Rayonnement d'un Dipôle Oscillant

Comprendre le Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Un dipôle oscillant, souvent modélisé comme un dipôle de Hertz, est une source fondamentale de rayonnement électromagnétique. Il consiste en un courant électrique variant sinusoïdalement dans le temps sur une petite longueur. Ce courant accélère et décélère des charges, ce qui engendre des champs électrique et magnétique qui se propagent sous forme d'ondes électromagnétiques. L'étude de son rayonnement est cruciale pour comprendre les antennes, la diffusion de la lumière et d'autres phénomènes électromagnétiques.

Données de l'étude

On considère un dipôle électrique de Hertz de longueur \(dl\) parcouru par un courant \(I(t) = I_0 \cos(\omega t)\), placé à l'origine et orienté selon l'axe \(z\). Le dipôle est dans le vide.

Caractéristiques du dipôle et du milieu :

Moment dipolaire électrique : \(p(t) = p_0 \cos(\omega t)\), où \(p_0 = I_0 dl / \omega\) (attention, une autre définition courante est \(p_0 = q_0 dl\) avec \(I_0 = q_0 \omega\), ici nous utiliserons \(p_0\) directement lié à \(I_0 dl\)). Pour simplifier, on prendra \(p_0\) comme donnée.
Amplitude du moment dipolaire : \(p_0 = 10^{-10} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
Pulsation : \(\omega = 3 \times 10^9 \, \text{rad/s}\) (correspondant à une fréquence \(f \approx 477 \, \text{MHz}\))
Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Nombre d'onde : \(k = \omega/c\)

On s'intéresse aux champs rayonnés en un point \(M\) repéré par ses coordonnées sphériques \((r, \theta, \phi)\) dans la zone de rayonnement (champ lointain), c'est-à-dire pour \(r \gg \lambda\) (où \(\lambda\) est la longueur d'onde) et \(r \gg dl\).

Schéma : Dipôle Oscillant et Coordonnées

Dipôle de Hertz orienté selon z, et point d'observation M.

Questions à traiter

Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) du rayonnement.
Donner les expressions des potentiels retardés (vecteur \(\vec{A}\) et scalaire \(V\)) en jauge de Lorenz dans la zone de rayonnement.
Déterminer les composantes des champs électrique \(\vec{E}\) et magnétique \(\vec{B}\) en \((r, \theta, \phi)\) dans la zone de rayonnement. On rappelle qu'en coordonnées sphériques, pour un champ \(\vec{A} = A_r \vec{u}_r + A_\theta \vec{u}_\theta + A_\phi \vec{u}_\phi\), le rotationnel est :
\(\vec{\nabla} \times \vec{A} = \frac{1}{r\sin\theta}[\frac{\partial(A_\phi\sin\theta)}{\partial\theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial\phi}]\vec{u}_r + \frac{1}{r}[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\phi} - \frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}]\vec{u}_\theta + \frac{1}{r}[\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}]\vec{u}_\phi\).
Et le gradient d'un scalaire V est : \(\vec{\nabla}V = \frac{\partial V}{\partial r}\vec{u}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}\vec{u}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\phi}\vec{u}_\phi\).
Calculer le vecteur de Poynting moyen \(\langle \vec{\Pi} \rangle\).
Calculer la puissance moyenne totale rayonnée \(\langle P_{\text{ray}} \rangle\) à travers une sphère de grand rayon.
Définir et calculer la résistance de rayonnement \(R_{\text{ray}}\) du dipôle, si l'on considère un courant efficace \(I_{\text{eff}} = I_0/\sqrt{2}\) à l'alimentation du dipôle.

Correction : Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Question 1 : Longueur d'onde \(\lambda\)

Principe :

La longueur d'onde \(\lambda\) est reliée à la pulsation \(\omega\) et à la vitesse de la lumière \(c\) par la relation \(c = \lambda f = \lambda \omega / (2\pi)\). On peut aussi utiliser \(k = \omega/c = 2\pi/\lambda\).

