Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Le circuit est constitué :

• D'une source de tension V = 12 V;
• D'une résistance R₁ = 100 Ω placée en série avec un groupe de quatre résistances;
• Ce groupe se divise en deux branches (en parallèle) :
  • Branche A : Deux résistances en série
    • R₂ = 150 Ω;
    • R₃ = 300 Ω.
  • Branche B : Deux résistances en série
    • R₄ = 200 Ω;
    • R₅ = 100 Ω.

2. Calcul de la Résistance de Chaque Branche en Série

Branche A (Résistances R₂ et R₃ en série)

La résistance équivalente de la branche A est donnée par :

\[ R_{23} = R_2 + R_3 \] \[ R_{23} = 150\,\Omega + 300\,\Omega \] \[ R_{23} = 450\,\Omega. \]

Branche B (Résistances R₄ et R₅ en série)

La résistance équivalente de la branche B est :

\[ R_{45} = R_4 + R_5 \] \[ R_{45} = 200\,\Omega + 100\,\Omega \] \[ R_{45} = 300\,\Omega. \]

3. Calcul de la Résistance Équivalente du Groupe en Parallèle

Les deux branches (A et B) sont en parallèle. Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente R_{eq, parallèle} se calcule par :

\[ \frac{1}{R_{\text{eq, parallèle}}} = \frac{1}{R_{23}} + \frac{1}{R_{45}} = \frac{1}{450} + \frac{1}{300}. \]

Pour simplifier, on écrit :

\[ \frac{1}{450} = \frac{2}{900} \quad \text{et} \quad \frac{1}{300} = \frac{3}{900}. \]

Donc :

\[ \frac{1}{R_{\text{eq, parallèle}}} = \frac{2 + 3}{900} \] \[ = \frac{5}{900} \] \[ = \frac{1}{180}. \]

Ainsi :

\[ R_{\text{eq, parallèle}} = 180\,\Omega. \]

4. Calcul de la Résistance Totale du Circuit

La résistance totale R_total correspond à la somme de R₁ et du groupe équivalent en parallèle :

\[ R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eq, parallèle}} = 100\,\Omega + 180\,\Omega \] \[ R_{\text{total}} = 280\,\Omega. \]

5. Calcul du Courant Total Fournit par la Source

En appliquant la loi d’Ohm sur le circuit complet :

\[ I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{total}}} \] \[ I_{\text{total}} = \frac{12\,V}{280\,\Omega} \] \[ I_{\text{total}} \approx 0.04286\,A. \]

Cela correspond à environ 42.86 mA.

6. Calcul des Chutes de Tension

6.1. Sur la Résistance R₁

La chute de tension sur R₁ est :

\[ V_{R_1} = I_{\text{total}} \times R_1 \] \[ V_{R_1} = 0.04286\,A \times 100\,\Omega \] \[ V_{R_1} \approx 4.286\,V. \]

6.2. Aux Bornes du Groupe en Parallèle

La tension aux bornes du groupe parallèle, notée V_par, se trouve par :

\[ V_{\text{par}} = V - V_{R_1} \] \[ V_{\text{par}} = 12\,V - 4.286\,V \] \[ V_{\text{par}} \approx 7.714\,V. \]

Cette même tension V_par s'applique à chacune des branches A et B.

7. Calcul des Courants et des Chutes de Tension dans Chaque Branche

Branche A (Résistances R₂ et R₃ en série)

• Courant dans la branche A :

  \[ I_A = \frac{V_{\text{par}}}{R_{23}} \] \[ I_A = \frac{7.714\,V}{450\,\Omega} \] \[ I_A \approx 0.01714\,A \quad (17.14\,mA). \]

• Chute de tension sur R₂ :

  \[ V_{R_2} = I_A \times R_2 \] \[ V_{R_2} = 0.01714\,A \times 150\,\Omega \] \[ V_{R_2} \approx 2.571\,V. \]

• Chute de tension sur R₃ :

  \[ V_{R_3} = I_A \times R_3 \] \[ V_{R_3} = 0.01714\,A \times 300\,\Omega \] \[ V_{R_3} \approx 5.143\,V. \]

• Vérification :

  \[ V_{R_2} + V_{R_3} \approx 2.571\,V + 5.143\,V \] \[ V_{R_2} + V_{R_3} \approx 7.714\,V, \]

  ce qui correspond bien à V_par.

Branche B (Résistances R₄ et R₅ en série)

• Courant dans la branche B :

  \[ I_B = \frac{V_{\text{par}}}{R_{45}} \] \[ I_B = \frac{7.714\,V}{300\,\Omega} \] \[ I_B \approx 0.02571\,A \quad (25.71\,mA). \]

• Chute de tension sur R₄ :

  \[ V_{R_4} = I_B \times R_4 \] \[ V_{R_4} = 0.02571\,A \times 200\,\Omega \] \[ V_{R_4} \approx 5.142\,V. \]

• Chute de tension sur R₅ :

  \[ V_{R_5} = I_B \times R_5 \] \[ V_{R_5} = 0.02571\,A \times 100\,\Omega \] \[ V_{R_5} \approx 2.571\,V. \]

• Vérification :

  \[ V_{R_4} + V_{R_5} \approx 5.142\,V + 2.571\,V \] \[ V_{R_4} + V_{R_5} \approx 7.713\, \approx V_{\text{par}}. \]

8. Vérification de la Conservation du Courant

Le courant qui se divise dans les branches A et B doit être égal au courant total circulant dans le circuit :

\[ I_{\text{total}} = I_A + I_B \] \[ I_{\text{total}} \approx 0.01714\,A + 0.02571\,A \] \[ I_{\text{total}} \approx 0.04285\,A, \]

ce qui confirme nos calculs précédents.