Force sur une Charge dans un Champ Électrique
Comprendre la Force sur une Charge dans un Champ Électrique
Un champ électrique uniforme est défini dans l’espace par le vecteur \(\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} + E_z \hat{k}\), où \(E_x = 3\, \text{N/C}\), \(E_y = 4\, \text{N/C}\), et \(E_z = 0\, \text{N/C}\). Une charge ponctuelle \(q = 1.5 \times 10^{-6}\, \text{C}\) est placée dans ce champ électrique.
Questions :
1. Représenter graphiquement le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) et la position de la charge.
2. Calculer le vecteur force \(\vec{F}\) agissant sur la charge due au champ électrique, sachant que \(\vec{F} = q\vec{E}\).
3. Déterminer la magnitude de la force \(\vec{F}\) et l’angle qu’elle forme avec l’axe des x.
Correction : Force sur une Charge dans un Champ Électrique
1. Représentation graphique du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) et position de la charge
Imaginez le champ électrique comme un vent invisible qui pousse les charges. Le vecteur \(\vec{E}\) indique la direction et la « force du vent » en chaque point. On le représente par une flèche partant de l’origine, de longueur proportionnelle à son intensité.Formule
\[ \vec{E} = E_x\,\mathbf{i} + E_y\,\mathbf{j} + E_z\,\mathbf{k} \]
Données
- \(E_x = 3\ \mathrm{N/C}\)
- \(E_y = 4\ \mathrm{N/C}\)
- \(E_z = 0\ \mathrm{N/C}\)
- Position de la charge \(q\) : \(q = \frac{3}{2} \times 10^{-6}\,\mathrm{C}\), placée à \(O(0;0;0)\).
Construction graphique
- Tracez un repère orthonormal avec les axes x horizontal, y vertical et z sortant de la page.
- Marquez le point \(O(0;0;0)\) comme origine.
- Depuis \(O\), avancez de 3 unités vers la droite (axe Ox) puis de 4 unités vers le haut (axe Oy) pour atteindre \(A(3;4;0)\).
- Reliez \(O\) à \(A\) par une flèche : c’est votre vecteur \(\vec{E}\).
- Placez un point plein en \(O\) pour symboliser la charge \(q\).
2. Calcul du vecteur force \(\vec{F}\) agissant sur la charge
La charge \(q\) dans le "vent" électrique ressent une poussée. Cette poussée est la force \(\vec{F}\), obtenue en multipliant la charge par le champ.
Formules
Données
- \(q = \frac{3}{2} \times 10^{-6}\,\mathrm{C}\)
- \(E_x = 3\,\mathrm{N/C},\quad E_y = 4\,\mathrm{N/C},\quad E_z = 0\,\mathrm{N/C}\)
Calculs
- \[F_x = \Bigl(\frac{3}{2} \times 10^{-6}\Bigr) \times 3 \] \[F_x = \frac{9}{2} \times 10^{-6}\ \mathrm{N}\]
- \[F_y = \Bigl(\frac{3}{2} \times 10^{-6}\Bigr) \times 4 \] \[F_y = 6 \times 10^{-6}\ \mathrm{N}\]
- \[F_z = \Bigl(\frac{3}{2} \times 10^{-6}\Bigr) \times 0 \] \[F_z = 0\ \mathrm{N}\]
Résultat
\[ \vec{F} = \Bigl(\frac{9}{2} \times 10^{-6}\,\mathbf{i} + 6 \times 10^{-6}\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}\Bigr)\ \mathrm{N} \]
3. Détermination de la magnitude de \(\vec{F}\) et de l’angle avec l’axe Ox
3.1 Magnitude de \(\vec{F}\)
Formule
\[ \|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} \]
Calcul
\[ \|\vec{F}\| = \sqrt{\Bigl(\frac{9}{2} \times 10^{-6}\Bigr)^2 + \bigl(6 \times 10^{-6}\bigr)^2 + 0^2} \] \[ \|\vec{F}\| = \sqrt{\frac{81}{4} \times 10^{-12} + 36 \times 10^{-12}} \] \[ \|\vec{F}\| = \sqrt{\frac{225}{4} \times 10^{-12}} \] \[ \|\vec{F}\| = \frac{15}{2} \times 10^{-6}\ \mathrm{N} \]
Résultat
\[\|\vec{F}\| = \frac{15}{2} \times 10^{-6}\ \mathrm{N}\]
3.2 Angle \(\theta\) entre \(\vec{F}\) et l’axe Ox
Formule
\[ \tan\theta = \frac{F_y}{F_x}, \quad \theta = \arctan\Bigl(\frac{F_y}{F_x}\Bigr) \]
Calcul
\[ \frac{F_y}{F_x} = \frac{6 \times 10^{-6}}{\frac{9}{2} \times 10^{-6}} \] \[ \frac{F_y}{F_x} = \frac{6}{\frac{9}{2}} \] \[ \frac{F_y}{F_x} = \frac{12}{9} \] \[ \frac{F_y}{F_x} = \frac{4}{3} \]
\[ \theta = \arctan\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr) \approx 53,1^\circ \]
Force sur une Charge dans un Champ Électrique
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