Formule(s) utilisée(s) :

\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}

Données spécifiques :

\(\omega = 3 \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
\(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Calcul :

\begin{aligned} \lambda &= \frac{2\pi \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s})}{3 \times 10^9 \, \text{rad/s}} \\ &= \frac{2\pi}{10} \, \text{m} \\ &\approx 0.628 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La longueur d'onde du rayonnement est \(\lambda \approx 0.628 \, \text{m}\) (ou \(2\pi/10 \, \text{m}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence du dipôle double, la longueur d'onde :

Est divisée par deux.
Double.
Reste la même.
Est divisée par quatre.

Question 2 : Potentiels Retardés (\(\vec{A}\) et \(V\))

Principe :

Pour un dipôle de Hertz \(p(t) = p_0 \cos(\omega t)\) orienté selon \(z\), les potentiels en jauge de Lorenz dans la zone de rayonnement (\(kr \gg 1\)) sont donnés par : Le moment dipolaire est \( \vec{p}(t') = p_0 \cos(\omega t') \vec{u}_z \), avec \(t' = t - r/c\). Le potentiel vecteur \(\vec{A}(M,t)\) est \(\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi r} \frac{d\vec{p}(t')}{dt'}\). Le potentiel scalaire \(V(M,t)\) est \(V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{p}(t') \cdot \vec{u}_r = \frac{p_0 \cos(\omega(t-r/c)) \cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\). Dans la zone de rayonnement, on approxime souvent \(V \approx c (\vec{A} \cdot \vec{u}_r)\) ou on utilise la relation de jauge \(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0\).

Note: \( \frac{d\vec{p}(t')}{dt'} = -\omega p_0 \sin(\omega(t-r/c)) \vec{u}_z \). Pour passer en notation complexe, \(p(t) = \text{Re}(p_0 e^{j\omega t})\), alors \(I(t)dl = \text{Re}(j\omega p_0 e^{j\omega t})\). Le potentiel vecteur complexe est \(\underline{\vec{A}} = \frac{\mu_0 j\omega p_0 e^{j(\omega t - kr)}}{4\pi r} \vec{u}_z\). Le potentiel scalaire complexe est \(\underline{V} = \frac{p_0 \cos\theta e^{j(\omega t - kr)}}{4\pi\varepsilon_0 r^2} (1+jkr) \approx \frac{j\omega p_0 \cos\theta e^{j(\omega t - kr)}}{4\pi\varepsilon_0 c r}\) en champ lointain.

Formule(s) utilisée(s) (expressions réelles en champ lointain) :

\vec{A}(r, \theta, t) \approx \frac{\mu_0}{4\pi r} (-\omega p_0 \sin(\omega(t-r/c))) \vec{u}_z \] \[ V(r, \theta, t) \approx \frac{-\omega p_0 \cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 c r} \sin(\omega(t-r/c))

Il est utile d'exprimer \(\vec{u}_z\) en coordonnées sphériques : \(\vec{u}_z = \cos\theta \vec{u}_r - \sin\theta \vec{u}_\theta\).

\[ \vec{A}(r, \theta, t) \approx -\frac{\mu_0 \omega p_0}{4\pi r} \sin(\omega t - kr) (\cos\theta \vec{u}_r - \sin\theta \vec{u}_\theta) \] \[ V(r, \theta, t) \approx -\frac{p_0 \omega \cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 c r} \sin(\omega t - kr) \] (Note: \(k=\omega/c\))

Résultat Question 2 : Les potentiels retardés sont donnés ci-dessus. \(A_r \approx -\frac{\mu_0 \omega p_0 \cos\theta}{4\pi r} \sin(\omega t - kr)\), \(A_\theta \approx \frac{\mu_0 \omega p_0 \sin\theta}{4\pi r} \sin(\omega t - kr)\), \(A_\phi = 0\).

Question 3 : Champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\)

Principe :

Les champs se déduisent des potentiels : \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\) et \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\). Dans la zone de rayonnement (champ lointain, termes en \(1/r\)), les champs sont transverses (\(E_r, B_r \approx 0\)), perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation \(\vec{u}_r\). On a \(\vec{E} \approx -c (\vec{u}_r \times \vec{B})\) et \(\vec{B} \approx \frac{1}{c}(\vec{u}_r \times \vec{E})\).

