Rayonnement d'un Dipôle Oscillant

Contexte : Le dipôle oscillantSource électromagnétique la plus simple, modélisée par un segment de courant électrique de longueur infinitésimale. C'est le bloc de construction des antennes., ou dipôle de Hertz.

En électromagnétisme, la source la plus fondamentale d'ondes électromagnétiques est le dipôle oscillant. Il peut être visualisé comme une petite antenne filaire dans laquelle un courant sinusoïdal circule. Bien que simple, ce modèle permet de comprendre les principes de base de l'émission, de la propagation et des caractéristiques des ondes radio, radar, et de la lumière. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des champs rayonnés, de la puissance émise et de la manière dont cette énergie est distribuée dans l'espace.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations de Maxwell dans le contexte du rayonnement, en utilisant l'approximation du champ lointain pour simplifier les calculs et extraire les propriétés physiques essentielles de l'onde rayonnée.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le modèle du dipôle de Hertz.
Calculer les champs électrique et magnétique dans la zone de rayonnement (champ lointain).
Déterminer le vecteur de PoyntingVecteur qui représente la direction et la densité de flux d'énergie d'une onde électromagnétique. et la puissance totale rayonnée.
Analyser et interpréter le diagramme de rayonnementReprésentation graphique de la manière dont la puissance est rayonnée par une antenne dans différentes directions. d'une antenne.

Données de l'étude

On considère un dipôle de Hertz de longueur \(dl\), placé à l'origine d'un système de coordonnées sphériques \((r, \theta, \phi)\) et orienté selon l'axe \(z\). Il est parcouru par un courant sinusoïdal \( I(t) = I_0 \cos(\omega t) \).

Modèle du Dipôle de Hertz

Paramètre	Symbole	Valeur
Amplitude du courant	\(I_0\)	2 \(\text{A}\)
Fréquence	\(f\)	150 \(\text{MHz}\)
Longueur du dipôle	\(dl\)	1 \(\text{cm}\)
Impédance du vide	\(\eta_0\)	120\(\pi\) \(\text{Ω} \approx 377 \, \text{Ω}\)
Vitesse de la lumière	\(c\)	\(3 \times 10^8\) \(\text{m/s}\)

Questions à traiter

Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) et le nombre d'onde \(k\). Vérifier l'hypothèse du dipôle court (\(dl \ll \lambda\)).
Donner les expressions des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) en champ lointain (zone de rayonnement).
Calculer le vecteur de Poynting moyen \(\langle\vec{S}\rangle\).
En déduire la puissance totale moyenne \(\langle P_{\text{ray}} \rangle\) rayonnée par le dipôle.
Décrire et tracer le diagramme de rayonnement de la puissance.

Les bases sur le Rayonnement Dipolaire

Le rayonnement d'un dipôle oscillant est calculé à partir des équations de Maxwell en utilisant les potentiels retardés. Dans la zone de rayonnement (ou champ lointain), où la distance \(r\) est beaucoup plus grande que la longueur d'onde (\(r \gg \lambda\)), les expressions des champs se simplifient grandement.

Champs en Champ Lointain
Pour un dipôle de Hertz orienté selon \(z\), les seuls champs non nuls en champ lointain sont orthoradiaux (perpendiculaires à la direction de propagation \(\vec{u}_r\)) : \[ E_{\theta} = \eta_0 H_{\phi} = j \frac{I_0 dl}{2\lambda} \eta_0 \frac{e^{-jkr}}{r} \sin(\theta) \] En notation réelle (temporelle), cela devient : \[ H_{\phi}(r,\theta,t) = - \frac{I_0 dl \, k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r} \sin(\omega t - kr) \] \[ E_{\theta}(r,\theta,t) = - \eta_0 \frac{I_0 dl \, k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r} \sin(\omega t - kr) \]

Correction : Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Question 1 : Calcul de \(\lambda\), \(k\) et vérification de l'hypothèse

Principe

Le concept physique ici est de caractériser l'onde électromagnétique par sa périodicité spatiale (longueur d'onde \(\lambda\)) et son nombre d'oscillations par unité de distance (nombre d'onde \(k\)). Il est crucial de vérifier que la taille de la source (\(dl\)) est bien plus petite que la longueur d'onde, car c'est cette condition qui valide l'utilisation du modèle simplifié du dipôle de Hertz.

