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Exercices Électricité

Système Triphasé avec Charges Mixtes

Analyse d'un Système Triphasé avec Charges Mixtes

Équilibre et Déséquilibre : Analyse d'un Système Triphasé avec Charges Mixtes

Le Triphasé : Puissance et Polyvalence !

Les systèmes triphasés sont la colonne vertébrale de la distribution d'énergie électrique industrielle et commerciale en raison de leur efficacité et de la puissance constante qu'ils peuvent fournir. Dans la pratique, ces systèmes alimentent souvent une variété de charges, certaines connectées en étoile (Y) et d'autres en triangle (ou delta, \(\Delta\)). Ces charges peuvent être purement résistives, inductives, capacitives, ou une combinaison. L'analyse de tels systèmes mixtes est cruciale pour comprendre la distribution des courants et des puissances.

L'Installation Industrielle de Sophie

Sophie, ingénieure électricienne, doit analyser une installation alimentée par un réseau triphasé équilibré. L'installation comprend deux charges principales : un ensemble de radiateurs (charge résistive) monté en étoile et un moteur (charge inductive) monté en triangle.

Informations sur le système :

  • Source triphasée : Tension de ligne \(V_L = 400 \, \text{Volts (V)}\), fréquence \(f = 50 \, \text{Hertz (Hz)}\). Séquence directe (ABC).
  • Charge 1 (Étoile - Y) : Résistances pures, \(R_Y = 30 \, \text{Ohms (}\text{\Omega}\text{)}\) par phase.
  • Charge 2 (Triangle - \(\Delta\)) : Impédances inductives, \(\underline{Z}_{\Delta} = (15 + j20) \, \text{Ohms (}\text{\Omega}\text{)}\) par phase.
Schéma de l'installation de Sophie
Source 400V, 50Hz L1 (A) L2 (B) L3 (C) Charge Y (Radiateurs) N RY=30Ω Charge Δ (Moteur) ZΔ (15+j20)Ω Système Triphasé avec Charges Mixtes

Les charges sont connectées aux lignes L1, L2, L3.

Questions à traiter

  1. Charge 1 (Étoile - Résistive) :
    1. Calculez la tension de phase \(V_{phY}\) aux bornes de chaque résistance de la charge étoile.
    2. Calculez le courant de phase \(I_{phY}\) dans chaque résistance. Quel est le courant de ligne \(I_{LY}\) absorbé par cette charge ?
    3. Calculez la puissance active totale \(P_Y\) consommée par la charge étoile.
    4. Quelle est la puissance réactive \(Q_Y\) consommée par la charge étoile ?
  2. Charge 2 (Triangle - Inductive) :
    1. Quelle est la tension de phase \(V_{ph\Delta}\) aux bornes de chaque impédance de la charge triangle ?
    2. Calculez l'impédance par phase \(\underline{Z}_{\Delta}\) en module et argument.
    3. Calculez le courant de phase \(\underline{I}_{ph\Delta}\) (module et argument) dans chaque impédance de la charge triangle.
    4. Calculez le courant de ligne \(I_{L\Delta}\) (module) absorbé par cette charge.
    5. Calculez la puissance active totale \(P_\Delta\) et la puissance réactive totale \(Q_\Delta\) consommées par la charge triangle.
  3. Analyse Globale du Système :
    1. Calculez la puissance active totale \(P_{tot}\) fournie par la source.
    2. Calculez la puissance réactive totale \(Q_{tot}\) fournie par la source.
    3. Calculez la puissance apparente totale \(S_{tot}\) fournie par la source.
    4. Déterminez le facteur de puissance global (PF) du système. Est-il en avance ou en retard ?
    5. Calculez le courant de ligne total \(I_{L,tot}\) (module) fourni par la source.

