Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Contexte : L'interaction entre les charges et les champs.

En électromagnétisme, un champ électriqueRégion de l'espace où une charge électrique subirait une force. Il est créé par d'autres charges électriques ou par un champ magnétique variable. est une zone de l'espace qui a été modifiée par la présence de charges électriques. Si une autre charge électriquePropriété fondamentale de la matière qui se manifeste par des forces d'attraction ou de répulsion avec d'autres matières chargées. est placée dans ce champ, elle subira une force, appelée force électrostatique ou force de Coulomb. Cet exercice vise à calculer cette force à partir des caractéristiques du champ et de la charge.

Remarque Pédagogique : Ce principe est au cœur de nombreuses technologies, des téléviseurs à tube cathodique d'antan aux accélérateurs de particules modernes. Comprendre cette relation fondamentale est une étape essentielle pour maîtriser l'électromagnétisme.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la relation vectorielle entre la force, la charge et le champ électrique : \(\vec{F} = q \cdot \vec{E}\).
Calculer les composantes et la norme d'un vecteur force.
Distinguer l'effet d'un champ électrique sur une charge positive et sur une charge négative.
Maîtriser les unités des grandeurs physiques impliquées (Coulomb, Newton, Volt/mètre).

Données de l'étude

On étudie le cas d'une particule ponctuelle portant une charge électrique, placée dans une région où règne un champ électrique uniforme.

Fiche Technique

Domaine	Niveau
Électromagnétisme (Électricité)	Débutant / Intermédiaire

Schéma de la situation

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(q\)	Charge électrique pour les questions 1 et 2	\(+2,0\)	µC (microcoulombs)
\(q'\)	Charge électrique pour la question 3	\(-2,0\)	µC (microcoulombs)
\(\vec{E}\)	Vecteur champ électrique (constant pour tout l'exercice)	\((3,0 \vec{i} - 4,0 \vec{j}) \times 10^5\)	N/C (Newton/Coulomb)

Charge électrique de la particule \(+2,0\) µC (microcoulombs) \(\vec{E}\) Vecteur champ électrique \((3,0 \vec{i} - 4,0 \vec{j}) \times 10^5\) N/C (Newton/Coulomb)

Questions à traiter

Calculer les composantes \(F_x\), \(F_y\) et \(F_z\) du vecteur force \(\vec{F}\) qui s'exerce sur la charge \(q\).
Déterminer la norme (l'intensité) \(\|\vec{F}\|\) de cette force.
Si la charge était négative, \(q' = -2,0 \text{ µC}\), quel serait le nouveau vecteur force \(\vec{F'}\) ?
Comparer la direction et le sens du vecteur force par rapport au vecteur champ électrique pour une charge positive et une charge négative.

Les bases sur la Force Électrostatique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la relation fondamentale qui lie la force électrostatique à la charge et au champ électrique.

1. Relation Force-Champ
La force \(\vec{F}\) subie par une charge ponctuelle \(q\) placée dans un champ électrique \(\vec{E}\) est donnée par la relation vectorielle suivante : \[ \vec{F} = q \cdot \vec{E} \] Cela signifie que le vecteur force est colinéaire au vecteur champ électrique. Son sens dépend du signe de la charge \(q\).

2. Norme d'un Vecteur
Si un vecteur \(\vec{V}\) a pour composantes \((V_x, V_y, V_z)\), sa norme (ou sa longueur) \(\|\vec{V}\|\) est calculée à l'aide du théorème de Pythagore en 3D : \[ \|\vec{V}\| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} \]

Correction : Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Question 1 : Calculer les composantes du vecteur force \(\vec{F}\)

Principe (le concept physique)

Le concept fondamental ici est qu'un champ électrique exerce une force sur une charge. La force est le produit de la charge (une grandeur scalaire) par le champ électrique (une grandeur vectorielle). Le calcul se fait donc en multipliant chaque composante du vecteur champ par la valeur de la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La multiplication d'un vecteur \(\vec{V}(V_x, V_y, V_z)\) par un scalaire \(k\) donne un nouveau vecteur \(k\vec{V}\) dont chaque composante est multipliée par \(k\). On a donc \(k\vec{V} = (kV_x, kV_y, kV_z)\). Physiquement, si \(k > 0\), le nouveau vecteur a le même sens et sa longueur est multipliée par \(k\). Si \(k < 0\), le sens est inversé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour éviter les erreurs, traitez chaque composante (\(x\), \(y\), \(z\)) de manière indépendante. C'est comme si vous aviez trois petits problèmes à résoudre séparément avant d'assembler le résultat final.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme au sens d'un règlement de construction, mais d'une loi fondamentale de la physique : la loi de la force de Coulomb, exprimée en termes de champ électrique. C'est un pilier de l'électromagnétisme classique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation vectorielle générale

