Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition
Comprendre l’Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition
Objectif: Utiliser le Théorème de Superposition pour calculer le courant traversant une résistance spécifique dans un circuit électrique contenant deux sources de tension.
Description du Circuit:
- Le circuit contient trois résistances : \(R_1 = 100\, \Omega\), \(R_2 = 200\, \Omega\), et \(R_3 = 300\, \Omega\).
- Il y a deux sources de tension : \(V_1 = 12\, V\) et \(V_2 = 24\, V\).
- Les résistances R1 et R2 sont en série et connectées à la source V1.
- La résistance R3 est en parallèle avec R2 et connectée à la source V2.
- On souhaite calculer le courant I3 traversant R3 en utilisant le Théorème de Superposition.
Questions:
1. Analyse avec V1 Seule: Considérez V2 comme étant court-circuitée (0 V). Calculez le courant à travers chaque composant.
2. Analyse avec V2 Seule: Considérez V1 comme étant court-circuitée (0 V). Calculez le courant à travers chaque composant.
3. Superposition: Additionnez les contributions de courant à travers R3 dues à chaque source de tension séparément pour trouver le courant total I3 traversant R3.
Correction : Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition
Le but est de déterminer le courant \( I_3 \) traversant la résistance \( R_3 \) (300\,\(\Omega\)) dans un circuit comportant deux sources de tension, \( V_1 = 12\,\text{V} \) et \( V_2 = 24\,\text{V} \), en appliquant le théorème de superposition.
Description du Circuit:
- Le circuit contient trois résistances : \( R_1 = 100\,\Omega \), \( R_2 = 200\,\Omega \) et \( R_3 = 300\,\Omega \).
- Il y a deux sources de tension : \( V_1 = 12\,\text{V} \) et \( V_2 = 24\,\text{V} \).
- Les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont en série et connectées à la source \( V_1 \).
- La résistance \( R_3 \) est en parallèle avec \( R_2 \) et connectée à la source \( V_2 \).
- On souhaite calculer le courant \( I_3 \) traversant \( R_3 \) en utilisant le théorème de superposition.
Schéma simplifié du circuit (interprétation) :
V1=12V
+
│
[R1 = 100Ω]
│
├───[R2 = 200Ω]───┐
│ │
│ (Nœud B)
│ │
│ [R3 = 300Ω]
│ │
└──────────────── V2=24V (positif)
│
GND
Attention : L’interprétation du montage peut varier. Ici, nous supposons que le nœud commun (après \( R_1 \) et \( R_2 \)) est le point de connexion entre la branche alimentée par \( V_1 \) et celle contenant \( R_3 \) qui est « pilotée » par \( V_2 \).
Dans l’analyse par superposition, nous étudions séparément l’effet de chaque source en annulant (remplaçant par un court-circuit) l’autre.
1. Analyse avec \( V_1 \) Seule
Principe :
Pour isoler l’effet de \( V_1 \), on considère que la source \( V_2 \) est remplacée par un court-circuit (elle devient 0\,V).
1.1. Description du montage
- \( V_1 = 12\,\text{V} \) est actif.
- \( R_1 \) et \( R_2 \) sont en série entre \( V_1 \) et le nœud B.
- \( R_3 \) est reliée entre le nœud B et le point où \( V_2 \) était, qui, une fois court-circuité, est relié directement à la masse (GND).
Schéma équivalent :
12V
+
│
[R1 = 100Ω]
│
├── [R2 = 200Ω]──┐
│ │
(Nœud B) (Court-circuit → GND)
│ │
[R3 = 300Ω] │
│ │
GND GND
1.2. Calculs étape par étape
a) Calcul de la résistance équivalente du parallèle \( R_2 \) et \( R_3 \) :
Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont connectées en parallèle entre le nœud B et la masse.
Formule :
\[ R_{\text{eq}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \]
Données :
- \( R_2 = 200\,\Omega \)
- \( R_3 = 300\,\Omega \).
Calcul :
\[ R_{\text{eq}} = \frac{200 \times 300}{200 + 300} \] \[ R_{\text{eq}} = \frac{60000}{500} \] \[ R_{\text{eq}} = 120\,\Omega. \]
b) Calcul de la résistance totale du circuit :
\( R_1 \) \((100\,\Omega\)) est en série avec le parallèle \( R_{\text{eq}} = 120\,\Omega \).
Formule :
\[ R_{\text{tot}} = R_1 + R_{\text{eq}} \]
Calcul :
\[ R_{\text{tot}} = 100 + 120 = 220\,\Omega. \]
c) Calcul du courant total fourni par \( V_1 \) :
- Loi d’Ohm :
\[ I_{\text{tot}} = \frac{V_1}{R_{\text{tot}}} \]
Données :
- \( V_1 = 12\,\text{V} \)
- \( R_{\text{tot}} = 220\,\Omega \).
Calcul :
\[ I_{\text{tot}} = \frac{12}{220} \] \[ I_{\text{tot}} \approx 0,05455\,\text{A} \quad (\approx 54,55\,\text{mA}). \]
d) Calcul de la tension au nœud B :
La chute de tension sur \( R_1 \) est :
\[ V_{R1} = I_{\text{tot}} \times R_1 \] \[ V_{R1} = 0,05455 \times 100 \] \[ V_{R1} = 5,455\,\text{V}. \]
La tension au nœud B (par rapport à la masse) est alors :
\[ V_B = V_1 – V_{R1} \] \[ V_B = 12 – 5,455 \] \[ V_B \approx 6,545\,\text{V}. \]
e) Calcul du courant \( I_{3_{(V_1)}} \) dans \( R_3 \) :
- Loi d’Ohm sur \( R_3 \) :
\[ I_{3_{(V_1)}} = \frac{V_B}{R_3} \]
Données :
- \( V_B \approx 6,545\,\text{V} \)
- \( R_3 = 300\,\Omega \).