Mini-Cours

Toute onde progressive périodique est caractérisée par sa fréquence \(f\) (oscillations par seconde) et sa vitesse de propagation \(c\). La distance parcourue par l'onde pendant une période \(T=1/f\) est la longueur d'onde \(\lambda = c \cdot T = c/f\). Le nombre d'onde \(k\) est une mesure de la "densité" spatiale de l'onde, représentant le nombre de radians par unité de distance ; il est donc défini par \(k = 2\pi/\lambda\).

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul complexe en électromagnétisme, commencez toujours par calculer la longueur d'onde. Cette grandeur vous donne immédiatement une échelle physique du problème et vous permet de vérifier la validité des approximations (dipôle court, champ lointain, etc.) qui simplifieront énormément la suite.

Normes

Il ne s'agit pas de normes réglementaires, mais de principes fondamentaux de la physique des ondes. Les relations entre fréquence, vitesse et longueur d'onde sont universelles pour toutes les ondes se propageant dans un milieu homogène.

Formule(s)

Relation Vitesse-Fréquence-Longueur d'onde

\lambda = \frac{c}{f}

Définition du nombre d'onde

k = \frac{2\pi}{\lambda}

Hypothèses

L'onde se propage dans le vide, sa vitesse est donc \(c = 3 \times 10^8\) \(\text{m/s}\).
Le milieu est non-dispersif, ce qui signifie que \(c\) ne dépend pas de la fréquence.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	150	\(\text{MHz}\)
Vitesse de la lumière	\(c\)	\(3 \times 10^8\)	\(\text{m/s}\)
Longueur du dipôle	\(dl\)	1	\(\text{cm}\)

Astuces

Pour les fréquences radio, une astuce de calcul mental est : \(\lambda (\text{m}) \approx 300 / f (\text{MHz})\). Ici, \(300 / 150 = 2\) m. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Échelle Antenne vs. Onde

Calcul(s)

Conversion de la fréquence

f = 150 \text{ MHz} = 150 \times 10^6 \text{ Hz}

Conversion de la longueur

dl = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}

Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\)

\begin{aligned} \lambda &= \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{150 \times 10^6 \text{ Hz}} \\ &= 2 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du nombre d'onde \(k\)

\begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{2 \text{ m}} \\ &= \pi \text{ rad/m} \\ &\approx 3.14 \text{ rad/m} \end{aligned}

Vérification de l'hypothèse

On compare \(dl\) à \(\lambda\). Le rapport \(dl/\lambda = 0.01/2 = 0.005\). L'hypothèse du dipôle court, souvent prise comme \(dl \le \lambda/10\), est largement vérifiée car \(0.005 \le 0.1\).

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Longueur d'Onde Calculée

Réflexions

Une longueur d'onde de 2 mètres correspond à la bande de fréquence VHF, utilisée par exemple pour la radio FM et la télévision. Le fait que notre antenne de 1 cm soit très petite par rapport à cette longueur d'onde est typique des antennes embarquées (ex: dans un téléphone portable pour la FM) et justifie pleinement l'utilisation du modèle du dipôle de Hertz.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les unités. Un calcul avec \(f=150\) et \(dl=1\) donnerait un résultat complètement faux. Toujours convertir en Hz, m, A, etc. avant d'appliquer les formules.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : La longueur d'onde \(\lambda\) est l'échelle de distance naturelle d'un problème d'ondes.
Formule Essentielle : \(\lambda = c/f\).
Point de Vigilance Majeur : La cohérence des unités est non-négociable.

Le saviez-vous ?