\vec{F} = q \cdot \vec{E}

Formule pour la composante en x

F_x = q \cdot E_x

Formule pour la composante en y

F_y = q \cdot E_y

Formule pour la composante en z

F_z = q \cdot E_z

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que la charge est ponctuelle et que le champ électrique est uniforme dans la région étudiée. La présence de la charge \(q\) ne modifie pas le champ électrique ambiant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données suivantes sont reprises de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Charge électrique	\(q\)	\(+2,0 \text{ µC}\)	\(2,0 \times 10^{-6} \text{ C}\)
Composante \(E_x\)	\(E_x\)	\(3,0 \times 10^5\)	\(\text{N/C}\)
Composante \(E_y\)	\(E_y\)	\(-4,0 \times 10^5\)	\(\text{N/C}\)
Composante \(E_z\)	\(E_z\)	\(0\)	\(\text{N/C}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Vérifiez rapidement le signe : la charge \(q\) est positive, donc le vecteur force \(\vec{F}\) doit avoir le même signe que le vecteur champ \(\vec{E}\) pour chaque composante. Ici, \(E_x\) est positif et \(E_y\) est négatif, donc on s'attend à \(F_x > 0\) et \(F_y < 0\).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de la situation initiale

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la composante \(F_x\)

\begin{aligned} F_x &= (2,0 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3,0 \times 10^5 \text{ N/C}) \\ &= 6,0 \times 10^{-1} \text{ N} \\ &= 0,6 \text{ N} \end{aligned}

Calcul de la composante \(F_y\)

\begin{aligned} F_y &= (2,0 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (-4,0 \times 10^5 \text{ N/C}) \\ &= -8,0 \times 10^{-1} \text{ N} \\ &= -0,8 \text{ N} \end{aligned}

Calcul de la composante \(F_z\)

\begin{aligned} F_z &= (2,0 \times 10^{-6} \text{ C}) \times 0 \\ &= 0 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Force \(\vec{F}\) et ses composantes

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les composantes nous indiquent que la charge est poussée par une force de 0,6 N dans la direction positive de l'axe x, et par une force de 0,8 N dans la direction négative de l'axe y. La force résultante pousse donc la particule "vers l'avant et vers le bas" dans le plan (x,y).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est d'oublier de convertir la charge de microcoulombs (µC) en Coulombs (C). Une autre erreur commune est de mal gérer les signes, surtout lorsque la charge ou une composante du champ est négative.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La force est un vecteur, tout comme le champ électrique.
Le calcul se fait composante par composante.
La conversion des unités (comme les préfixes micro-, nano-, etc.) est une étape cruciale avant tout calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La loi de Coulomb, qui est à la base de ce calcul, a été établie par le physicien français Charles-Augustin de Coulomb en 1785 à l'aide d'une balance de torsion, un instrument extrêmement sensible qu'il a lui-même inventé pour mesurer de très faibles forces.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi la composante \(F_z\) est-elle nulle ?

Parce que la composante \(E_z\) du champ électrique est nulle. Comme \(F_z = q \cdot E_z\), si l'une des valeurs est zéro, le produit est nécessairement zéro. Physiquement, cela signifie que le champ électrique n'a aucune action selon l'axe z.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les composantes du vecteur force sont : \(F_x = 0,6 \text{ N}\), \(F_y = -0,8 \text{ N}\), et \(F_z = 0 \text{ N}\).
Le vecteur force s'écrit donc : \(\vec{F} = (0,6 \vec{i} - 0,8 \vec{j}) \text{ N}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si la charge était de \(q = +3,0 \text{ µC}\), quelle serait la nouvelle valeur de la composante \(F_x\) ?

Question 2 : Déterminer la norme de la force \(\|\vec{F}\|\)

Principe (le concept physique)

La norme d'un vecteur, ici \(\|\vec{F}\|\), représente son intensité ou sa magnitude. C'est une valeur scalaire (un simple nombre, toujours positif) qui quantifie la "force" totale de la poussée sur la charge, indépendamment de sa direction. On l'obtient en combinant ses composantes à l'aide du théorème de Pythagore.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La norme d'un vecteur dans un espace euclidien est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes dans une base orthonormée. Pour un vecteur \(\vec{F}\) dans le plan \((x,y)\), ses composantes \(F_x\) et \(F_y\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle, et la norme \(\|\vec{F}\|\) est l'hypoténuse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas intimidé par les composantes négatives. Lors du calcul de la norme, chaque composante est élevée au carré, ce qui donne toujours un résultat positif. La norme est une "longueur", et une longueur ne peut pas être négative.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul ne fait pas appel à une norme technique mais à une définition mathématique fondamentale : la norme euclidienne d'un vecteur, utilisée dans tous les domaines de la physique et de l'ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la norme