Calcul :
\[ I_{3_{(V_1)}} = \frac{6,545}{300} \] \[ I_{3_{(V_1)}} \approx 0,02182\,\text{A} \quad (21,82\,\text{mA}). \]
Interprétation de la direction : Pour cette analyse, le courant \( I_{3_{(V_1)}} \) va du nœud B vers la masse (car le côté opposé à \( R_3 \) est court-circuité).
2. Analyse avec \( V_2 \) Seule
Principe :
Ici, nous annulons l’effet de \( V_1 \) en le remplaçant par un court-circuit (0\,V) et nous considérons uniquement \( V_2 = 24\,\text{V} \).
2.1. Description du montage
- \( V_2 = 24\,\text{V} \) est actif.
- \( V_1 \) est remplacé par un court-circuit, ce qui place son point de connexion à la masse.
- Le chemin passe alors de la masse via \( R_1 \) puis \( R_2 \) jusqu’au nœud B, qui est relié à \( R_3 \) allant vers \( V_2 \).
- Le circuit forme ainsi une boucle unique en série.
Schéma équivalent :
(Court-circuit, V1 remplacé par GND)
│
[R1 = 100Ω]
│
[R2 = 200Ω]
│
(Nœud B)
│
[R3 = 300Ω]
│
V2 = 24V
│
GND
2.2. Calculs étape par étape
a) Détermination du chemin en série :
Les trois résistances \( R_1 \), \( R_2 \) et \( R_3 \) se trouvent en série dans la boucle.
Formule :
\[ R_{\text{tot}} = R_1 + R_2 + R_3. \]
Données :
- \( R_1 = 100\,\Omega \),
- \( R_2 = 200\,\Omega \),
- \( R_3 = 300\,\Omega \).
Calcul :
\[ R_{\text{tot}} = 100 + 200 + 300 \] \[ R_{\text{tot}} = 600\,\Omega. \]
b) Calcul du courant de la boucle (commun à toutes les résistances) :
- Loi d’Ohm pour la boucle :
\[ I = \frac{V_2}{R_{\text{tot}}} \]
Données :
- \( V_2 = 24\,\text{V} \)
- \( R_{\text{tot}} = 600\,\Omega \).
Calcul :
\[ I = \frac{24}{600} = 0,04\,\text{A} \quad (40\,\text{mA}). \]
c) Calcul de la chute de tension sur \( R_3 \) :
Formule :
\[ V_{R3} = I \times R_3 \]
Calcul :
\[ V_{R3} = 0,04 \times 300 = 12\,\text{V}. \]
d) Détermination du courant \( I_{3_{(V_2)}} \) dans \( R_3 \) :
Dans une connexion en série, le même courant traverse \( R_3 \). Ainsi :
\[ I_{3_{(V_2)}} = 0,04\,\text{A} \quad (40\,\text{mA}). \]
Attention sur la direction : Ici, le sens de circulation de la boucle montre que le courant traverse \( R_3 \) en allant de la source \( V_2 \) vers le nœud B.
Choix de la convention :
Nous définissons \( I_3 \) comme le courant sortant du nœud B à travers \( R_3 \).
- Dans l’analyse avec \( V_1 \) seule, \( I_{3_{(V_1)}} \) va du nœud B vers la masse (donc « sortant » du nœud B).
- Dans l’analyse avec \( V_2 \) seule, le courant dans \( R_3 \) va \textbf{vers} le nœud B (du côté de \( V_2 \)), ce qui est l’opposé de la convention retenue.
Pour tenir compte des directions, nous noterons :
\[ I_{3_{(V_2)}} = -0,04\,\text{A}, \]
où le signe négatif indique que, par rapport à la convention (sortie du nœud B), le courant est en fait entrant dans le nœud B.
3. Superposition : Calcul du courant total \( I_3 \) dans \( R_3 \)
Le théorème de superposition nous dit que la contribution totale est la somme algébrique des contributions individuelles, en tenant compte de leur sens.
3.1. Contributions obtenues
- Effet de \( V_1 \) seule :
\[ I_{3_{(V_1)}} = +0,02182\,\text{A} \quad (\text{de nœud B vers la masse}). \]
- Effet de \( V_2 \) seule :
\[ I_{3_{(V_2)}} = -0,04\,\text{A} \quad (\text{du côté de } V_2 \text{ vers le nœud B}). \]
3.2. Addition algébrique
Formule :
\[ I_3 = I_{3_{(V_1)}} + I_{3_{(V_2)}} \]
Calcul :
\[ I_3 = 0,02182\,\text{A} + (-0,04\,\text{A}) \] \[ I_3 = -0,01818\,\text{A}. \]
3.3. Interprétation du résultat
Le signe négatif indique que, par rapport à la convention adoptée (courant sortant du nœud B à travers \( R_3 \)), le courant total \( I_3 \) s’écoule en réalité dans le sens inverse, c’est-à-dire \textbf{du côté de \( V_2 \) vers le nœud B}. La valeur effective (en module) est :
\[ |I_3| \approx 18,18\,\text{mA}. \]
Conclusion
En utilisant le théorème de superposition, nous avons trouvé que le courant total traversant \( R_3 \) est :
\[ I_3 \approx -18,18\,\text{mA}. \]
Le signe négatif précise que la direction effective du courant dans \( R_3 \) est opposée à celle définie positivement (c’est-à-dire, il circule de \( V_2 \) vers le nœud B).
Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition
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