Le concept de "longueur d'onde" a été crucial pour unifier l'optique et l'électromagnétisme. James Clerk Maxwell a prédit que la lumière était une onde électromagnétique en montrant que sa vitesse calculée (\(c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\)) correspondait à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement.

FAQ

Résultat Final

La longueur d'onde est \(\lambda = 2\) \(\text{m}\), le nombre d'onde est \(k = \pi\) \(\text{rad/m}\), et l'hypothèse du dipôle court est validée.

A vous de jouer

Si l'on utilisait une fréquence de 3 GHz (typique du Wi-Fi), quelle serait la nouvelle longueur d'onde ? L'hypothèse du dipôle de 1 cm serait-elle toujours valable ?

Question 2 : Expressions des champs en champ lointain

Principe

Le concept physique est que le courant oscillant dans le dipôle agit comme une source qui génère des champs électrique et magnétique se propageant dans l'espace. En "champ lointain", loin de la source, ces champs s'organisent en une onde électromagnétique simple (transverse) dont l'amplitude diminue avec la distance.

Mini-Cours

Les champs rayonnés en champ lointain ont plusieurs propriétés fondamentales : 1) Ils sont transverses : \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) sont perpendiculaires à la direction de propagation \(\vec{u}_r\). 2) Ils sont perpendiculaires entre eux. 3) Le rapport de leurs amplitudes est constant et égal à l'impédance du milieu : \(|\vec{E}|/|\vec{H}| = \eta_0\). 4) Leurs amplitudes décroissent en \(1/r\), assurant que l'énergie se conserve.

Remarque Pédagogique

Ne cherchez pas à mémoriser les formules complexes par cœur. Concentrez-vous sur leur structure : la dépendance en \(\sin(\theta)\) (qui dicte la direction du rayonnement), la décroissance en \(1/r\) (pour l'amplitude), et le terme de propagation \( \sin(\omega t - kr) \). Comprendre cette structure est plus important que la constante multiplicative exacte.

Formule(s)

Champ magnétique

H_{\phi}(r,\theta,t) = - \frac{I_0 dl \, k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r} \sin(\omega t - kr)

Champ électrique

E_{\theta}(r,\theta,t) = \eta_0 H_{\phi}(r,\theta,t)

Hypothèses

Approximation du champ lointain : on se place à une distance \(r \gg \lambda\). Cela permet de négliger les termes en \(1/r^2\) et \(1/r^3\) qui existent en champ proche.
Le milieu de propagation est le vide, linéaire, homogène et isotrope.

Schéma

Orientation des champs en champ lointain (Règle de la main droite)

Réflexions

L'onde est une onde sphérique, mais localement (en champ lointain), elle ressemble à une onde plane. Le terme \(\sin(\omega t - kr)\) montre que les champs oscillent dans le temps et se propagent dans l'espace. La dépendance en \(\sin(\theta)\) indique que l'antenne ne rayonne pas de la même manière dans toutes les directions.

Points de vigilance

Faites attention à l'orientation des vecteurs. Le champ \(\vec{E}\) est selon \(\vec{u}_\theta\), \(\vec{H}\) selon \(\vec{u}_\phi\), et la propagation selon \(\vec{u}_r\). Le trièdre \((\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\phi)\) est direct, ce qui est cohérent avec la direction du vecteur de Poynting \(\vec{E} \times \vec{H}\).

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : En champ lointain, l'onde est transverse électromagnétique (TEM).
Formule Essentielle : La structure \( \propto \frac{\sin(\theta)}{r} \sin(\omega t - kr) \).
Point de Vigilance Majeur : L'orientation mutuelle des champs et de la propagation.

Le saviez-vous ?

Les champs en "champ proche" (près de l'antenne) sont beaucoup plus complexes. Ils contiennent des termes en \(1/r^2\) (champ d'induction) et \(1/r^3\) (champ électrostatique) qui ne transportent pas d'énergie nette mais stockent de l'énergie réactive autour de l'antenne.

