Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Contexte : Le Circuit CombinéAussi appelé circuit mixte, il s'agit d'un agencement de composants électriques comportant à la fois des branches en série et des branches en parallèle..

Cet exercice porte sur l'analyse d'un circuit électrique DC (courant continu) de base. Nous allons étudier un circuit combiné, qui est une topologie fondamentale en électrocinétique. Il est composé d'une source de tension, d'une résistance en série (R1), et d'un bloc de deux résistances en parallèle (R2 et R3). L'objectif est de décomposer le problème pour trouver la résistance équivalente totale, le courant total, et enfin la distribution des courants et des tensions dans chaque branche, en appliquant méthodiquement la Loi d'OhmPrincipe physique fondamental (V = R * I) qui lie la tension (V) aux bornes d'un composant, sa résistance (R) et le courant (I) qui le traverse. et les lois de Kirchhoff.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il combine les deux configurations de base (série et parallèle) en un seul problème. Maîtriser cette analyse "par blocs" est la clé pour pouvoir, par la suite, analyser des circuits beaucoup plus complexes.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la résistance équivalente d'un groupe de résistances en parallèle.
Calculer la résistance équivalente totale d'un circuit combiné (série-parallèle).
Appliquer la loi d'Ohm pour déterminer le courant total à partir de la tension source.
Utiliser la loi d'Ohm pour trouver la chute de tension aux bornes d'un composant.
Appliquer la loi des nœuds de Kirchhoff (ou la loi d'Ohm) pour déterminer la distribution des courants dans des branches parallèles.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{source}}\). Il est composé d'une résistance \(R_1\) placée en série avec un bloc parallèle contenant \(R_2\) et \(R_3\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Topologie	Série-Parallèle (Combiné / Mixte)
Composants	Source de tension DC, Résistances
Objectif de l'analyse	Calcul des courants et tensions (Régime continu)

Schéma du Circuit Électrique

[Nom du Paramètre]	[Symbole]	[Valeur]	[Unité]
Tension de la Source	\(V_{\text{source}}\)	12	Volts (V)
Résistance 1	\(R_1\)	2	Ohms (Ω)
Résistance 2	\(R_2\)	6	Ohms (Ω)
Résistance 3	\(R_3\)	3	Ohms (Ω)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente (\(R_p\)) de la branche parallèle (composée de \(R_2\) et \(R_3\)).
Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{eq}\)) du circuit complet.
Déterminer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source de tension.
Calculer la tension (\(V_p\)) aux bornes de la branche parallèle (c'est-à-dire aux bornes de \(R_2\) et \(R_3\)).
Calculer les courants \(I_{R2}\) et \(I_{R3}\) traversant respectivement les résistances \(R_2\) et \(R_3\).

Les bases de l'Électrocinétique

Pour résoudre cet exercice, trois concepts clés de l'électricité en régime continu sont nécessaires : la loi d'Ohm, et les lois d'association des résistances (série et parallèle), qui découlent des lois de Kirchhoff.

1. Loi d'Ohm
La relation fondamentale qui lie la tension (V, en Volts), le courant (I, en Ampères) et la résistance (R, en Ohms) pour un composant passif est : \[ V = R \times I \] On peut la réarranger pour trouver le courant (\(I = V / R\)) ou la résistance (\(R = V / I\)).

2. Association de Résistances en Parallèle
Lorsque deux (ou plus) résistances sont en parallèle, la tension à leurs bornes est identique. La résistance équivalente \(R_p\) est calculée par : \[ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \] Pour deux résistances, on utilise souvent la formule simplifiée : \[ R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \]

3. Association de Résistances en Série
Lorsque des résistances sont en série, elles sont traversées par le même courant. Leur résistance équivalente \(R_{eq}\) est simplement la somme de leurs résistances individuelles : \[ R_{eq} = R_1 + R_p \]

4. Loi des Nœuds (1ère Loi de Kirchhoff)
En tout nœud (point de jonction) d'un circuit, la somme des courants qui y entrent est égale à la somme des courants qui en sortent. Dans notre cas : \[ I_{\text{total}} = I_{R2} + I_{R3} \]

Correction : Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Question 1 : Calculer la résistance équivalente (\(R_p\)) de la branche parallèle

Principe

Pour trouver la résistance équivalente de la branche parallèle, nous devons combiner \(R_2\) et \(R_3\) en utilisant la formule d'association en parallèle. Cela nous permet de simplifier le circuit en remplaçant ces deux composants par une seule résistance fictive \(R_p\).