\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données suivantes proviennent des résultats de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Composante en x	\(F_x\)	\(0,6\)	N
Composante en y	\(F_y\)	\(-0,8\)	N
Composante en z	\(F_z\)	\(0\)	N

Astuces (Pour aller plus vite)

Le triplet (0,6; 0,8; 1,0) est proportionnel au triplet pythagoricien bien connu (3; 4; 5). Si vous le remarquez, vous pouvez déduire que l'hypoténuse (la norme) sera proportionnelle à 5. Comme \(0,6 = 0,2 \times 3\) et \(0,8 = 0,2 \times 4\), la norme sera \(0,2 \times 5 = 1,0\).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation des composantes pour le calcul de la norme

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule de la norme

\begin{aligned} \|\vec{F}\| &= \sqrt{(0,6 \text{ N})^2 + (-0,8 \text{ N})^2 + (0 \text{ N})^2} \\ &= \sqrt{0,36 \text{ N}^2 + 0,64 \text{ N}^2 + 0} \\ &= \sqrt{1 \text{ N}^2} \\ &= 1,0 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la norme comme l'hypoténuse

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une force de 1,0 Newton est une force significative dans le monde des particules. Pour donner un ordre de grandeur, c'est approximativement le poids d'une petite pomme (100 grammes) sur Terre. La particule subit donc une accélération très importante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier que le carré d'un nombre négatif est positif : \((-0,8)^2 = +0,64\), et non \(-0,64\). Une autre erreur est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La norme est la "longueur" du vecteur force.
Elle est toujours positive ou nulle.
Sa formule est une application directe du théorème de Pythagore.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de vecteur et de calcul vectoriel a été largement développé à la fin du 19ème siècle par des physiciens comme Oliver Heaviside pour simplifier la notation des équations de Maxwell, qui sont les quatre équations fondamentales de l'électromagnétisme.

FAQ (pour lever les doutes)

La norme et la magnitude, est-ce la même chose ?

Oui, dans le contexte de la physique, les termes "norme", "magnitude", "intensité" ou "module" d'un vecteur sont généralement interchangeables. Ils désignent tous la valeur scalaire positive qui représente la "longueur" du vecteur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'intensité de la force électrostatique subie par la charge est de 1,0 Newton.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Calculez la norme d'une force dont les composantes seraient \(F_x=5 \text{ N}\) et \(F_y=12 \text{ N}\) (un autre triplet pythagoricien !).

Question 3 : Calculer la force \(\vec{F'}\) pour une charge \(q' = -2,0 \text{ µC}\)

Principe (le concept physique)

Le principe reste identique : la force est le produit de la charge par le champ. Cependant, comme la charge est maintenant négative, elle va inverser le sens du vecteur force par rapport au vecteur champ électrique. La force s'opposera au champ.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Multiplier un vecteur par -1 est une opération de symétrie centrale. Le vecteur résultant, \(\vec{F'}=-\vec{F}\), a la même longueur (norme) et la même direction (la droite qui le porte) que le vecteur original \(\vec{F}\), mais il pointe dans le sens exactement opposé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Puisque la nouvelle charge \(q'\) est simplement l'opposé de l'ancienne charge \(q\) (c'est-à-dire \(q'=-q\)), il n'est pas nécessaire de refaire tout le calcul. Vous pouvez directement en déduire que la nouvelle force sera l'opposé de l'ancienne : \(\vec{F'} = -\vec{F}\).

Normes (la référence réglementaire)

Aucune norme spécifique ne s'applique ici, il s'agit d'une application directe des lois de la physique et de l'algèbre vectorielle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la force pour la nouvelle charge

\vec{F'} = q' \cdot \vec{E}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données suivantes sont reprises de l'énoncé de l'exercice et de la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Nouvelle charge	\(q'\)	\(-2,0 \text{ µC}\)	\(-2,0 \times 10^{-6} \text{ C}\)
Composante \(E_x\)	\(E_x\)	\(3,0 \times 10^5\)	\(\text{N/C}\)
Composante \(E_y\)	\(E_y\)	\(-4,0 \times 10^5\)	\(\text{N/C}\)
Composante \(E_z\)	\(E_z\)	\(0\)	\(\text{N/C}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Ne recalculez rien ! Prenez simplement le vecteur résultat de la question 1, \(\vec{F}=(0,6\vec{i} - 0,8\vec{j}) \text{ N}\), et multipliez chaque composante par -1.

Schéma (Avant les calculs)

Situation initiale avec charge négative

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la composante \(F'_x\)

\begin{aligned} F'_x &= q' \cdot E_x \\ &= (-2,0 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3,0 \times 10^5 \text{ N/C}) \\ &= -0,6 \text{ N} \end{aligned}

Calcul de la composante \(F'_y\)

\begin{aligned} F'_y &= q' \cdot E_y \\ &= (-2,0 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (-4,0 \times 10^5 \text{ N/C}) \\ &= +0,8 \text{ N} \end{aligned}

La composante \(F'_z\) reste nulle. On remarque bien que \(\vec{F'} = -\vec{F}\).

