de la section A de la boucle
Calcul de la résistance R
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la formule de la résistance. Il représente la "barre" de métal que constitue notre boucle de courant, de longueur P, de section A et faite d'un matériau de résistivité \(\rho\).
Modèle filaire de la résistance
Réflexions
La résistance obtenue (0,265 m\(\Omega\)) est très faible. C'est attendu pour un bloc de métal de bonne taille. C'est cette faible résistance qui va permettre à des courants très intenses de se développer.
Points de vigilance
L'estimation de la largeur efficace \(w\) est arbitraire. Un choix différent (ex: l/2 ou l/10) changerait le résultat final. C'est la limite de notre modèle simplifié. Des modèles plus avancés (éléments finis) sont nécessaires pour un calcul précis.
Points à retenir
La résistance dépend de la géométrie du chemin du courant. Pour réduire les courants de Foucault, on cherche à augmenter la résistance en allongeant le chemin (P) ou en réduisant la section (A), d'où l'idée de "feuilleter" les noyaux des transformateurs.
Le saviez-vous ?
Georg Ohm, qui a établi la loi \(U=RI\), a dû surmonter un grand scepticisme de la part de la communauté scientifique de son époque, qui considérait son approche trop simpliste. Sa loi n'a été largement acceptée que des années plus tard.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la résistance si on utilisait une plaque de cuivre (\(\sigma \approx 5,96 \times 10^7 \, \text{S/m}\)) ?
Question 4 : Calcul du courant induit \(i(t)\)
Principe
Avec la tension (la f.é.m.) et la résistance de la boucle, la loi d'Ohm nous donne directement le courant. C'est l'application la plus directe de cette loi.
Mini-Cours
La loi d'Ohm (\(i = e/R\)) est une loi macroscopique. Au niveau microscopique, elle est équivalente à la relation \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\), où \(\vec{j}\) est la densité de courant et \(\vec{E}\) le champ électrique. La f.é.m. induite crée un champ électrique dans le conducteur, qui met en mouvement les électrons, créant une densité de courant.
Remarque Pédagogique
Cette étape est une simple application numérique, mais elle est cruciale pour prendre conscience des ordres de grandeur. N'hésitez pas à vous arrêter sur le résultat et à vous demander s'il est "grand" ou "petit".
Normes
Les normes de conception des équipements électriques (moteurs, transformateurs) imposent des limites sur les courants de Foucault pour limiter les pertes et l'échauffement.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la loi d'Ohm s'applique parfaitement et que la résistance \(R\) calculée précédemment est correcte. On néglige l'auto-inductance de la boucle.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Amplitude F.é.m. | \(E_{\text{max}}\) | 0.942 | V | Calcul Q2 |
| Résistance | R | \(2,65 \times 10^{-4}\) | \(\Omega\) | Calcul Q3 |
Astuces
Lors d'une division avec des puissances de 10, soustrayez les exposants. Diviser par \(10^{-4}\) revient à multiplier par \(10^4\).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma représente le circuit électrique équivalent de notre boucle de Foucault : une source de tension sinusoïdale \(e(t)\) qui débite dans la résistance \(R\) de la boucle.
Circuit électrique équivalent
Calcul(s)
Calcul de l'amplitude du courant \(I_{\text{max}}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme montre que le courant \(i(t)\) (en rouge) est parfaitement en phase avec la f.é.m. \(e(t)\) (en vert). Ils atteignent leurs maxima et leurs zéros en même temps.
Phase du courant et de la f.é.m.
Réflexions
Un courant de plus de 3500 ampères est énorme ! C'est l'ordre de grandeur des courants dans les applications de soudage à l'arc ou dans les fours à induction industriels. Notre petite plaque est le siège d'un phénomène très puissant.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la valeur maximale de la f.é.m. (\(E_{\text{max}}\)) pour calculer la valeur maximale du courant (\(I_{\text{max}}\)), et non sa valeur efficace.
Points à retenir
Des tensions faibles peuvent générer des courants très forts dans des circuits à très faible résistance. C'est un principe clé en électrotechnique.
Le saviez-vous ?
Les freins électromagnétiques des camions et des trains fonctionnent sur ce principe. Un électroaimant induit des courants de Foucault massifs dans des disques métalliques solidaires des roues, ce qui dissipe l'énergie cinétique du véhicule en chaleur, le ralentissant sans aucune friction mécanique.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la f.é.m. de 1.13 V (à 60 Hz), quel serait le nouveau \(I_{\text{max}}\) ?
Question 5 : Calcul de la puissance moyenne dissipée
Principe
L'effet Joule est la conversion de l'énergie électrique en chaleur lorsque le courant traverse une résistance. La puissance dissipée est le produit de la résistance par le carré du courant.