Correction : Analyse de l'Installation de Sophie

Question 1 : Charge 1 (Étoile - Résistive)

a) Tension de phase \(V_{phY}\)

Pour une charge équilibrée en étoile, la tension de phase est la tension de ligne divisée par \(\sqrt{3}\).

\[ \begin{aligned} V_{phY} &= \frac{V_L}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{400 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx 230.94 \, \text{V} \end{aligned} \]
b) Courant de phase \(I_{phY}\) et courant de ligne \(I_{LY}\)

Le courant de phase dans chaque résistance est \(I_{phY} = V_{phY} / R_Y\).

\[ \begin{aligned} I_{phY} &= \frac{230.94 \, \text{V}}{30 \, \text{\Omega}} \\ &\approx 7.698 \, \text{A} \end{aligned} \]

Pour une charge en étoile, le courant de ligne est égal au courant de phase : \(I_{LY} = I_{phY}\).

\[ I_{LY} \approx 7.698 \, \text{A} \]
c) Puissance active totale \(P_Y\)
\[ \begin{aligned} P_Y &= 3 \cdot V_{phY} \cdot I_{phY} \cdot \cos(\phi_Y) \quad (\text{avec } \phi_Y = 0^\circ \text{ car résistif}) \\ &= 3 \cdot (230.94 \, \text{V}) \cdot (7.698 \, \text{A}) \cdot 1 \\ &\approx 5333.33 \, \text{W} \quad (\text{ou } 5.33 \, \text{kW}) \end{aligned} \]

Alternativement : \(P_Y = \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_{LY} \cdot \cos(\phi_Y)\)

\[ \begin{aligned} P_Y &= \sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 7.698 \, \text{A} \cdot 1 \\ &\approx 5333.33 \, \text{W} \end{aligned} \]
d) Puissance réactive \(Q_Y\)

Pour une charge purement résistive, l'angle de déphasage \(\phi_Y = 0^\circ\), donc \(\sin(\phi_Y) = 0\).

\[ Q_Y = 3 \cdot V_{phY} \cdot I_{phY} \cdot \sin(\phi_Y) = 0 \, \text{VAR} \]
Résultats Charge 1 (Étoile) :
  • \(V_{phY} \approx 230.94 \, \text{V}\)
  • \(I_{LY} = I_{phY} \approx 7.698 \, \text{A}\)
  • \(P_Y \approx 5333.33 \, \text{W}\)
  • \(Q_Y = 0 \, \text{VAR}\)

Question 2 : Charge 2 (Triangle - Inductive)

a) Tension de phase \(V_{ph\Delta}\)

Pour une charge équilibrée en triangle, la tension de phase est égale à la tension de ligne.

\[ V_{ph\Delta} = V_L = 400 \, \text{V} \]
b) Impédance par phase \(\underline{Z}_{\Delta}\) (module et argument)
\[ \underline{Z}_{\Delta} = (15 + j20) \, \text{\Omega} \]
\[ \begin{aligned} |Z_{\Delta}| &= \sqrt{15^2 + 20^2} \\ &= \sqrt{225 + 400} \\ &= \sqrt{625} \\ &= 25 \, \text{\Omega} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \phi_{Z\Delta} &= \arctan\left(\frac{20}{15}\right) \\ &= \arctan(1.333) \\ &\approx 53.13^\circ \end{aligned} \]

Donc, \(\underline{Z}_{\Delta} = 25 \angle 53.13^\circ \, \text{\Omega}\).

c) Courant de phase \(\underline{I}_{ph\Delta}\)
\[ \begin{aligned} |\underline{I}_{ph\Delta}| &= \frac{V_{ph\Delta}}{|Z_{\Delta}|} \\ &= \frac{400 \, \text{V}}{25 \, \text{\Omega}} \\ &= 16 \, \text{A} \end{aligned} \]

L'angle du courant de phase est \(\phi_{Iph\Delta} = \phi_{Vph\Delta} - \phi_{Z\Delta}\). Si on prend la tension de phase comme référence (\(0^\circ\)), alors \(\phi_{Iph\Delta} = 0^\circ - 53.13^\circ = -53.13^\circ\).

\[ \underline{I}_{ph\Delta} = 16 \angle -53.13^\circ \, \text{A} \]
d) Courant de ligne \(I_{L\Delta}\)

Pour une charge équilibrée en triangle, le courant de ligne est \(\sqrt{3}\) fois le courant de phase.