En champ lointain, on néglige les termes en \(1/r^2\) et supérieurs. Pour \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\), la composante principale en \(1/r\) est \(B_\phi\). \(B_\phi = \frac{1}{r}[\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}]\). (Utilisant la composante \(\vec{u}_\phi\) du rotationnel). Pour \(\vec{E}\), on utilise \(\vec{E} \approx -\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\) en champ lointain (la contribution de \(-\vec{\nabla}V\) se simplifie ou est du même ordre). Plus rigoureusement, \(E_\theta \approx - \frac{\partial A_\theta}{\partial t}\) et \(E_\phi \approx - \frac{\partial A_\phi}{\partial t}\) (en négligeant les termes de \(\vec{\nabla}V\) qui donnent des composantes en \(1/r^2\)).

Calcul (champ lointain) :

Calcul de \(\vec{B}\) : Des expressions de \(A_r\) et \(A_\theta\), on a : \(rA_\theta = \frac{\mu_0 \omega p_0 \sin\theta}{4\pi} \sin(\omega t - kr)\). \(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} = \frac{\mu_0 \omega p_0 \sin\theta}{4\pi} (-k \cos(\omega t - kr))\). \(\frac{\partial A_r}{\partial\theta} = -\frac{\mu_0 \omega p_0}{4\pi r} (-\sin\theta) \sin(\omega t - kr) - \frac{\mu_0 \omega p_0 \cos\theta}{4\pi r} (-k \sin\theta \frac{\partial r}{\partial \theta} \cos(\omega t - kr))\). Le terme \(\frac{\partial r}{\partial \theta}\) est nul. Donc \(\frac{\partial A_r}{\partial\theta} = \frac{\mu_0 \omega p_0 \sin\theta}{4\pi r} \sin(\omega t - kr)\).

\begin{aligned} B_\phi &\approx \frac{1}{r} \left[ -\frac{\mu_0 \omega p_0 k \sin\theta}{4\pi} \cos(\omega t - kr) - \frac{\mu_0 \omega p_0 \sin\theta}{4\pi r} \sin(\omega t - kr) \right] \\ &\approx -\frac{\mu_0 \omega p_0 k \sin\theta}{4\pi r} \cos(\omega t - kr) \quad (\text{terme en } 1/r) \\ &\approx -\frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi c r} \cos(\omega t - kr) \end{aligned}

Les autres composantes \(B_r, B_\theta\) sont nulles ou négligeables en \(1/r\).

Calcul de \(\vec{E}\) : En champ lointain, \(\vec{E} \approx c (\vec{B} \times \vec{u}_r)\). Puisque \(\vec{B} = B_\phi \vec{u}_\phi\), alors \(\vec{E} \approx c B_\phi (\vec{u}_\phi \times \vec{u}_r) = c B_\phi (-\vec{u}_\theta) = -c B_\phi \vec{u}_\theta\).

\begin{aligned} E_\theta &\approx -c B_\phi \\ &\approx -c \left( -\frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi c r} \cos(\omega t - kr) \right) \\ &\approx \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi r} \cos(\omega t - kr) \end{aligned}

On peut vérifier que \(\mu_0 = 1/(\varepsilon_0 c^2)\). Donc \(E_\theta \approx \frac{\omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r} \cos(\omega t - kr)\).

Les autres composantes \(E_r, E_\phi\) sont nulles ou négligeables en \(1/r\).

Résultat Question 3 : En champ lointain :

\(\vec{B} \approx -\frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi c r} \cos(\omega t - kr) \vec{u}_\phi\)
\(\vec{E} \approx \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi r} \cos(\omega t - kr) \vec{u}_\theta = \frac{\omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r} \cos(\omega t - kr) \vec{u}_\theta\)

Quiz Intermédiaire 2 : Dans la zone de rayonnement d'un dipôle de Hertz, les champs E et B sont :

Parallèles entre eux.
Perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.
Principalement longitudinaux.
Nuls.

Question 4 : Vecteur de Poynting Moyen \(\langle \vec{\Pi} \rangle\)

Principe :

Le vecteur de Poynting instantané est \(\vec{\Pi} = \vec{E} \times \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})\). Le vecteur de Poynting moyen est \(\langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{H}}^*)\) en notation complexe, ou la moyenne temporelle de \(\vec{\Pi}\) sur une période. Pour les champs réels trouvés : \(\vec{E} = E_\theta \vec{u}_\theta\) et \(\vec{B} = B_\phi \vec{u}_\phi\). \(\vec{E} \times \vec{B} = E_\theta B_\phi (\vec{u}_\theta \times \vec{u}_\phi) = E_\theta B_\phi \vec{u}_r\). La moyenne de \(\cos^2(\omega t - kr)\) sur une période est \(1/2\).