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des forces \(\vec{F}\) (pour q>0) et \(\vec{F'}\) (pour q<0)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat montre une loi physique fondamentale : la force sur une charge négative est toujours orientée en sens inverse du champ électrique. La norme de la force, cependant, ne dépend que de la valeur absolue de la charge, elle est donc la même que pour la charge positive : \(\|\vec{F'}\| = \sqrt{(-0,6)^2 + (0,8)^2} = 1,0 \text{ N}\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur à ne pas commettre est de n'appliquer le signe "moins" qu'à une seule des composantes. La multiplication par un scalaire s'applique à l'ensemble du vecteur, donc à chacune de ses composantes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le signe de la charge est crucial : il détermine le sens de la force.
\(q > 0 \Rightarrow \vec{F}\) et \(\vec{E}\) ont le même sens.
\(q < 0 \Rightarrow \vec{F}\) et \(\vec{E}\) ont des sens opposés.
La norme de la force est indépendante du signe de la charge.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

C'est ce principe d'inversion de la force pour les charges négatives qui permet de guider les électrons (charges négatives) dans les anciens téléviseurs à tube cathodique. Des champs électriques variables créés par des plaques de déviation forçaient le faisceau d'électrons à balayer l'écran et à créer une image.

FAQ (pour lever les doutes)

Si la force est opposée, est-ce que la particule va "remonter" le champ ?

Oui, exactement. Une charge négative libre de se mouvoir accélérera toujours dans la direction opposée aux lignes de champ électrique. Elle se déplace des potentiels bas vers les potentiels élevés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour une charge négative, le nouveau vecteur force est : \(\vec{F'} = (-0,6 \vec{i} + 0,8 \vec{j}) \text{ N}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le champ électrique était \(\vec{E} = (-1,0 \vec{i}) \times 10^5 \text{ N/C}\), quelle serait la force \(\vec{F'}\) sur la charge \(q'=-2,0 \text{ µC}\) ?

Question 4 : Comparaison des directions

Principe

Cette question de synthèse vise à formaliser une des règles les plus fondamentales de l'électrostatique : la relation entre le signe d'une charge et la direction de la force qu'elle subit dans un champ électrique.

Mini-cours

La relation \(\vec{F} = q \cdot \vec{E}\) est une loi vectorielle. Si le scalaire \(q\) est positif, les vecteurs \(\vec{F}\) et \(\vec{E}\) sont de même sens. Si \(q\) est négatif, le vecteur \(\vec{F}\) est de sens opposé à \(\vec{E}\). Dans les deux cas, les deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire qu'ils sont portés par la même droite.

Réflexions

En examinant les résultats des questions précédentes, nous pouvons tirer une conclusion claire :

Pour la charge positive \(q > 0\) : \(\vec{F} = (0,6 \vec{i} - 0,8 \vec{j}) \text{ N}\). Le vecteur force est dans la même direction et le même sens que le vecteur champ électrique \(\vec{E}\).
Pour la charge négative \(q' < 0\) : \(\vec{F'} = (-0,6 \vec{i} + 0,8 \vec{j}) \text{ N}\). Le vecteur force est dans la même direction mais de sens opposé au vecteur champ électrique \(\vec{E}\).

Schéma

Direction de la force selon le signe de la charge

Points de vigilance

Il est crucial de ne pas confondre "direction" et "sens". Deux vecteurs peuvent avoir la même direction (être sur la même ligne) mais des sens opposés (pointer vers des extrémités différentes de la ligne).

Résultat Final

Une charge positive subit une force dans le même sens que le champ électrique, tandis qu'une charge négative subit une force de sens opposé au champ électrique.

Outil Interactif : Simulateur de Force Électrostatique

Utilisez les curseurs pour faire varier la valeur de la charge et la composante \(E_x\) du champ électrique. Observez en temps réel l'impact sur la composante \(F_x\) de la force.

Paramètres d'Entrée

Charge q (µC) 2 µC

Champ Ex (x10⁵ N/C) 3.0 x10⁵ N/C

Résultats Clés

Force Fx (N) -

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Une région de l'espace où une charge électrique subirait une force électrostatique. Il est exprimé en Newtons par Coulomb (N/C) ou en Volts par mètre (V/m).
Charge Électrique (\(q\)): Propriété fondamentale de la matière responsable des interactions électromagnétiques. Son unité est le Coulomb (C).
Force Électrostatique (\(\vec{F}\)): La force subie par une particule chargée dans un champ électrique. Son unité est le Newton (N).
Vecteur: Objet mathématique défini par une magnitude (norme), une direction et un sens.