Mini-Cours

Lorsque des composants sont en parallèle, ils sont connectés aux deux mêmes nœuds (points de jonction). La conséquence principale est que la tension à leurs bornes est identique. Le courant total qui arrive au premier nœud se divise pour passer dans les différentes branches.

Remarque Pédagogique

Pensez à "réduire" le circuit bloc par bloc. L'analyse des circuits complexes se fait presque toujours en commençant par les plus petits blocs (ici, le bloc parallèle) et en remontant vers la source.

Normes

Il n'y a pas de "norme" à proprement parler pour ce calcul, mais il découle directement des lois de Kirchhoff. Nous utilisons les conventions de la Commission Électrotechnique Internationale (CEI) pour les symboles (rectangles pour les résistances).

Formule(s)

Pour deux résistances en parallèle, la formule générale \(1/R_p = 1/R_2 + 1/R_3\) peut être réarrangée sous la forme "Produit sur Somme", plus directe :

R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}

Hypothèses

Pour ce calcul (et pour tout l'exercice), nous posons les hypothèses de base de l'électrocinétique :

Les résistances sont pures (idéales, valeur constante).
Les fils de connexion ont une résistance nulle (ce sont des courts-circuits parfaits).
Le circuit est en régime continu (DC), les valeurs ne changent pas dans le temps.

Donnée(s)

Pour ce calcul, nous avons besoin des valeurs de \(R_2\) et \(R_3\), qui proviennent directement de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Résistance 2	\(R_2\)	6 Ω	Énoncé
Résistance 3	\(R_3\)	3 Ω	Énoncé

Astuces

Pour deux résistances identiques en parallèle (ex: 10Ω et 10Ω), la résistance équivalente est simplement la moitié (5Ω). La formule "Produit sur Somme" est un raccourci très utile à mémoriser pour deux résistances.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur le bloc parallèle, isolé du reste du circuit.

Bloc Parallèle (R2 || R3)

Calcul(s)

Nous commençons par poser la formule littérale (l'équation avec les lettres) avant de remplacer par les valeurs.

Étape 1 : Formule de la résistance parallèle

R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}

Étape 2 : Application numérique

On remplace \(R_2\) par 6 (venant de l'énoncé) et \(R_3\) par 3 (venant de l'énoncé) :

\begin{aligned} R_p &= \frac{6 \, \Omega \times 3 \, \Omega}{6 \, \Omega + 3 \, \Omega} \\ R_p &= \frac{18 \, \Omega^2}{9 \, \Omega} \\ \Rightarrow R_p &= 2 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bloc parallèle (R2 || R3) peut maintenant être remplacé par une seule résistance \(R_p\).

Bloc Équivalent (Rp)

Réflexions

La résistance équivalente d'un groupe en parallèle est toujours plus petite que la plus petite des résistances du groupe. Ici, \(R_p = 2 \, \Omega\), ce qui est bien inférieur à \(R_3 = 3 \, \Omega\) (la plus petite). C'est une bonne première vérification.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser la formule \(1/R_p = 1/R_2 + 1/R_3\) et d'oublier de prendre l'inverse à la fin ! Exemple : \(1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 0.5\). Si on oublie d'inverser, on obtient 0.5 Ω. La bonne réponse est \(R_p = 1 / 0.5 = 2 \, \Omega\). La formule "Produit sur Somme" évite cet écueil.

Points à retenir

L'association en parallèle réduit la résistance globale car elle offre "plus de chemins" au courant pour circuler.

Le saviez-vous ?

En électricité, on parle parfois de conductance, notée \(G\), qui est l'inverse de la résistance (\(G = 1/R\)). L'avantage est que pour les branches parallèles, les conductances s'ajoutent simplement : \(G_p = G_2 + G_3\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Résultat Final

La résistance équivalente de la branche parallèle (\(R_p\)) est de 2 Ω.

A vous de jouer

Quelle serait la résistance équivalente \(R_p\) si \(R_2\) et \(R_3\) valaient toutes les deux 10 Ω ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept : Association parallèle.
Formule : \(R_p = (R_2 \times R_3) / (R_2 + R_3)\).
Résultat : \(R_p = 2 \, \Omega\).

