Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Comprendre la Force Électrique

Le champ électrique (\(\vec{E}\)) est une région de l'espace où une charge électrique \(q\) subit une force électrostatique \(\vec{F}\). Cette force est directement proportionnelle à la valeur de la charge et à l'intensité du champ électrique. La relation vectorielle est donnée par \(\vec{F} = q\vec{E}\). Si la charge \(q\) est positive, la force \(\vec{F}\) est dans le même sens que le champ \(\vec{E}\). Si la charge \(q\) est négative, la force \(\vec{F}\) est dans le sens opposé au champ \(\vec{E}\).

Cette force, lorsqu'elle est la seule à agir sur une particule de masse \(m\), provoque une accélération \(\vec{a}\) selon la deuxième loi de Newton : \(\vec{F} = m\vec{a}\). Ainsi, \(\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}\). L'étude du mouvement des particules chargées dans les champs électriques est fondamentale dans de nombreux domaines, de l'électronique aux accélérateurs de particules.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la force électrique subie par un électron placé dans un champ électrique uniforme, et sur la détermination de son accélération.

Données de l'étude

Un électron est placé dans un champ électrique uniforme.

Caractéristiques de l'électron et du champ :

  • Charge de l'électron (\(q_e\)) : \(-1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • Champ électrique uniforme (\(\vec{E}\)) : dirigé selon l'axe des \(x\) positifs, avec une intensité \(E = 5000 \, \text{N/C}\) (ou \(5000 \, \text{V/m}\)). Donc, \(\vec{E} = (5000 \, \text{N/C}) \vec{u}_x\).
Schéma d'un Électron dans un Champ Électrique Uniforme
E e- Électron (qe) F x y

Un électron placé dans un champ électrique uniforme \(\vec{E}\) dirigé vers la droite. La force \(\vec{F}\) sur l'électron (charge négative) est dirigée vers la gauche.

Questions à traiter

  1. Déterminer le vecteur force électrique \(\vec{F}\) s'exerçant sur l'électron (donner ses composantes).
  2. Calculer la magnitude (norme) de cette force électrique \(F\).
  3. Déterminer le vecteur accélération \(\vec{a}\) de l'électron.
  4. Calculer la magnitude de cette accélération \(a\).
  5. Si, à la place de l'électron, on plaçait un proton (charge \(q_p = +1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\), masse \(m_p = 1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)) dans le même champ électrique, quel serait le vecteur force \(\vec{F}_p\) sur le proton ?
  6. Quelle serait la magnitude de l'accélération \(a_p\) du proton ? Comparer avec celle de l'électron.

Correction : Force sur une Charge dans un Champ Électrique

Question 1 : Vecteur force électrique \(\vec{F}\) sur l'électron

Principe :

La force électrique \(\vec{F}\) subie par une charge \(q\) dans un champ électrique \(\vec{E}\) est donnée par \(\vec{F} = q\vec{E}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{F} = q_e \vec{E}\]
Données spécifiques :
  • Charge de l'électron (\(q_e\)) : \(-1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Champ électrique (\(\vec{E}\)) : \((5000 \, \text{N/C}) \vec{u}_x = (5000, 0, 0) \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F} &= (-1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (5000 \, \text{N/C}) \vec{u}_x \\ &= (-1.602 \times 5000) \times 10^{-19} \, \text{N} \, \vec{u}_x \\ &= -8010 \times 10^{-19} \, \text{N} \, \vec{u}_x \\ &= -8.010 \times 10^{-16} \, \text{N} \, \vec{u}_x \end{aligned} \]

Donc, les composantes du vecteur force sont \(F_x = -8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}\), \(F_y = 0\), \(F_z = 0\).

Résultat Question 1 : Le vecteur force électrique sur l'électron est \(\vec{F} \approx (-8.01 \times 10^{-16} \, \text{N}) \vec{u}_x\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un proton (charge positive) est placé dans le même champ électrique \(\vec{E} = E_x \vec{u}_x\), la force sur le proton sera dirigée :

Question 2 : Magnitude de la force électrique \(F\)

Principe :

La magnitude (ou norme) d'un vecteur \(\vec{F} = F_x \vec{u}_x + F_y \vec{u}_y + F_z \vec{u}_z\) est \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}\). Ici, la force n'a qu'une composante \(F_x\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = |q_e| E\]

Ou à partir des composantes : \(F = |F_x|\).

Données spécifiques :
  • \(F_x \approx -8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= |-8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}| \\ &= 8.010 \times 10^{-16} \, \text{N} \end{aligned} \]

Alternativement : \(F = (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (5000 \, \text{N/C}) = 8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}\).