Résultat Final

En notation temporelle, les champs s'écrivent : \[ \vec{H}(r, \theta, t) = - \frac{I_0 dl \, k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r} \sin(\omega t - kr) \, \vec{u}_{\phi} \] \[ \vec{E}(r, \theta, t) = \eta_0 H_{\phi}(r, \theta, t) \, \vec{u}_{\theta} \]

Question 3 : Calcul du vecteur de Poynting moyen

Principe

Le vecteur de Poynting, \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\), représente la densité de puissance instantanée et la direction du flux d'énergie d'une onde électromagnétique. Puisque les champs oscillent, on s'intéresse à sa valeur moyenne dans le temps, \(\langle\vec{S}\rangle\), qui représente le flux de puissance net (en W/m²).

Mini-Cours

Pour des champs sinusoïdaux, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting peut être calculée plus simplement en utilisant les notations complexes : \(\langle\vec{S}\rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\vec{E} \times \vec{H}^*)\), où \(\vec{H}^*\) est le conjugué complexe de \(\vec{H}\). En champ lointain, \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) sont perpendiculaires et liés par \(E = \eta_0 H\), la formule se simplifie en \(\langle\vec{S}\rangle = \frac{1}{2\eta_0} |\vec{E}|^2 \vec{u}_r\), pointant toujours dans la direction de propagation.

Remarque Pédagogique

Le calcul de la moyenne temporelle est crucial. Le vecteur de Poynting instantané oscille à deux fois la fréquence de l'onde (\(2\omega\)). La moyenne sur une période annule ces oscillations pour ne garder que la puissance réellement transportée. Pensez-y comme au calcul de la puissance efficace en électricité.

Normes

Ce calcul est une application directe du Théorème de Poynting, qui découle des équations de Maxwell et exprime la conservation de l'énergie dans un volume contenant des champs électromagnétiques.

Formule(s)

Vecteur de Poynting moyen (notation complexe)

\langle\vec{S}\rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\vec{E} \times \vec{H}^*)

Formule simplifiée en champ lointain

\langle\vec{S}\rangle = \frac{1}{2\eta_0} |E_{\text{max}}|^2 \vec{u}_r

Hypothèses

On se place en champ lointain, où l'onde est localement plane et TEM (Transverse Électro-Magnétique).
Le milieu est le vide, un milieu sans pertes.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour ce calcul est l'expression de l'amplitude du champ électrique, trouvée à la question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur
Amplitude du champ électrique	\(\|E_{\theta}\|\)	\(\eta_0 \frac{I_0 dl k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r}\)

Astuces

Puisque \(E = \eta_0 H\) en champ lointain, on peut aussi écrire \(\langle S \rangle = \frac{\eta_0}{2} |H|^2\). Utilisez la formule qui est la plus directe en fonction du champ que vous avez déjà calculé.

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre E, H et S

Calcul(s)

On commence par substituer l'amplitude du champ électrique dans la formule simplifiée du vecteur de Poynting moyen.

Calcul du vecteur de Poynting

\begin{aligned} \langle S_r \rangle &= \frac{1}{2\eta_0} \left( \eta_0 \frac{I_0 dl k^2}{4\pi} \frac{\sin(\theta)}{r} \right)^2 \\ &= \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi r} \right)^2 \sin^2(\theta) \end{aligned}

Ensuite, on remplace le nombre d'onde \(k\) par sa définition \(k=2\pi/\lambda\) pour faire apparaître la dépendance en longueur d'onde.

Expression en fonction de \(\lambda\)

\begin{aligned} \langle S_r \rangle &= \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl (2\pi/\lambda)^2}{4\pi r} \right)^2 \sin^2(\theta) \\ &= \frac{\eta_0 \pi^2}{2} \left( \frac{I_0 dl}{\lambda^2 r} \right)^2 \sin^2(\theta) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distribution de la Densité de Puissance

Réflexions

L'expression montre que l'intensité du rayonnement (W/m²) décroît en \(1/r^2\), ce qui est la loi de conservation de l'énergie pour une onde sphérique. Elle confirme également que l'intensité est maximale dans le plan équatorial (\(\theta=\pi/2\)) et nulle le long de l'axe du dipôle (\(\theta=0\)), suivant la loi en \(\sin^2(\theta)\).