Question 2 : Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{eq}\)) du circuit

Principe

Maintenant que nous avons remplacé \(R_2\) et \(R_3\) par leur équivalent \(R_p\), le circuit est simplifié. Il ne reste plus que \(R_1\) et \(R_p\) branchées en série. Il suffit de les additionner pour trouver la résistance totale "vue" par la source.

Mini-Cours

Lorsque des composants sont en série, ils sont connectés "à la queue leu leu", les uns après les autres. La conséquence principale est que le même courant les traverse tous.

Remarque Pédagogique

Après la réduction parallèle de l'étape 1, le circuit est devenu un simple circuit série à deux composants. C'est l'étape finale de la simplification.

Normes

Ce calcul découle de la Loi des Mailles de KirchhoffLa somme algébrique des tensions dans n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est nulle. C'est la conservation de l'énergie.. En effet, la loi des mailles stipule que la tension totale de la source se divise entre les éléments en série (\(V_{\text{source}} = V_{R1} + V_p\)). En appliquant la loi d'Ohm (\(V = R \times I\)), on a \(R_{eq} \times I_{\text{total}} = (R_1 \times I_{\text{total}}) + (R_p \times I_{\text{total}})\). En simplifiant par \(I_{\text{total}}\), on retrouve bien \(R_{eq} = R_1 + R_p\). C'est la justification théorique de l'addition des résistances en série.

Formule(s)

Pour des résistances en série, la formule est :

R_{eq} = R_1 + R_p

Hypothèses

Nous considérons le bloc \(R_p\) (calculé en Q1) comme un composant unique, placé en série avec \(R_1\).

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de \(R_1\) (provenant de l'énoncé) et la valeur de \(R_p\) (provenant du résultat de la Question 1).

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Résistance 1	\(R_1\)	2 Ω	Énoncé
Résistance parallèle	\(R_p\)	2 Ω	Calcul Q1

Astuces

L'addition des résistances en série est simple, mais vérifiez que vous additionnez bien les bonnes valeurs ! Ici, c'est \(R_1\) et \(R_p\), pas \(R_1\) et \(R_2\) ou \(R_3\).

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit simplifié que nous analysons à cette étape.

Circuit Simplifié (R1 + Rp)

Calcul(s)

De même, on pose la formule littérale avant l'application numérique.

Étape 1 : Formule de la résistance série

R_{eq} = R_1 + R_p

Étape 2 : Application numérique

On remplace \(R_1\) par 2 (venant de l'énoncé) et \(R_p\) par 2 (venant du calcul Q1) :

\begin{aligned} R_{eq} &= 2 \, \Omega + 2 \, \Omega \\ \Rightarrow R_{eq} &= 4 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le circuit est maintenant réduit à sa forme la plus simple : une source et une résistance équivalente.

Circuit Équivalent Total (Req)

Réflexions

La résistance totale "vue" par la source est de 4 Ω. Il est logique qu'elle soit supérieure à \(R_1\) (2 Ω) et \(R_p\) (2 Ω) individuellement, car l'association en série augmente toujours la résistance.

Points de vigilance

Ne jamais additionner toutes les résistances (\(R_1 + R_2 + R_3\)). C'est une erreur très fréquente. Les résistances en parallèle ne s'additionnent pas comme celles en série.

Points à retenir

L'association en série est une simple addition. \(R_{\text{série}} = R_a + R_b + ...\)

Le saviez-vous ?

Cette méthode "réduction de circuit" est la base de l'analyse. Une fois que l'on a \(R_{eq}\), on peut trouver \(I_{\text{total}}\). Puis, en "remontant" le circuit, on trouve toutes les tensions et courants intermédiaires, ce que nous allons faire.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La résistance équivalente totale (\(R_{eq}\)) du circuit est de 4 Ω.

A vous de jouer

Si \(R_1\) valait 5 Ω et que la branche parallèle \(R_p\) valait 10 Ω, quelle serait la résistance totale \(R_{eq}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept : Association série.
Formule : \(R_{eq} = R_1 + R_p\).
Résultat : \(R_{eq} = 4 \, \Omega\).

Question 3 : Déterminer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source

Principe

Grâce à la \(R_{eq}\), nous connaissons maintenant la résistance "vue" par la source de tension. En appliquant la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit (Source + \(R_{eq}\)), nous pouvons trouver le courant total que la source doit fournir.

