Exercices Électricité

Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Distribution de Courant dans un Circuit Combiné (DC)

Comprendre la Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Dans les circuits électriques contenant des combinaisons de résistances en série et en parallèle, le courant fourni par la source se distribue de manière spécifique à travers les différentes branches du circuit. Comprendre cette distribution est fondamental pour analyser le comportement du circuit. La loi des nœuds de Kirchhoff, qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant, est particulièrement utile. De plus, le concept de diviseur de courant permet de calculer directement la répartition du courant entre des branches parallèles.

Données de l'étude

On considère le circuit en courant continu représenté ci-dessous. Il est alimenté par une source de tension \(V_{\text{source}}\).

Caractéristiques du circuit :

  • Tension de la source : \(V_{\text{source}} = 24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(50 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(200 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(100 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(150 \, \Omega\)

La résistance \(R_1\) est en série avec un groupement parallèle. Ce groupement est constitué de deux branches : la première branche contient \(R_2\), et la seconde branche contient \(R_3\) en série avec \(R_4\).

Schéma : Circuit Combiné DC
Vs 24V + − R1 50Ω A R2 200Ω R3 100Ω R4 150Ω B → Itotal ↓ IR2 → IR3R4

Circuit DC combiné (série-parallèle).

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) des résistances \(R_3\) et \(R_4\) montées en série.
  2. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq\_par}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_{\text{eq34}}\).
  3. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) du circuit vue par la source.
  4. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source de tension.
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{R1}}\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  6. Calculer la tension (\(V_{\text{par}}\)) aux bornes du groupement parallèle (c'est-à-dire aux bornes de \(R_2\) et aussi aux bornes de l'ensemble \(R_3+R_4\)).
  7. Calculer le courant (\(I_{\text{R2}}\)) traversant la résistance \(R_2\).
  8. Calculer le courant (\(I_{\text{R3R4}}\)) traversant la branche contenant \(R_3\) et \(R_4\).
  9. Calculer la tension (\(V_{\text{R3}}\)) aux bornes de \(R_3\) et la tension (\(V_{\text{R4}}\)) aux bornes de \(R_4\).
  10. Vérifier la loi des nœuds au nœud A et la loi des mailles pour la maille extérieure (Source, \(R_1\), \(R_2\)).

Simulateur de Circuit Combiné DC

Résultats de la Simulation :

\(R_{\text{eq34}}\) (R3+R4): N/A \(\Omega\)

\(R_{\text{eq\_par}}\) (R2 // Req34): N/A \(\Omega\)

\(R_{\text{total}}\): N/A \(\Omega\)

\(I_{\text{total}}\): N/A A

\(V_{\text{R1}}\): N/A V

\(V_{\text{par}}\) (Tension aux bornes du parallèle): N/A V

\(I_{\text{R2}}\): N/A A

\(I_{\text{R3R4}}\): N/A A

\(V_{\text{R3}}\): N/A V

\(V_{\text{R4}}\): N/A V

KCL (Noeud A): \(I_{\text{total}} \approx I_{\text{R2}} + I_{\text{R3R4}}\) N/A

Correction : Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq34}}\)) de \(R_3\) et \(R_4\) en série

Principe :

Lorsque des résistances sont montées en série, leur résistance équivalente est la somme de leurs résistances individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq34}} = R_3 + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_3 = 100 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 150 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq34}} &= 100 \, \Omega + 150 \, \Omega \\ &= 250 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente de \(R_3\) et \(R_4\) en série est \(R_{\text{eq34}} = 250 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq\_par}}\)) du groupement parallèle

Principe :

Le groupement parallèle est formé par \(R_2\) en parallèle avec \(R_{\text{eq34}}\). La formule pour deux résistances en parallèle est \(R_{\text{eq}} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq\_par}} = \frac{R_2 \times R_{\text{eq34}}}{R_2 + R_{\text{eq34}}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 200 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq34}} = 250 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq\_par}} &= \frac{200 \, \Omega \times 250 \, \Omega}{200 \, \Omega + 250 \, \Omega} \\ &= \frac{50000 \, \Omega^2}{450 \, \Omega} \\ &\approx 111.111... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eq\_par}} \approx 111.11 \, \Omega\).

Question 3 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle \(R_{\text{eq\_par}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eq\_par}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 50 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq\_par}} \approx 111.111 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 50 \, \Omega + 111.111... \, \Omega \\ &\approx 161.111... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} \approx 161.11 \, \Omega\).

Question 4 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total est donné par la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{\text{total}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{source}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{source}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} \approx 161.111 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{24 \, \text{V}}{161.111... \, \Omega} \\ &\approx 0.148979... \, \text{A} \\ &\approx 148.98 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 0.149 \, \text{A}\) (ou \(148.98 \, \text{mA}\)).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{R1}}\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

\(V_{\text{R1}} = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{R1}} = R_1 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 50 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.14898 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{R1}} &= 50 \, \Omega \times 0.14898 \, \text{A} \\ &\approx 7.4489... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_{\text{R1}} \approx 7.45 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension (\(V_{\text{par}}\)) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

Cette tension est la même pour la branche avec \(R_2\) et pour la branche avec \(R_3+R_4\). Elle peut être calculée par \(V_{\text{par}} = R_{\text{eq\_par}} \times I_{\text{total}}\) ou \(V_{\text{par}} = V_{\text{source}} - V_{\text{R1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{par}} = V_{\text{source}} - V_{\text{R1}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{source}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{R1}} \approx 7.449 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{par}} &= 24 \, \text{V} - 7.4489... \, \text{V} \\ &\approx 16.5510... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{par}} \approx 16.55 \, \text{V}\).

