Puissance en régime sinusoïdal permanent

Principe :

La fréquence \(f\) d'une source alternative indique combien de cycles complets l'onde effectue par seconde (en Hertz, Hz). La pulsation angulaire \(\omega\) est une autre façon de décrire cette rapidité d'oscillation, mais en radians par seconde. Imaginez un point tournant sur un cercle ; \(\omega\) serait sa vitesse de rotation. Le lien entre les deux est \(\omega = 2\pi f\), car un cycle complet correspond à \(2\pi\) radians.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(f = 50 \, \text{Hz}\)

Calcul :

Principe :

Une bobine (inductance \(L\)) s'oppose aux variations rapides du courant qui la traverse. En courant alternatif, le courant change constamment, donc la bobine présente une forme d'"opposition" appelée réactance inductive \(X_L\). Cette opposition est d'autant plus grande que l'inductance \(L\) est élevée et que la fréquence (donc la pulsation \(\omega\)) du courant est élevée (le courant change plus vite). Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)), comme une résistance.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(L = 150 \, \text{mH} = 0.15 \, \text{H}\)
• \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)

Calcul :

Principe :

Un condensateur (capacité \(C\)) s'oppose aux variations rapides de la tension à ses bornes (il essaie de maintenir la tension constante). En courant alternatif, la tension change constamment. L'opposition du condensateur est appelée réactance capacitive \(X_C\). Contrairement à la bobine, cette opposition est d'autant plus faible que la capacité \(C\) est grande et que la fréquence (donc \(\omega\)) est élevée (le condensateur a moins de "temps" pour se charger et s'opposer). Elle se mesure aussi en Ohms (\(\Omega\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
• \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)

Calcul :

Principe :

En courant alternatif, l'opposition totale au passage du courant dans un circuit RLC n'est pas simplement la résistance. Elle est appelée impédance, notée \(\underline{Z}\). L'impédance prend en compte à la fois la résistance \(R\) (qui dissipe l'énergie) et les réactances \(X_L\) et \(X_C\) (qui stockent et restituent l'énergie). Comme les effets des réactances sont déphasés par rapport à la résistance, on utilise les nombres complexes pour représenter l'impédance. La partie réelle est la résistance \(R\), et la partie imaginaire est la réactance totale \(X = X_L - X_C\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R = 30 \, \Omega\)
• \(X_L \approx 47.1238 \, \Omega\)
• \(X_C \approx 31.8309 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

L'impédance complexe \(\underline{Z}\) peut être vue comme un vecteur dans un plan. Le module \(|Z|\) est la "longueur" de ce vecteur et représente l'amplitude de l'opposition totale au courant (similaire à la valeur de la résistance en DC). L'angle \(\phi_Z\) est l'angle que fait ce vecteur avec l'axe réel (l'axe des résistances) ; il représente le déphasage entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant total qui le traverse. Si \(\phi_Z\) est positif, le courant est en retard sur la tension (comportement inductif). S'il est négatif, le courant est en avance (comportement capacitif).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R = 30 \, \Omega\)
• \(X_L - X_C \approx 15.2929 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

En courant alternatif, on utilise souvent les valeurs efficaces (\(V_{\text{eff}}\), \(I_{\text{eff}}\)) car elles permettent d'utiliser des formules de puissance similaires à celles du courant continu. La valeur efficace d'un courant sinusoïdal est la valeur qu'aurait un courant continu qui produirait le même échauffement dans une résistance. Le courant efficace est calculé par la loi d'Ohm généralisée : \(I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{|Z|}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
• \(|Z| \approx 33.673 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

La puissance active \(P\) est la seule puissance qui est réellement "consommée" par le circuit et transformée en une autre forme d'énergie (comme la chaleur dans une résistance). Dans un circuit RLC, seule la résistance dissipe de la puissance active. Les bobines et condensateurs idéaux ne dissipent pas de puissance active en moyenne sur un cycle complet ; ils stockent de l'énergie puis la restituent. On peut la calculer avec le courant efficace et la résistance, ou avec les valeurs efficaces de tension et courant et le déphasage \(\phi_Z\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R = 30 \, \Omega\)
• \(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)
• \(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
• \(\phi_Z \approx 27.00^\circ\)

Calcul (Méthode 1) :

Calcul (Méthode 2 - Vérification) :

Principe :

La puissance réactive inductive \(Q_L\) représente l'énergie échangée avec le champ magnétique de la bobine. Elle est "consommée" par la bobine pendant une partie du cycle et "restituée" pendant une autre. Elle ne contribue pas au travail utile mais est nécessaire pour établir le champ magnétique. Elle se mesure en Volt-Ampères Réactifs (VAR).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(X_L \approx 47.1238 \, \Omega\)
• \(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

Principe :

La puissance réactive capacitive \(Q_C\) représente l'énergie échangée avec le champ électrique du condensateur. Par convention, elle est souvent considérée comme négative (ou "fournie" au circuit) pour indiquer qu'elle tend à compenser la puissance réactive inductive. Elle se mesure aussi en VAR.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(X_C \approx 31.8309 \, \Omega\)
• \(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

Principe :

La puissance réactive totale \(Q\) du circuit est la somme algébrique des puissances réactives de chaque composant. C'est la différence entre la puissance réactive inductive et la valeur absolue de la puissance réactive capacitive (ou simplement \(Q_L + Q_C\) en gardant le signe de \(Q_C\)). Un \(Q\) total positif indique un circuit globalement inductif, un \(Q\) négatif un circuit capacitif.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(Q_L \approx 598.35 \, \text{VAR}\)
• \(Q_C \approx -404.27 \, \text{VAR}\)

Calcul :

Principe :

La puissance apparente \(S\) est la puissance "totale" que la source semble fournir au circuit, sans tenir compte du déphasage. C'est le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Elle est importante pour dimensionner les câbles et les transformateurs. Elle se mesure en Volt-Ampères (VA).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
• \(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

Principe :

Le facteur de puissance (FP) indique quelle fraction de la puissance apparente est réellement convertie en puissance active. Il est égal au cosinus de l'angle de déphasage \(\phi_Z\) entre la tension et le courant. Un FP proche de 1 est souhaitable. "En retard" signifie que le courant est en retard sur la tension (circuit inductif), "en avance" signifie que le courant est en avance sur la tension (circuit capacitif).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\phi_Z \approx 27.00^\circ\)
• \(P \approx 380.958 \, \text{W}\)
• \(S \approx 427.62 \, \text{VA}\)

Calcul (avec \(\phi_Z\)) :

Calcul (avec P et S - Vérification) :

Puisque \(\phi_Z \approx 27.00^\circ > 0\) (ou \(X_L > X_C\), ou \(Q > 0\)), le circuit est inductif, donc le courant est en retard sur la tension.

Principe :

Le triangle des puissances est une représentation géométrique de la relation entre la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q\), et la puissance apparente \(S\). Elles sont liées par la relation pythagoricienne : \(S^2 = P^2 + Q^2\). Vérifier cette relation permet de s'assurer de la cohérence des calculs.

Formule(s) utilisée(s) :

Données calculées :

• \(P \approx 380.958 \, \text{W}\)
• \(Q \approx 194.08 \, \text{VAR}\)
• \(S \approx 427.62 \, \text{VA}\) (calculé à la question 11)

Calcul de vérification :

Cette valeur (\(427.546 \, \text{VA}\)) est très proche de la valeur de \(S\) calculée directement (\(427.62 \, \text{VA}\)). La petite différence est due aux arrondis cumulés au cours des calculs précédents.