Points de vigilance

Attention à bien utiliser l'amplitude (valeur maximale) du champ \(E\) dans la formule \(\frac{1}{2\eta_0}|E_{\text{max}}|^2\). Si vous utilisez la valeur RMS (efficace), la formule devient \(\frac{1}{\eta_0}|E_{\text{RMS}}|^2\).

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le vecteur de Poynting moyen \(\langle \vec{S} \rangle\) est la densité de puissance rayonnée.
Formule Essentielle : \(\langle S \rangle \propto \frac{\sin^2(\theta)}{r^2}\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le facteur 1/2 lors du passage de la notation complexe à la puissance moyenne.

Le saviez-vous ?

John Henry Poynting, qui a formulé ce théorème en 1884, était un physicien britannique. Son travail a permis de comprendre comment l'énergie est transportée par les champs électromagnétiques, une idée révolutionnaire à une époque où l'énergie était principalement vue comme mécanique ou thermique.

FAQ

Résultat Final

Le vecteur de Poynting moyen est purement radial : \(\langle\vec{S}\rangle = \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi r} \right)^2 \sin^2(\theta) \, \vec{u}_r\).

A vous de jouer

À quelle distance \(r\) du dipôle, dans la direction de rayonnement maximal (\(\theta=\pi/2\)), la densité de puissance est-elle de 1 µW/m² ?

Question 4 : Calcul de la puissance totale rayonnée

Principe

Le concept physique est la conservation de l'énergie. La puissance totale émise par la source doit traverser n'importe quelle surface fermée l'entourant. On calcule cette puissance en intégrant le flux d'énergie (le vecteur de Poynting) sur toute la surface d'une sphère.

Mini-Cours

En coordonnées sphériques, un élément de surface infinitésimal \(d\vec{A}\) sur une sphère de rayon \(r\) est orienté radialement (\(d\vec{A} = dA \, \vec{u}_r\)). Sa surface est le produit des longueurs des arcs infinitésimaux : \( (r d\theta) \times (r \sin\theta d\phi) \). Ainsi, \(dA = r^2 \sin(\theta) d\theta d\phi\). L'intégrale de surface sur la sphère complète se fait en variant \(\theta\) de 0 à \(\pi\) et \(\phi\) de 0 à \(2\pi\).

Remarque Pédagogique

Remarquez un point clé : le vecteur de Poynting décroît en \(1/r^2\), mais l'élément de surface \(dA\) croît en \(r^2\). Lors de l'intégration, ces deux termes se compensent. Le résultat final, la puissance totale, est donc indépendant du rayon \(r\) de la sphère sur laquelle on calcule. C'est une magnifique illustration de la conservation de l'énergie !

Normes

Ce calcul est une application directe du Théorème de Poynting sous sa forme intégrale, qui est une reformulation de la loi de conservation de l'énergie pour les champs électromagnétiques.

Formule(s)

Intégrale de surface de la puissance

\langle P_{\text{ray}} \rangle = \oint_{S} \langle\vec{S}\rangle \cdot d\vec{A} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \langle S_r \rangle \, r^2 \sin(\theta) \, d\theta \, d\phi

Hypothèses

On intègre sur une sphère de grand rayon centrée sur le dipôle (on est en champ lointain partout sur la sphère).
Aucune énergie n'est absorbée ou dissipée dans le vide.

Donnée(s)

Ce calcul utilise l'expression du vecteur de Poynting radial moyen \(\langle S_r \rangle\), déterminée à la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur
Poynting radial moyen	\(\langle S_r \rangle\)	\(\frac{\eta_0}{2} ( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi r} )^2 \sin^2(\theta)\)

Astuces

L'intégrale de \(\sin^3(\theta)\) de 0 à \(\pi\) est un résultat classique qui vaut \(4/3\). Connaître cette valeur par cœur peut vous faire gagner du temps lors des examens.

