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Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée

Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée

Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée

Comprendre le Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss est une loi fondamentale de l'électromagnétisme qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée (appelée surface de Gauss) à la charge électrique totale enfermée par cette surface. Ce théorème est particulièrement puissant pour calculer le champ électrique créé par des distributions de charges présentant un haut degré de symétrie (sphérique, cylindrique, plane). Pour une sphère uniformément chargée, la symétrie sphérique simplifie grandement l'application du théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère.

Données de l'étude

On considère une sphère non conductrice de rayon \(R\), portant une charge totale \(Q\) uniformément répartie dans tout son volume.

Caractéristiques de la sphère :

  • Charge totale de la sphère (\(Q\)) : \(+80 \, \text{nC}\)
  • Rayon de la sphère (\(R\)) : \(10 \, \text{cm}\)

Constante :

  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • \(k_0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Sphère Chargée et Surfaces de Gauss
Q R r < R E(r) r > R E(r) Sphère Chargée et Surfaces de Gauss

Sphère uniformément chargée de rayon R, avec des surfaces de Gauss sphériques de rayon r (une à l'intérieur, une à l'extérieur).

Questions à traiter

  1. Énoncer le théorème de Gauss sous sa forme intégrale, en expliquant chaque terme.
  2. Calculer la densité de charge volumique (\(\rho\)) de la sphère.
  3. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression du module du champ électrique \(E(r)\) pour \(r < R\) (à l'intérieur de la sphère).
  4. Calculer la valeur de \(E\) à une distance \(r_1 = 5 \, \text{cm}\) du centre.
  5. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression du module du champ électrique \(E(r)\) pour \(r > R\) (à l'extérieur de la sphère).
  6. Calculer la valeur de \(E\) à une distance \(r_2 = 20 \, \text{cm}\) du centre.
  7. Que vaut le champ électrique à la surface de la sphère (\(r=R\)) ? Vérifier la continuité des expressions trouvées.

Correction : Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée

Question 1 : Énoncé du théorème de Gauss

Principe :

Le théorème de Gauss relie le flux du champ électrique \(\vec{E}\) à travers une surface fermée \(S\) (appelée surface de Gauss) à la charge totale \(Q_{int}\) enfermée par cette surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\]

Où :

  • \(\oint_S\) représente l'intégrale sur la surface fermée \(S\).
  • \(\vec{E}\) est le vecteur champ électrique.
  • \(d\vec{S}\) est un vecteur élément de surface, orienté vers l'extérieur de la surface fermée.
  • \(Q_{int}\) est la charge électrique totale contenue à l'intérieur de la surface de Gauss \(S\).
  • \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide.
Le terme de gauche est le flux du champ électrique \(\Phi_E\) à travers la surface \(S\).

Résultat Question 1 : Le théorème de Gauss s'écrit \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\).

Question 2 : Densité de charge volumique (\(\rho\))

Principe :

La charge \(Q\) est uniformément répartie dans le volume \(V_{sphere}\) de la sphère. La densité de charge volumique \(\rho\) est donc la charge totale divisée par le volume total de la sphère.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3\] \[\rho = \frac{Q}{V_{sphere}}\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Charge totale (\(Q\)) : \(+80 \, \text{nC} = +80 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Rayon de la sphère (\(R\)) : \(10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{sphere} &= \frac{4}{3}\pi (0.10 \, \text{m})^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi (0.001 \, \text{m}^3) \\ &\approx \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 0.001 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.00418879 \, \text{m}^3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \rho &= \frac{80 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0.00418879 \, \text{m}^3} \\ &\approx 19098.59 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^3 \\ &\approx 1.9099 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La densité de charge volumique est \(\rho \approx 1.91 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une sphère uniformément chargée double, et que la charge totale reste la même, la densité de charge volumique :

Question 3 : Champ électrique \(E(r)\) pour \(r < R\)

Principe :

On choisit une surface de Gauss sphérique de rayon \(r < R\), concentrique avec la sphère chargée. En raison de la symétrie sphérique, le champ électrique \(\vec{E}\) est radial et sa magnitude \(E\) est constante sur cette surface. Le flux est \(\Phi_E = E \cdot (4\pi r^2)\). La charge enfermée \(Q_{int}\) est la densité de charge \(\rho\) multipliée par le volume de la surface de Gauss.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{int} = \rho \cdot V_{Gauss} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\] \[E \cdot (4\pi r^2) = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\] \[\Rightarrow E(r) = \frac{Q_{int}}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi\epsilon_0 r^2}\]
Données spécifiques :
  • \(\rho \approx 1.9099 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3\)
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Calcul de l'expression de \(E(r)\) :
\[ \begin{aligned} E(r) &= \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi\epsilon_0 r^2} \\ &= \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \end{aligned} \]

On peut aussi exprimer \(Q_{int}\) en fonction de \(Q\) et \(R\) : \(Q_{int} = Q \left(\frac{r}{R}\right)^3\).

\[ \begin{aligned} E(r) &= k_0 \frac{Q_{int}}{r^2} \\ &= k_0 \frac{Q (r/R)^3}{r^2} \\ &= k_0 \frac{Q r}{R^3} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'expression du module du champ électrique pour \(r < R\) est \(E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}\) ou \(E(r) = k_0 \frac{Q r}{R^3}\).