Mini-Cours
Pour des grandeurs sinusoïdales, on utilise souvent les valeurs efficaces (RMS). \(I_{\text{eff}} = I_{\text{max}}/\sqrt{2}\). La puissance moyenne est alors simplement \(P_{\text{moy}} = R \cdot I_{\text{eff}}^2\). C'est la valeur de puissance "utile" pour le chauffage.
Remarque Pédagogique
Attention à ne pas confondre puissance instantanée \(P(t) = R \cdot i(t)^2\) (qui oscille) et puissance moyenne \(P_{\text{moy}}\) (qui est une constante). En génie électrique, c'est presque toujours la puissance moyenne qui nous intéresse.
Normes
Les normes d'efficacité énergétique (comme l'étiquette énergie européenne) visent à minimiser les pertes, y compris les pertes par courants de Foucault dans les moteurs et transformateurs.
Formule(s)
Hypothèses
Les valeurs de R et \(I_{\text{max}}\) sont supposées correctes, et on suppose que tout le système est en régime sinusoïdal établi.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Résistance | R | \(2,65 \times 10^{-4}\) | \(\Omega\) | Calcul Q3 |
| Amplitude Courant | \(I_{\text{max}}\) | 3555 | A | Calcul Q4 |
Astuces
On peut aussi calculer la puissance à partir de la tension : \(P_{\text{moy}} = E_{\text{eff}}^2 / R = (E_{\text{max}}^2/2)/R\). C'est une bonne manière de vérifier son calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le circuit équivalent est le même que pour la question précédente. On s'intéresse maintenant à la puissance (chaleur) dissipée par la résistance R.
Dissipation de Puissance dans le Circuit
Calcul(s)
Calcul de la puissance moyenne \(P_{\text{moy}}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme montre la puissance instantanée \(P(t)\) (en orange), qui oscille au double de la fréquence du réseau. Sa valeur moyenne \(P_{\text{moy}}\) (en rouge) est une constante positive, représentant la chaleur dégagée en continu.
Puissance instantanée et moyenne
Réflexions
1,7 kW, c'est la puissance d'une bouilloire. Toute cette énergie est transformée en chaleur dans la plaque d'aluminium. On comprend pourquoi il ne faut pas laisser d'objets métalliques sur une plaque à induction en fonctionnement !
Points de vigilance
Le facteur 1/2 est essentiel pour la puissance moyenne en régime sinusoïdal. L'oublier conduit à une erreur d'un facteur 2. Il vient de la valeur moyenne de \(\sin^2(\omega t)\) qui est 1/2.
Points à retenir
La puissance dissipée est proportionnelle au carré de la fréquence et au carré du champ magnétique (\(P \propto (f \cdot B_0)^2\)). C'est une relation très importante : doubler la fréquence quadruple la puissance de chauffage.
Le saviez-vous ?
Léon Foucault, qui a découvert ces courants en 1851, est plus célèbre pour son pendule qui a démontré la rotation de la Terre. Il a observé qu'un disque de cuivre en rotation entre les pôles d'un aimant s'échauffait et était freiné, découvrant ainsi les courants qui portent aujourd'hui son nom.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la puissance dissipée si l'épaisseur de la plaque était doublée (4 mm) ? (Attention, cela change R).
Outil Interactif : Simulateur d'Induction
Utilisez cet outil pour observer comment l'amplitude du champ magnétique (\(B_0\)) et sa fréquence (\(f\)) influencent la puissance dissipée dans la plaque.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la fréquence du champ magnétique, la puissance dissipée par effet Joule est :
2. La loi de Lenz implique que les courants de Foucault :
3. Pour réduire les courants de Foucault dans un noyau de transformateur, on utilise :
4. Si on remplace la plaque d'aluminium par une plaque de verre (isolant) de mêmes dimensions :
5. La f.é.m. induite \(e(t)\) est maximale lorsque :
- Courants de Foucault
- Boucles de courant électrique induites dans un corps conducteur par la variation temporelle d'un champ magnétique externe. Ils sont responsables de pertes d'énergie par effet Joule.
- Loi de Faraday-Lenz
- Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui décrit comment un champ magnétique variable induit une force électromotrice dans un circuit, générant un courant qui s'oppose à cette variation.
- Flux Magnétique
- Mesure du champ magnétique total qui traverse une surface donnée. Il s'exprime en Weber (Wb).
- Conductivité Électrique (\(\sigma\))
- Propriété d'un matériau à laisser passer le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité. Elle s'exprime en Siemens par mètre (S/m).
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