Résultat Question 2 : La magnitude de la force électrique est \(F \approx 8.01 \times 10^{-16} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la force dans le Système International est le :

Question 3 : Vecteur accélération \(\vec{a}\) de l'électron

Principe :

Selon la deuxième loi de Newton, \(\vec{F} = m\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \vec{F}/m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e}\]
Données spécifiques :
  • Vecteur force \(\vec{F} \approx (-8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}) \vec{u}_x\) (de Q1)
  • Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{(-8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}) \vec{u}_x}{9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}} \\ &\approx \frac{-8.010}{9.109} \times 10^{-16 - (-31)} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_x \\ &\approx -0.87935 \times 10^{15} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_x \\ &\approx -8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2 \, \vec{u}_x \end{aligned} \]

Donc, les composantes du vecteur accélération sont \(a_x \approx -8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2\), \(a_y = 0\), \(a_z = 0\).

Résultat Question 3 : Le vecteur accélération de l'électron est \(\vec{a} \approx (-8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2) \vec{u}_x\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la force appliquée à un objet est constante, son accélération est :

Question 4 : Magnitude de l'accélération \(a\)

Principe :

La magnitude de l'accélération est la norme du vecteur accélération. \(a = |\vec{a}|\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a = \frac{F}{m_e}\]

Ou à partir des composantes : \(a = |a_x|\).

Données spécifiques :
  • Magnitude de la force (\(F\)) : \(\approx 8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}\) (de Q2)
  • Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}}{9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}} \\ &\approx 0.87935 \times 10^{15} \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La magnitude de l'accélération de l'électron est \(a \approx 8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 4 : L'unité de l'accélération dans le Système International est :

Question 5 : Force \(\vec{F}_p\) sur un proton

Principe :

La force sur le proton est \(\vec{F}_p = q_p \vec{E}\). Comme \(q_p\) est positive, \(\vec{F}_p\) sera dans le même sens que \(\vec{E}\).

Données spécifiques :
  • Charge du proton (\(q_p\)) : \(+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Champ électrique (\(\vec{E}\)) : \((5000 \, \text{N/C}) \vec{u}_x\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_p &= (+1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (5000 \, \text{N/C}) \vec{u}_x \\ &= (1.602 \times 5000) \times 10^{-19} \, \text{N} \, \vec{u}_x \\ &= 8010 \times 10^{-19} \, \text{N} \, \vec{u}_x \\ &= +8.010 \times 10^{-16} \, \text{N} \, \vec{u}_x \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le vecteur force électrique sur le proton est \(\vec{F}_p \approx (+8.01 \times 10^{-16} \, \text{N}) \vec{u}_x\).

Quiz Intermédiaire 5 : La magnitude de la charge d'un proton est :

Question 6 : Magnitude de l'accélération \(a_p\) du proton

Principe :

\(a_p = F_p / m_p\), où \(F_p\) est la magnitude de \(\vec{F}_p\).

Données spécifiques :
  • Magnitude de la force sur le proton (\(F_p\)) : \(\approx 8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}\) (de Q5)
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_p &= \frac{8.010 \times 10^{-16} \, \text{N}}{1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}} \\ &\approx \frac{8.010}{1.672} \times 10^{-16 - (-27)} \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 4.79067 \times 10^{11} \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 4.79 \times 10^{11} \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

Comparaison : L'accélération de l'électron était \(a \approx 8.79 \times 10^{14} \, \text{m/s}^2\). L'accélération du proton est beaucoup plus faible (\(\approx 1835\) fois plus faible, car \(m_p \approx 1835 m_e\)) car sa masse est beaucoup plus grande, bien que la force subie soit de même magnitude.

Résultat Question 6 : La magnitude de l'accélération du proton est \(a_p \approx 4.79 \times 10^{11} \, \text{m/s}^2\). Elle est significativement plus faible que celle de l'électron.

Quiz Intermédiaire 6 : Pour une même force appliquée, un objet de masse plus grande aura une accélération :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force électrique sur une charge \(q\) dans un champ \(\vec{E}\) est donnée par :

2. Si une charge négative est placée dans un champ électrique dirigé vers la droite, la force sur la charge sera dirigée :

3. L'accélération d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme est :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Propriété de l'espace associée à la présence de charges électriques, ou à des champs magnétiques variables. Un champ électrique exerce une force sur d'autres charges électriques. Unité : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Force Électrique (\(\vec{F}\))
Force exercée sur une particule chargée en raison de la présence d'un champ électrique. \(\vec{F} = q\vec{E}\). Unité : Newton (N).
Charge Électrique (\(q\))
Propriété fondamentale de la matière qui lui fait subir une force lorsqu'elle est placée dans un champ électromagnétique. Unité : Coulomb (C).
Électron
Particule subatomique portant une charge électrique négative élémentaire.
Proton
Particule subatomique portant une charge électrique positive élémentaire, trouvée dans le noyau des atomes.
Loi de Newton (Deuxième)
Loi fondamentale de la mécanique qui stipule que la force nette agissant sur un objet est égale au produit de sa masse et de son accélération (\(\vec{F} = m\vec{a}\)).
Accélération (\(\vec{a}\))
Taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. Unité : Mètre par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).
Vecteur Unitaire (\(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z\))
Vecteur de magnitude 1 pointant dans une direction spécifique (par exemple, le long de l'axe x, y, ou z).
Force sur une Charge dans un Champ Électrique - Exercice d'Application

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