Question 4 : Valeur de \(E\) à \(r_1 = 5 \, \text{cm}\)

Principe :

On utilise l'expression de \(E(r)\) pour \(r < R\) trouvée précédemment, avec \(r = r_1\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(r_1 = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(\rho \approx 1.9099 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3\)
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Alternativement : \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\), \(Q = 80 \times 10^{-9} \, \text{C}\), \(R = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul (en utilisant \(E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}\)) :
\[ \begin{aligned} E(r_1) &= \frac{(1.9099 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3) \times (0.05 \, \text{m})}{3 \times (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m})} \\ &= \frac{0.95495 \times 10^{-6}}{26.562 \times 10^{-12}} \, \text{N/C} \\ &\approx 0.03595 \times 10^6 \, \text{N/C} \\ &\approx 35950 \, \text{N/C} \quad (\text{ou } 35.95 \, \text{kV/m}) \end{aligned} \]

Calcul (en utilisant \(E(r) = k_0 \frac{Q r}{R^3}\)) :

\[ \begin{aligned} E(r_1) &= (9 \times 10^9) \frac{(80 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (0.05 \, \text{m})}{(0.10 \, \text{m})^3} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{4 \times 10^{-9}}{0.001} \\ &= \frac{36}{0.001} \, \text{N/C} \\ &= 36000 \, \text{N/C} \quad (\text{ou } 36 \, \text{kV/m}) \end{aligned} \]

La légère différence est due aux arrondis de \(\rho\).

Résultat Question 4 : Le champ électrique à \(r_1 = 5 \, \text{cm}\) est \(E(r_1) \approx 36000 \, \text{N/C}\).

Question 5 : Champ électrique \(E(r)\) pour \(r > R\)

Principe :

On choisit une surface de Gauss sphérique de rayon \(r > R\). La charge totale enfermée \(Q_{int}\) est la charge totale de la sphère, \(Q\). Le flux est toujours \(\Phi_E = E \cdot (4\pi r^2)\). Le champ à l'extérieur d'une sphère uniformément chargée est le même que si toute la charge était concentrée en son centre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{int} = Q\] \[E \cdot (4\pi r^2) = \frac{Q}{\epsilon_0}\] \[\Rightarrow E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} = k_0 \frac{Q}{r^2}\]
Résultat Question 5 : L'expression du module du champ électrique pour \(r > R\) est \(E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\) ou \(E(r) = k_0 \frac{Q}{r^2}\).

Quiz Intermédiaire 2 : À l'extérieur d'une sphère uniformément chargée, le champ électrique :

Question 6 : Valeur de \(E\) à \(r_2 = 20 \, \text{cm}\)

Principe :

On utilise l'expression de \(E(r)\) pour \(r > R\) trouvée précédemment, avec \(r = r_2\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(r_2 = 20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m}\)
  • \(Q = 80 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E(r_2) &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{80 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0.20 \, \text{m})^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{80 \times 10^{-9}}{0.04} \\ &= \frac{720}{0.04} \, \text{N/C} \\ &= 18000 \, \text{N/C} \quad (\text{ou } 18 \, \text{kV/m}) \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le champ électrique à \(r_2 = 20 \, \text{cm}\) est \(E(r_2) = 18000 \, \text{N/C}\).

Question 7 : Champ électrique à la surface (\(r=R\))

Principe :

On peut utiliser l'une ou l'autre des expressions (pour \(r < R\) ou \(r > R\)) en posant \(r=R\). Les deux expressions doivent donner le même résultat à la surface pour assurer la continuité (ce qui est attendu pour une distribution volumique).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(R = 10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
  • \(Q = 80 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(\rho \approx 1.9099 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3\)
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Calcul :

En utilisant l'expression pour \(r < R\): \(E(R) = k_0 \frac{Q R}{R^3} = k_0 \frac{Q}{R^2}\)

\[ \begin{aligned} E(R) &= (9 \times 10^9) \frac{80 \times 10^{-9}}{(0.10)^2} \\ &= \frac{720}{0.01} \\ &= 72000 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

En utilisant l'expression pour \(r > R\): \(E(R) = k_0 \frac{Q}{R^2}\)

\[ \begin{aligned} E(R) &= (9 \times 10^9) \frac{80 \times 10^{-9}}{(0.10)^2} \\ &= 72000 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Les deux expressions donnent le même résultat, ce qui est attendu.

Résultat Question 7 : Le champ électrique à la surface de la sphère est \(E(R) = 72000 \, \text{N/C}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le théorème de Gauss est particulièrement utile pour calculer le champ électrique lorsque :

2. À l'intérieur d'une sphère uniformément chargée en volume (pour \(r < R\)), le champ électrique :

3. La charge enfermée par une surface de Gauss sphérique de rayon \(r < R\) à l'intérieur d'une sphère de rayon \(R\) uniformément chargée en volume avec une charge totale \(Q\) est :

Glossaire

Théorème de Gauss
Loi fondamentale de l'électrostatique qui établit une relation entre le flux du champ électrique à travers une surface fermée et la charge électrique nette enfermée par cette surface.
Flux Électrique (\(\Phi_E\))
Mesure du nombre de lignes de champ électrique traversant une surface donnée. \(\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S}\).
Surface de Gauss
Surface fermée imaginaire utilisée dans l'application du théorème de Gauss pour calculer le champ électrique.
Charge Enfermée (\(Q_{int}\))
Charge électrique totale contenue à l'intérieur d'une surface de Gauss.
Densité de Charge Volumique (\(\rho\))
Charge électrique par unité de volume. Unité SI : Coulomb par mètre cube (\(\text{C/m}^3\)).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique.
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel qui décrit la force électrostatique exercée sur une charge d'essai positive. Unité SI : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Symétrie Sphérique
Distribution de charge qui ne dépend que de la distance radiale par rapport à un point central.
Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée

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