Mini-Cours

La Loi d'OhmPrincipe physique fondamental (V = R * I) qui lie la tension (V) aux bornes d'un composant, sa résistance (R) et le courant (I) qui le traverse. est la relation la plus importante en électricité. \(V = R \times I\). Pour trouver le courant (\(I\)), on la réarrange : \(I = V / R\). Pour trouver la résistance (\(R\)), on fait \(R = V / I\).

Remarque Pédagogique

C'est l'application la plus fondamentale de la loi d'Ohm. Nous avons la tension totale (\(V_{\text{source}}\)) et la résistance totale (\(R_{eq}\)), nous pouvons donc trouver le courant total (\(I_{\text{total}}\)).

Normes

Nous utilisons la convention générateur pour la source (le courant sort de la borne +) et la convention récepteur pour les résistances (le courant entre par la borne + de la tension à ses bornes).

Formule(s)

La loi d'Ohm réarrangée pour trouver le courant est :

I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{eq}}

Hypothèses

Nous supposons que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de résistance interne propre. Elle fournit 12 V peu importe le courant demandé.

Donnée(s)

Nous utilisons la tension de la source (provenant de l'énoncé) et la résistance totale (provenant du résultat de la Question 2).

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Tension Source	\(V_{\text{source}}\)	12 V	Énoncé
Résistance totale	\(R_{eq}\)	4 Ω	Calcul Q2

Astuces

Vérifiez toujours les unités : (Volts) / (Ohms) donne bien des (Ampères). Si vous avez des kΩ ou des mA, les conversions sont cruciales !

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit équivalent total sur lequel nous appliquons la loi d'Ohm.

Application de la Loi d'Ohm Globale

Calcul(s)

On applique la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit équivalent.

Étape 1 : Formule de la Loi d'Ohm

I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{eq}}

Étape 2 : Application numérique

On remplace \(V_{\text{source}}\) par 12 (venant de l'énoncé) et \(R_{eq}\) par 4 (venant du calcul Q2) :

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12 \, V}{4 \, \Omega} \\ \Rightarrow I_{\text{total}} &= 3 \, A \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Nous avons trouvé la valeur du courant total.

Réflexions

Ce courant de 3 Ampères est le courant qui sort de la borne positive de la source, traverse \(R_1\), puis se divise au niveau du nœud avant les branches parallèles.

Points de vigilance

Pour trouver le courant *total*, il faut *toujours* utiliser la tension *totale* (\(V_{\text{source}}\)) et la résistance *totale* (\(R_{eq}\)). N'utilisez pas \(R_1\) ou \(R_p\) ici !

Points à retenir

Le courant total \(I_{\text{total}}\) est le même courant qui traverse la première résistance série \(R_1\). Donc, \(I_{R1} = I_{\text{total}} = 3 \, A\). C'est une information cruciale pour l'étape suivante.

Le saviez-vous ?

Georg Ohm, un physicien allemand, a établi cette loi fondamentale (V=RI) expérimentalement en 1827. Il a fait face à beaucoup de scepticisme de la part de ses contemporains avant que son travail ne soit finalement reconnu.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source est de 3 A.

A vous de jouer

Si la tension source était de 24 V et la résistance totale \(R_{eq}\) toujours de 4 Ω, quel serait le courant total ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept : Loi d'Ohm globale.
Formule : \(I = V / R\).
Résultat : \(I_{\text{total}} = 3 \, A\).

Question 4 : Calculer la tension (\(V_p\)) aux bornes de la branche parallèle

Principe

Cette tension \(V_p\) est la tension aux bornes du bloc parallèle (donc aux bornes de \(R_p\)). Puisque nous connaissons le courant total \(I_{\text{total}}\) qui traverse ce bloc (avant de se diviser), nous pouvons utiliser la loi d'Ohm sur \(R_p\). C'est ce qu'on appelle une "chute de tension".

Mini-Cours

La Loi des MaillesLa somme algébrique des tensions dans n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est nulle. C'est la conservation de l'énergie. (2e loi de Kirchhoff) stipule que la tension fournie par la source (\(V_{\text{source}}\)) est égale à la somme des chutes de tension à travers les composants en série. Ici : \(V_{\text{source}} = V_{R1} + V_p\).