Schéma (Avant les calculs)

Intégration sur la surface d'une sphère

Calcul(s)

On écrit l'intégrale de la puissance en substituant l'expression de \(\langle S_r \rangle\) et de l'élément de surface \(d\vec{A} = r^2\sin(\theta)d\theta d\phi \, \vec{u}_r\).

Substitution dans l'intégrale

\langle P_{\text{ray}} \rangle = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi r} \right)^2 \sin^2(\theta) \right] r^2 \sin(\theta) \, d\theta \, d\phi

On regroupe les termes constants et on sépare les intégrales sur \(\phi\) et \(\theta\), car elles sont indépendantes.

Séparation des variables

\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi} \right)^2 \left( \int_{0}^{2\pi} d\phi \right) \left( \int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta) \, d\theta \right)

On évalue l'intégrale sur l'angle azimutal \(\phi\), qui est triviale.

Calcul de l'intégrale sur \(\phi\)

\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi

On évalue l'intégrale sur l'angle polaire \(\theta\) en utilisant la relation \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\).

Calcul de l'intégrale sur \(\theta\)

\begin{aligned} \int_0^\pi \sin^3(\theta) d\theta &= \int_0^\pi (1-\cos^2(\theta))\sin(\theta) d\theta \\ &= \left[-\cos(\theta) + \frac{\cos^3(\theta)}{3}\right]_0^\pi \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}

On rassemble tous les termes pour obtenir l'expression littérale finale de la puissance rayonnée.

Expression littérale finale

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= \frac{\eta_0}{2} \left( \frac{I_0 dl k^2}{4\pi} \right)^2 (2\pi) \left( \frac{4}{3} \right) \\ &= \frac{\eta_0 k^4 (I_0 dl)^2}{12\pi} \end{aligned}

Enfin, on procède à l'application numérique en utilisant les valeurs de l'énoncé et des questions précédentes.

Application numérique

\begin{aligned} \langle P_{\text{ray}} \rangle &= 80 \pi^2 \left( \frac{I_0 dl}{\lambda} \right)^2 \\ &= 80 \pi^2 \left( \frac{2 \text{ A} \cdot 0.01 \text{ m}}{2 \text{ m}} \right)^2 \\ &= 80 \pi^2 (0.01)^2 \\ &\approx 0.079 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Flux de Puissance Totale Rayonnée

Réflexions

La puissance rayonnée est d'environ 79 mW. C'est une valeur très faible. Cela confirme que les dipôles électriquement courts (\(dl \ll \lambda\)) sont des radiateurs très inefficaces. La puissance rayonnée est proportionnelle au carré du courant (\(I_0^2\)) et, plus important encore, au carré de la fréquence (\(f^2\)), car \(\langle P_{\text{ray}} \rangle \propto (dl/\lambda)^2 \propto (f \cdot dl)^2\). Cela signifie que les antennes sont beaucoup plus efficaces à haute fréquence.

Points de vigilance

L'élément de surface en coordonnées sphériques contient un terme \(\sin(\theta)\). L'oublier est une erreur très fréquente qui fausse complètement l'intégrale. Assurez-vous de toujours l'inclure lorsque vous intégrez sur une sphère.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La puissance totale est le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée.
Formule Essentielle : \(\langle P_{\text{ray}} \rangle \propto (I_0 dl / \lambda)^2\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le terme \(r^2 \sin(\theta)\) dans l'élément de surface \(d\vec{A}\).

Le saviez-vous ?

On peut définir une "résistance de rayonnement" \(R_{\text{rad}}\) pour une antenne via la relation \(\langle P_{\text{ray}} \rangle = \frac{1}{2} R_{\text{rad}} I_0^2\). Pour un dipôle de Hertz, \(R_{\text{rad}} = 80 \pi^2 (dl/\lambda)^2\). Pour notre antenne, \(R_{\text{rad}} \approx 0.04 \, \Omega\), ce qui est extrêmement faible, d'où la mauvaise efficacité.