Calcul :

\begin{aligned} E_\theta B_\phi &= \left( \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi r} \cos(\omega t - kr) \right) \left( -\frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi c r} \cos(\omega t - kr) \right) \\ &= -\frac{\mu_0^2 \omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{(4\pi)^2 c r^2} \cos^2(\omega t - kr) \end{aligned}

Pour le vecteur de Poynting, \(\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (E_\theta \vec{u}_\theta \times B_\phi \vec{u}_\phi) = \frac{1}{\mu_0} E_\theta B_\phi \vec{u}_r\). En utilisant les amplitudes \(E_0 = \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi r}\) et \(B_0 = \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi c r}\) (où \(B_0 = E_0/c\)). \(\Pi_r = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cos^2(\omega t - kr) = \frac{1}{\mu_0 c} E_0^2 \cos^2(\omega t - kr)\).

\begin{aligned} \langle \Pi_r \rangle &= \frac{1}{\mu_0 c} \left( \frac{\mu_0 \omega^2 p_0 \sin\theta}{4\pi r} \right)^2 \langle \cos^2(\omega t - kr) \rangle \\ &= \frac{1}{\mu_0 c} \frac{\mu_0^2 \omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{(4\pi)^2 r^2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{32\pi^2 c r^2} \end{aligned}

En utilisant \(\mu_0 = 1/(\varepsilon_0 c^2)\), on peut écrire \(\langle \Pi_r \rangle = \frac{\omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2}\).

Résultat Question 4 : \(\langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{32\pi^2 c r^2} \vec{u}_r\).

Question 5 : Puissance Moyenne Totale Rayonnée \(\langle P_{\text{ray}} \rangle\)

Principe :

La puissance moyenne totale rayonnée est obtenue en intégrant le flux du vecteur de Poynting moyen à travers une surface fermée entourant le dipôle, typiquement une sphère de rayon \(r\). L'élément de surface en coordonnées sphériques est \(d\vec{S} = r^2 \sin\theta d\theta d\phi \vec{u}_r\).

Formule(s) utilisée(s) :

\langle P_{\text{ray}} \rangle = \oint_S \langle \vec{\Pi} \rangle \cdot d\vec{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \langle \Pi_r \rangle r^2 \sin\theta d\theta d\phi

Calcul :

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \left( \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2 \sin^2\theta}{32\pi^2 c r^2} \right) r^2 \sin\theta d\theta \\ &= 2\pi \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{32\pi^2 c} \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta \\ &= \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{16\pi c} \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta \end{aligned}

On a \(\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \int_0^\pi (1-\cos^2\theta)\sin\theta d\theta\). Posons \(u = \cos\theta\), \(du = -\sin\theta d\theta\). Pour \(\theta=0, u=1\). Pour \(\theta=\pi, u=-1\).

\begin{aligned} \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta &= \int_1^{-1} (1-u^2)(-du) \\ &= \int_{-1}^1 (1-u^2)du \\ &= \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_{-1}^1 \\ &= \left(1-\frac{1}{3}\right) - \left(-1+\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{16\pi c} \times \frac{4}{3} \\ &= \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{12\pi c} \end{aligned}

En utilisant \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\) et \(k=\omega/c\). On a \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\omega^4 p_0^2}{12\pi \varepsilon_0 c^3}\).

Résultat Question 5 : \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{12\pi c} = \frac{\omega^4 p_0^2}{12\pi \varepsilon_0 c^3}\). Avec les valeurs numériques : \(p_0 = 10^{-10} \, \text{C} \cdot \text{m}\), \(\omega = 3 \times 10^9 \, \text{rad/s}\), \(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\), \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\).