Remarque Pédagogique

Il y a deux méthodes principales, et c'est une bonne pratique de les connaître.
1. Calculer \(V_p\) directement avec \(I_{\text{total}}\) et \(R_p\).
2. Calculer d'abord la chute de tension sur \(R_1\) (\(V_{R1}\)), puis la soustraire de la source (\(V_p = V_{\text{source}} - V_{R1}\)).
Faire les deux est une excellente vérification !

Normes

Ce calcul est une application directe de la Loi des Mailles de KirchhoffLa somme algébrique des tensions dans n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est nulle. C'est la conservation de l'énergie.. La loi dit que la somme des tensions dans la boucle principale est nulle : \(+V_{\text{source}} - V_{R1} - V_p = 0\). En réarrangeant cette équation, on obtient la formule de la Méthode 2 : \(V_p = V_{\text{source}} - V_{R1}\). C'est un principe fondamental de la conservation de l'énergie : la tension fournie par la source est entièrement "consommée" par les résistances de la boucle.

Formule(s)

Méthode 1 (Loi d'Ohm sur \(R_p\)) :

V_p = R_p \times I_{\text{total}}

Méthode 2 (Loi des Mailles) :

V_{R1} = R_1 \times I_{\text{total}} \quad \text{puis} \quad V_p = V_{\text{source}} - V_{R1}

Hypothèses

Nous utilisons le fait que le courant \(I_{\text{total}}\) (3 A) traverse entièrement le bloc \(R_p\) (2 Ω). Le courant ne s'est pas *encore* divisé.

Donnée(s)

Pour la Méthode 1 (plus simple), nous avons besoin de \(R_p\) (calcul Q1) et \(I_{\text{total}}\) (calcul Q3) :

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Résistance parallèle	\(R_p\)	2 Ω	Calcul Q1
Courant total	\(I_{\text{total}}\)	3 A	Calcul Q3

Astuces

La Méthode 2 (vérification) est très intuitive : La source donne 12 V. La résistance \(R_1\) (2 Ω) est traversée par 3 A, elle "consomme" donc \(V_{R1} = 2 \times 3 = 6 \, V\). Que reste-t-il pour le reste du circuit (le bloc \(R_p\)) ? Il reste \(12 \, V - 6 \, V = 6 \, V\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la loi des mailles. La tension de la source se partage.

Loi des Mailles (Vsource = V_R1 + Vp)

Calcul(s)

Nous allons montrer les deux méthodes qui ont été présentées.

Méthode 1 : Loi d'Ohm sur \(R_p\)

On utilise la formule \(V = R \times I\) sur le bloc parallèle.

V_p = R_p \times I_{\text{total}}

On remplace \(R_p\) (calcul Q1) par 2 Ω et \(I_{\text{total}}\) (calcul Q3) par 3 A :

\begin{aligned} V_p &= 2 \, \Omega \times 3 \, A \\ \Rightarrow V_p &= 6 \, V \end{aligned}

Méthode 2 : Loi des Mailles (Vérification)

Étape 2a : On calcule d'abord la tension perdue dans \(R_1\) (valeur de l'énoncé) avec \(I_{\text{total}}\) (calcul Q3).

V_{R1} = R_1 \times I_{\text{total}}

V_{R1} = 2 \, \Omega \times 3 \, A = 6 \, V

Étape 2b : On soustrait cette tension de la \(V_{\text{source}}\) (valeur de l'énoncé).

V_p = V_{\text{source}} - V_{R1}

V_p = 12 \, V - 6 \, V = 6 \, V

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

Le partage de la tension est maintenant connu.

Réflexions

Nous avons vérifié ce résultat : \(V_{\text{source}} = V_{R1} + V_p\). On a bien \(12 \, V = (R_1 \times I_{\text{total}}) + V_p = (2 \, \Omega \times 3 \, A) + 6 \, V = 6 \, V + 6 \, V\). Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

Ne pas utiliser \(V_{\text{source}}\) (12 V) pour calculer les courants de branche à l'étape suivante ! La tension aux bornes des branches parallèles est \(V_p\) (6 V), car \(R_1\) a déjà "pris" 6 V.

Points à retenir

La tension \(V_p = 6 \, V\) est la tension qui s'applique à la fois aux bornes de \(R_2\) ET aux bornes de \(R_3\), car elles sont en parallèle.