Question 7 : Courant (\(I_{\text{R2}}\)) traversant \(R_2\)

Principe :

\(I_{\text{R2}} = \frac{V_{\text{par}}}{R_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{R2}} = \frac{V_{\text{par}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{par}} \approx 16.551 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 200 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R2}} &= \frac{16.5510... \, \text{V}}{200 \, \Omega} \\ &\approx 0.082755... \, \text{A} \\ &\approx 82.76 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_{\text{R2}} \approx 0.0828 \, \text{A}\) (ou \(82.76 \, \text{mA}\)).

Question 8 : Courant (\(I_{\text{R3R4}}\)) traversant la branche \(R_3-R_4\)

Principe :

Ce courant est \(I_{\text{R3R4}} = \frac{V_{\text{par}}}{R_{\text{eq34}}}\). On peut aussi utiliser \(I_{\text{R3R4}} = I_{\text{total}} - I_{\text{R2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{R3R4}} = \frac{V_{\text{par}}}{R_{\text{eq34}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{par}} \approx 16.551 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eq34}} = 250 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R3R4}} &= \frac{16.5510... \, \text{V}}{250 \, \Omega} \\ &\approx 0.066204... \, \text{A} \\ &\approx 66.20 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant dans la branche \(R_3-R_4\) est \(I_{\text{R3R4}} \approx 0.0662 \, \text{A}\) (ou \(66.20 \, \text{mA}\)).

Question 9 : Tensions (\(V_{\text{R3}}\)) et (\(V_{\text{R4}}\))

Principe :

Le courant \(I_{\text{R3R4}}\) traverse \(R_3\) et \(R_4\). Donc, \(V_{\text{R3}} = R_3 \times I_{\text{R3R4}}\) et \(V_{\text{R4}} = R_4 \times I_{\text{R3R4}}\). On doit avoir \(V_{\text{R3}} + V_{\text{R4}} = V_{\text{par}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{R3}} = R_3 I_{\text{R3R4}} \quad ; \quad V_{\text{R4}} = R_4 I_{\text{R3R4}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_3 = 100 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 150 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{R3R4}} \approx 0.066204 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{R3}} &= 100 \, \Omega \times 0.066204... \, \text{A} \\ &\approx 6.6204... \, \text{V} \\ V_{\text{R4}} &= 150 \, \Omega \times 0.066204... \, \text{A} \\ &\approx 9.9306... \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification : \(V_{\text{R3}} + V_{\text{R4}} \approx 6.6204 \, \text{V} + 9.9306 \, \text{V} \approx 16.551 \, \text{V}\), ce qui est égal à \(V_{\text{par}}\).

Résultat Question 9 : Les tensions sont \(V_{\text{R3}} \approx 6.62 \, \text{V}\) et \(V_{\text{R4}} \approx 9.93 \, \text{V}\).

Question 10 : Vérification des Lois de Kirchhoff

Principe :

Loi des nœuds au nœud A : \(I_{\text{total}} = I_{\text{R2}} + I_{\text{R3R4}}\). Loi des mailles pour la maille extérieure (Source, \(R_1\), \(R_2\), retour Source) : \(V_{\text{source}} - V_{\text{R1}} - V_{\text{R2}} = 0\), où \(V_{\text{R2}} = V_{\text{par}}\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.14898 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R2}} \approx 0.08276 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R3R4}} \approx 0.06620 \, \text{A}\)
  • \(V_{\text{source}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{R1}} \approx 7.449 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{R2}} = V_{\text{par}} \approx 16.551 \, \text{V}\)
Vérification Loi des Nœuds (Nœud A) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R2}} + I_{\text{R3R4}} &\approx 0.082755 \, \text{A} + 0.066204 \, \text{A} \\ &\approx 0.148959 \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{total}} \approx 0.14898 \, \text{A}\). La différence est due aux arrondis.

Vérification Loi des Mailles (Maille extérieure : Source-\(R_1\)-\(R_2\)-Source) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{source}} - V_{\text{R1}} - V_{\text{R2}} &\approx 24 \, \text{V} - 7.4489 \, \text{V} - 16.5510 \, \text{V} \\ &\approx 24 \, \text{V} - 23.9999 \, \text{V} \\ &\approx 0.0001 \, \text{V} \approx 0 \, \text{V} \end{aligned} \]

La loi des mailles est vérifiée (la petite différence est due aux arrondis).

Résultat Question 10 : Les lois de Kirchhoff sont vérifiées compte tenu des arrondis.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit avec des branches parallèles, quelle grandeur est la même pour toutes les branches ?

2. La règle du diviseur de courant s'applique pour calculer :

3. Si on ajoute une résistance en parallèle à un groupement de résistances, la résistance équivalente de ce groupement :

Glossaire

Circuit Combiné (ou Mixte)
Circuit électrique qui comporte à la fois des sections où les composants sont montés en série et d'autres où ils sont montés en parallèle.
Distribution de Courant
Répartition du courant total d'un circuit entre ses différentes branches, notamment dans les montages parallèles.
Diviseur de Courant
Principe selon lequel le courant se répartit dans des branches parallèles inversement proportionnellement à leurs résistances. Pour deux résistances \(R_A\) et \(R_B\) en parallèle, traversées par un courant total \(I_T\), le courant \(I_A\) dans \(R_A\) est \(I_A = I_T \frac{R_B}{R_A+R_B}\).
Loi des Nœuds (Kirchhoff)
La somme algébrique des courants arrivant à un nœud est égale à la somme algébrique des courants qui en repartent (\(\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}\)).
Loi des Mailles (Kirchhoff)
Dans une maille (boucle fermée) quelconque d'un réseau, la somme algébrique des tensions (différences de potentiel) est nulle (\(\sum V = 0\)).
Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

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