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) (3 \times 10^9 \, \text{rad/s})^4 (10^{-10} \, \text{C} \cdot \text{m})^2}{12\pi (3 \times 10^8 \, \text{m/s})} \\ &= \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 81 \times 10^{36} \times 10^{-20}}{12\pi \times 3 \times 10^8} \, \text{W} \\ &= \frac{81 \times 10^{-7} \times 10^{36} \times 10^{-20}}{3 \times 3 \times 10^8} \, \text{W} \\ &= \frac{81 \times 10^{9}}{9 \times 10^8} \, \text{W} \\ &= 9 \times 10 \, \text{W} \\ &= 90 \, \text{W} \end{aligned}

La formule de Larmor pour un dipôle \(p_0\) est \(\langle P \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12 \pi c}\). Si le dipôle est \(I(t) = I_0 \cos(\omega t)\) sur une longueur \(dl\), alors le moment dipolaire est \(p(t) = q(t) dl\), et \(I(t) = dq/dt\). Donc \(q(t) = (I_0/\omega) \sin(\omega t)\). L'amplitude du moment dipolaire est \(p_0 = (I_0/\omega) dl\). Alors \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\mu_0 \omega^4 ((I_0/\omega) dl)^2}{12\pi c} = \frac{\mu_0 \omega^2 (I_0 dl)^2}{12\pi c}\). Avec \(p_0 = 10^{-10} \, \text{C} \cdot \text{m}\), \(\omega = 3 \times 10^9 \, \text{rad/s}\), le calcul de \(90 \, \text{W}\) est correct avec les données fournies pour \(p_0\).

Question 6 : Résistance de Rayonnement \(R_{\text{ray}}\)

Principe :

La résistance de rayonnement \(R_{\text{ray}}\) est une résistance fictive qui dissiperait par effet Joule la même puissance que celle rayonnée par le dipôle, si elle était parcourue par un courant efficace \(I_{\text{eff}}\). \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = R_{\text{ray}} I_{\text{eff}}^2\). Avec \(I_{\text{eff}} = I_0/\sqrt{2}\). On a utilisé \(p_0\) directement. Si on relie \(p_0\) à \(I_0 dl\) par \(p_0 = (I_0/\omega) dl\)). Alors \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\mu_0 \omega^4 (I_0 dl / \omega)^2}{12\pi c} = \frac{\mu_0 \omega^2 (I_0 dl)^2}{12\pi c}\).

Formule(s) utilisée(s) :

\begin{aligned} R_{\text{ray}} &= \frac{\langle P_{\text{ray}} \rangle}{I_{\text{eff}}^2} \\ &= \frac{2 \langle P_{\text{ray}} \rangle}{I_0^2} \\ &= \frac{2}{I_0^2} \frac{\mu_0 \omega^2 (I_0 dl)^2}{12\pi c} \\ &= \frac{\mu_0 \omega^2 (dl)^2}{6\pi c} \end{aligned}

On peut aussi exprimer \(R_{\text{ray}}\) en utilisant \(k=\omega/c = 2\pi/\lambda\):

\begin{aligned} R_{\text{ray}} &= \frac{\mu_0 (kc)^2 (dl)^2}{6\pi c} \\ &= \frac{\mu_0 c k^2 (dl)^2}{6\pi} \\ &= \frac{\mu_0 c (2\pi/\lambda)^2 (dl)^2}{6\pi} \\ &= \frac{4\pi^2 \mu_0 c (dl)^2}{6\pi \lambda^2} \\ &= \frac{2\pi \mu_0 c}{3} \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \end{aligned}

Sachant que \(Z_0 = \mu_0 c = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377 \, \Omega\) (impédance caractéristique du vide), alors :

\begin{aligned} R_{\text{ray}} &= \frac{2\pi Z_0}{3} \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \\ &\approx \frac{2\pi (377 \, \Omega)}{3} \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \\ &\approx 789 \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \, \Omega \end{aligned}