Le saviez-vous ?

Le fait que \(V_{R1} = V_p\) (6V = 6V) est une pure coïncidence dans cet exercice, due au fait que \(R_1 = R_p\) (2Ω = 2Ω). La tension se partage équitablement. Si \(R_1\) avait été différent, les tensions auraient été différentes.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La tension aux bornes de la branche parallèle (\(V_p\)) est de 6 V.

A vous de jouer

Avec \(V_{\text{source}}=12V\), si \(R_1=1\,\Omega\) et \(R_p=3\,\Omega\). (Req=4Ω, I_total=3A). Quelle serait la tension \(V_p\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept : Chute de tension (Loi d'Ohm) / Loi des Mailles.
Formule : \(V_p = R_p \times I_{\text{total}}\) ou \(V_p = V_s - V_{R1}\).
Résultat : \(V_p = 6 \, V\).

Question 5 : Calculer les courants \(I_{R2}\) et \(I_{R3}\)

Principe

Nous savons maintenant que la tension aux bornes de la branche parallèle est \(V_p = 6 \, V\). Comme \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle, elles sont *toutes les deux* soumises à cette même tension de 6 V. Il suffit d'appliquer la loi d'Ohm individuellement à \(R_2\) et \(R_3\).

Mini-Cours

C'est l'application de la Loi des NœudsLa somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant. C'est la conservation de la charge.. Le courant \(I_{\text{total}}\) (3 A) arrive au nœud A et se sépare en \(I_{R2}\) et \(I_{R3}\). Nous devons avoir \(I_{\text{total}} = I_{R2} + I_{R3}\). C'est une vérification indispensable.

Remarque Pédagogique

Maintenant que l'on connaît \(V_p\), on peut mentalement "isoler" le bloc parallèle. Le problème devient : "J'ai une source de 6V branchée à R2 et R3 en parallèle. Quels sont les courants ?". On ignore temporairement \(R_1\) et \(V_{\text{source}}\).

Normes

Ce calcul combine deux lois :
1. Loi d'Ohm : Appliquée à chaque branche (\(I = V/R\)), car nous connaissons la tension \(V_p\) (6V) à leurs bornes et leur résistance individuelle.
2. Loi des Nœuds de Kirchhoff : Elle est cruciale pour la vérification. Elle stipule que le courant \(I_{\text{total}}\) (3A) arrivant au nœud A doit être égal à la somme des courants qui en repartent (\(I_{R2} + I_{R3}\)). Cette loi est basée sur le principe de la conservation de la charge électrique : aucun courant ne peut "disparaître" ou être "créé" à un nœud.

Formule(s)

Loi d'Ohm appliquée à chaque branche :

I_{R2} = \frac{V_p}{R_2} \quad \text{et} \quad I_{R3} = \frac{V_p}{R_3}

Formule alternative (Diviseur de Courant) :

I_{R2} = I_{\text{total}} \times \frac{R_3}{R_2 + R_3} \quad \text{et} \quad I_{R3} = I_{\text{total}} \times \frac{R_2}{R_2 + R_3}

Hypothèses

La tension \(V_p = 6 \, V\) est appliquée uniformément aux bornes de \(R_2\) et \(R_3\).

Donnée(s)

Nous utilisons la tension \(V_p\) (calcul Q4) et les valeurs de \(R_2\) et \(R_3\) (provenant de l'énoncé).

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Tension parallèle	\(V_p\)	6 V	Calcul Q4
Résistance 2	\(R_2\)	6 Ω	Énoncé
Résistance 3	\(R_3\)	3 Ω	Énoncé

Astuces

Utilisez la loi des nœuds comme vérification finale. Une fois \(I_{R2}\) et \(I_{R3}\) calculés, additionnez-les. Le résultat DOIT être égal à \(I_{\text{total}}\) (3 A). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part.

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur le nœud A, où le courant se divise.

Division du Courant (Loi des Nœuds)

Calcul(s)

Nous appliquons la loi d'Ohm (\(I = V / R\)) individuellement à chaque résistance de la branche parallèle, en utilisant la tension \(V_p\) (6 V) qui est commune aux deux.