FAQ

Résultat Final

La puissance totale moyenne rayonnée est \(\langle P_{\text{ray}} \rangle \approx 79\) \(\text{mW}\).

A vous de jouer

Si on double l'amplitude du courant \(I_0\) (en passant à 4 A), par quel facteur la puissance totale rayonnée sera-t-elle multipliée ?

Question 5 : Diagramme de rayonnement

Principe

Le diagramme de rayonnement montre la variation de l'intensité du rayonnement en fonction de la direction. Pour le dipôle, la puissance rayonnée dans une direction \((\theta, \phi)\) est proportionnelle à \(\sin^2(\theta)\).

Mini-Cours

Le diagramme de rayonnement est un outil fondamental en ingénierie des antennes. Il représente la "signature" spatiale de l'antenne. On le trace souvent en coordonnées polaires pour une visualisation intuitive. La fonction \(F(\theta) = \sin^2(\theta)\) est la "fonction de directivité" de la puissance pour un dipôle de Hertz. Une antenne isotrope (qui n'existe pas en pratique) aurait un diagramme de rayonnement sphérique.

Schéma

Diagramme de rayonnement en 2D et 3D

Réflexions

La dépendance en \(\sin^2(\theta)\) signifie que :

Le rayonnement est nul le long de l'axe du dipôle (\(\theta=0\) et \(\theta=\pi\)). C'est logique : si vous regardez l'antenne "de bout", vous ne voyez pas la variation du courant.
Le rayonnement est maximal dans le plan équatorial, perpendiculaire au dipôle (\(\theta=\pi/2\)). C'est la direction où l'on voit le mieux "l'agitation" des charges.

Points de vigilance

Ne pas confondre le diagramme de rayonnement du champ (en \(\sin(\theta)\)) avec celui de la puissance (en \(\sin^2(\theta)\)). Le diagramme de puissance est plus "écrasé" car le carré accentue les maxima et les minima. De plus, le diagramme 2D montré ici est une coupe ; la forme réelle en 3D est obtenue par révolution de cette coupe autour de l'axe z.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Le diagramme de rayonnement visualise la directivité de l'antenne.
Forme Essentielle : Un tore (donut) avec un rayonnement nul aux pôles et maximal à l'équateur.
Point de Vigilance Majeur : La puissance varie en \(\sin^2(\theta)\), pas en \(\sin(\theta)\).

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez les curseurs pour voir comment la fréquence et l'amplitude du courant influencent la longueur d'onde et la puissance totale rayonnée par le dipôle. Le graphique montre le diagramme de rayonnement normalisé.

Paramètres d'Entrée

Fréquence (MHz) 150 MHz

Amplitude du courant I₀ (A) 2.0 A

Résultats Clés

Longueur d'onde λ (m) -

Puissance Rayonnée (W) -

Glossaire

Dipôle de Hertz (ou dipôle oscillant): Modèle idéalisé d'une source d'ondes électromagnétiques, constitué d'un élément de courant de longueur infinitésimale \(Idl\). C'est le bloc de construction fondamental pour l'étude des antennes.
Zone de rayonnement (Champ Lointain): Région de l'espace suffisamment éloignée de l'antenne (\(r \gg \lambda\)) où l'onde électromagnétique peut être considérée comme une onde plane locale, avec les champs E et H transverses et en phase.
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\)): Vecteur dont le flux à travers une surface représente la puissance électromagnétique traversant cette surface. Il est défini par \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\) et son unité est le W/m².
Diagramme de Rayonnement: Représentation graphique de la distribution spatiale de la puissance rayonnée par une antenne. Il montre les directions de rayonnement maximal et les directions où le rayonnement est nul.
Impédance du vide (\(\eta_0\)): Rapport entre l'amplitude du champ électrique et celle du champ magnétique d'une onde plane se propageant dans le vide. Elle vaut environ 377 \(\Omega\).