Ceci est pour un dipôle court \(dl \ll \lambda\). Dans notre cas, \(p_0\) est donné, et on n'a pas \(I_0\) ou \(dl\) séparément. On doit utiliser \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = 90 \, \text{W}\). Il faut une valeur pour \(I_0\) pour calculer \(R_{\text{ray}}\). L'énoncé est un peu ambigu car il donne \(p_0\) mais demande \(R_{\text{ray}}\) en fonction de \(I_0\). Supposons que le \(p_0\) donné correspond à un certain \(I_0 dl\). Si on prend la définition \(p_0 = (I_0/\omega)dl\), alors \(I_0 dl = p_0 \omega\). \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\mu_0 \omega^2 (p_0 \omega)^2}{12\pi c} = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{12\pi c}\). C'est la formule utilisée. Pour calculer \(R_{\text{ray}}\), il faut \(I_0\). L'énoncé ne le fournit pas. On peut exprimer \(R_{\text{ray}}\) en fonction de \(dl\) et \(\lambda\). \(\lambda \approx 0.628 \, \text{m}\). Si on suppose une valeur pour \(dl\), par exemple \(dl = \lambda/10 = 0.0628 \, \text{m}\). Alors \(R_{\text{ray}} \approx 789 (1/10)^2 = 7.89 \, \Omega\). Et :

\begin{aligned} I_0 &= \frac{p_0 \omega}{dl} \\ &= \frac{10^{-10} \, \text{C} \cdot \text{m} \times 3 \times 10^9 \, \text{rad/s}}{0.0628 \, \text{m}} \\ &= \frac{0.3 \, \text{C/s}}{0.0628} \\ &\approx 4.77 \, \text{A} \end{aligned}

Alors \(I_{\text{eff}} = 4.77/\sqrt{2} \approx 3.37 \, \text{A}\).

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= R_{\text{ray}} I_{\text{eff}}^2 \\ &= (7.89 \, \Omega) \times (3.37 \, \text{A})^2 \\ &\approx (7.89 \, \Omega) \times 11.36 \, \text{A}^2 \\ &\approx 89.6 \, \text{W} \end{aligned}

Ceci est cohérent. Puisque l'exercice ne donne pas \(I_0\) ou \(dl\), on ne peut pas calculer une valeur numérique pour \(R_{\text{ray}}\) sans faire une hypothèse supplémentaire. On donnera sa formule générale en fonction de \(dl\) et \(\lambda\).

Résultat Question 6 : La résistance de rayonnement est donnée par \(R_{\text{ray}} = \frac{2\pi Z_0}{3} \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2\), où \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 120\pi \, \Omega \approx 377 \, \Omega\). Donc \(R_{\text{ray}} \approx 80\pi^2 \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \approx 789 \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \, \Omega\).
Une valeur numérique ne peut être calculée sans connaître \(dl\) (ou \(I_0\)).

Glossaire

Dipôle de Hertz: Modèle idéalisé d'un dipôle électrique oscillant de longueur infinitésimale \(dl\) parcouru par un courant \(I(t)\). C'est une source élémentaire de rayonnement électromagnétique.
Moment Dipolaire Électrique (\(\vec{p}\)): Vecteur caractérisant la séparation des charges positives et négatives dans un système. Pour un dipôle de deux charges \(+q\) et \(-q\) séparées par \(\vec{dl}\), \(\vec{p} = q \vec{dl}\). Pour un dipôle oscillant, \(p(t) = p_0 \cos(\omega t)\).
Potentiels Retardés: Potentiels scalaire (\(V\)) et vecteur (\(\vec{A}\)) à un point et à un instant \(t\), dus à des sources situées à une distance \(r\), évaluées à un instant antérieur \(t' = t - r/c\) pour tenir compte du temps de propagation fini des interactions électromagnétiques.
Zone de Rayonnement (Champ Lointain): Région de l'espace éloignée de la source (\(r \gg \lambda\) et \(r \gg dl\)) où les champs électromagnétiques se comportent comme des ondes planes sphériques et où les termes en \(1/r\) dominent.
Vecteur de Poynting (\(\vec{\Pi}\)): Vecteur représentant la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) d'une onde électromagnétique. \(\vec{\Pi} = \vec{E} \times \vec{H}\). Sa direction indique la direction de propagation de l'énergie.
Puissance Rayonnée: Quantité totale d'énergie électromagnétique émise par la source par unité de temps.
Résistance de Rayonnement (\(R_{\text{ray}}\)): Résistance fictive qui, si elle était parcourue par le courant d'alimentation (efficace) du dipôle, dissiperait par effet Joule une puissance égale à la puissance totale rayonnée par le dipôle.
Jauge de Lorenz: Condition imposée aux potentiels électromagnétiques (\(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0\)) qui simplifie les équations de Maxwell et découple les équations d'onde pour \(V\) et \(\vec{A}\).