Étape 1 : Calcul de \(I_{R2}\)

I_{R2} = \frac{V_p}{R_2}

On remplace \(V_p\) (calcul Q4) par 6 V et \(R_2\) (énoncé) par 6 Ω :

\begin{aligned} I_{R2} &= \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} \\ \Rightarrow I_{R2} &= 1 \, A \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(I_{R3}\)

I_{R3} = \frac{V_p}{R_3}

On remplace \(V_p\) (calcul Q4) par 6 V et \(R_3\) (énoncé) par 3 Ω :

\begin{aligned} I_{R3} &= \frac{6 \, V}{3 \, \Omega} \\ \Rightarrow I_{R3} &= 2 \, A \end{aligned}

Étape 3 : Vérification (Loi des Nœuds)

La somme des courants de branche (\(I_{R2}\) et \(I_{R3}\)) doit être égale au courant total \(I_{\text{total}}\) (calcul Q3) qui y entre.

I_{\text{total}} = I_{R2} + I_{R3}

3 \, A = 1 \, A + 2 \, A \\ 3 \, A = 3 \, A \quad (\text{Vérification OK!})

Schéma (Après les calculs)

Le puzzle est complet. Tous les courants sont connus.

Réflexions

La vérification par la loi des nœuds confirme la validité de tous nos calculs depuis le début. Si \(I_{R2} + I_{R3}\) n'avait pas été égal à \(I_{\text{total}}\), cela aurait indiqué une erreur dans les étapes précédentes (probablement le calcul de \(V_p\) ou \(R_{eq}\)).

Points de vigilance

Notez que la résistance \(R_3\) (3 Ω) est deux fois plus petite que \(R_2\) (6 Ω). Par conséquent, le courant \(I_{R3}\) (2 A) qui la traverse est deux fois plus grand que \(I_{R2}\) (1 A). Le courant préfère le chemin le moins résistant ! C'est une vérification de bon sens à toujours effectuer.

Points à retenir

Dans des branches parallèles, la tension est la même, mais le courant se divise. Il se divise de manière inversement proportionnelle à la résistance de chaque branche.

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de division du courant qui explique pourquoi le fait de brancher trop d'appareils (en parallèle) sur une multiprise fait sauter le disjoncteur. Chaque appareil ajouté offre un nouveau chemin, la résistance équivalente totale du "bloc" multiprise diminue, et le courant total (\(I = V / R_{eq}\)) augmente jusqu'à dépasser la limite de sécurité.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les courants de branche sont : \(I_{R2} = 1 \, A\) et \(I_{R3} = 2 \, A\).

A vous de jouer

Si la tension \(V_p\) aux bornes d'une résistance \(R_2\) de 5 Ω est de 10 V, quel sera le courant \(I_{R2}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept : Loi d'Ohm sur branches parallèles.
Formule : \(I = V / R\).
Vérification : Loi des Nœuds (\(I_{\text{total}} = I_{R2} + I_{R3}\)).
Résultat : \(I_{R2} = 1 \, A\), \(I_{R3} = 2 \, A\).

Outil Interactif : Simulateur de Circuit

Utilisez ce simulateur pour voir comment le courant total et la tension parallèle changent lorsque vous modifiez la tension de la source (\(V_{\text{source}}\)) ou la résistance en série (\(R_1\)). Les résistances parallèles \(R_2\) (6 Ω) et \(R_3\) (3 Ω) restent fixes (donc \(R_p = 2 \, \Omega\)).

Paramètres d'Entrée

Tension V_source (V) 12 V

Résistance R1 (Ω) 2 Ω

Résultats Clés

Courant Total (A) -

Tension Parallèle Vp (V) -

Glossaire

Circuit Combiné (ou Mixte): Un circuit électrique qui comporte à la fois des composants montés en série et des composants montés en parallèle.
Loi d'Ohm: Une loi fondamentale (\(V = R \times I\)) qui décrit la relation entre la tension (V), la résistance (R) et le courant (I) dans un circuit électrique.
Loi des Nœuds (Kirchhoff): La somme de tous les courants entrant dans un nœud (point de jonction) est égale à la somme de tous les courants sortant de ce nœud. C'est un principe de conservation de la charge.
Loi des Mailles (Kirchhoff): La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. C'est un principe de conservation de l'énergie.
Résistance Équivalente: Une résistance fictive unique qui aurait le même effet sur le circuit (c'est-à-dire qui "tirerait" le même courant total pour la même tension source) que l'ensemble des résistances qu'elle remplace.