\[ \begin{aligned} I_{L\Delta} &= \sqrt{3} \cdot |\underline{I}_{ph\Delta}| \\ &= \sqrt{3} \cdot 16 \, \text{A} \\ &\approx 27.71 \, \text{A} \end{aligned} \]
e) Puissances \(P_\Delta\) et \(Q_\Delta\)
\[ \begin{aligned} P_\Delta &= 3 \cdot V_{ph\Delta} \cdot |\underline{I}_{ph\Delta}| \cdot \cos(\phi_{Z\Delta}) \\ &= 3 \cdot 400 \, \text{V} \cdot 16 \, \text{A} \cdot \cos(53.13^\circ) \\ &= 3 \cdot 400 \cdot 16 \cdot 0.6 \\ &= 11520 \, \text{W} \quad (\text{ou } 11.52 \, \text{kW}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_\Delta &= 3 \cdot V_{ph\Delta} \cdot |\underline{I}_{ph\Delta}| \cdot \sin(\phi_{Z\Delta}) \\ &= 3 \cdot 400 \, \text{V} \cdot 16 \, \text{A} \cdot \sin(53.13^\circ) \\ &= 3 \cdot 400 \cdot 16 \cdot 0.8 \\ &= 15360 \, \text{VAR} \quad (\text{ou } 15.36 \, \text{kVAR}) \end{aligned} \]

Alternativement : \(P_\Delta = \sqrt{3} V_L I_{L\Delta} \cos(\phi_{Z\Delta})\) et \(Q_\Delta = \sqrt{3} V_L I_{L\Delta} \sin(\phi_{Z\Delta})\).

Résultats Charge 2 (Triangle) :
  • \(V_{ph\Delta} = 400 \, \text{V}\)
  • \(\underline{Z}_{\Delta} = 25 \angle 53.13^\circ \, \text{\Omega}\)
  • \(\underline{I}_{ph\Delta} = 16 \angle -53.13^\circ \, \text{A}\)
  • \(I_{L\Delta} \approx 27.71 \, \text{A}\)
  • \(P_\Delta = 11520 \, \text{W}\)
  • \(Q_\Delta = 15360 \, \text{VAR}\)

Question 3 : Analyse Globale du Système

a) Puissance active totale \(P_{tot}\)
\[ \begin{aligned} P_{tot} &= P_Y + P_\Delta \\ &= 5333.33 \, \text{W} + 11520 \, \text{W} \\ &= 16853.33 \, \text{W} \quad (\text{ou } 16.85 \, \text{kW}) \end{aligned} \]
b) Puissance réactive totale \(Q_{tot}\)
\[ \begin{aligned} Q_{tot} &= Q_Y + Q_\Delta \\ &= 0 \, \text{VAR} + 15360 \, \text{VAR} \\ &= 15360 \, \text{VAR} \quad (\text{ou } 15.36 \, \text{kVAR}) \end{aligned} \]
c) Puissance apparente totale \(S_{tot}\)
\[ \begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2} \\ &= \sqrt{(16853.33)^2 + (15360)^2} \\ &= \sqrt{283993877.89 + 235929600} \\ &= \sqrt{519923477.89} \\ &\approx 22801.83 \, \text{VA} \quad (\text{ou } 22.80 \, \text{kVA}) \end{aligned} \]
d) Facteur de puissance global (PF)
\[ \begin{aligned} \text{PF} &= \frac{P_{tot}}{S_{tot}} \\ &= \frac{16853.33 \, \text{W}}{22801.83 \, \text{VA}} \\ &\approx 0.739 \end{aligned} \]

Comme \(Q_{tot}\) est positive (due à la charge inductive), le facteur de puissance est en retard (inductif).

e) Courant de ligne total \(I_{L,tot}\)
\[ \begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_{L,tot} \\ I_{L,tot} &= \frac{S_{tot}}{\sqrt{3} \cdot V_L} \\ &= \frac{22801.83 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V}} \\ &\approx \frac{22801.83}{692.82} \, \text{A} \\ &\approx 32.91 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultats Analyse Globale :
  • \(P_{tot} \approx 16.85 \, \text{kW}\)
  • \(Q_{tot} = 15.36 \, \text{kVAR}\)
  • \(S_{tot} \approx 22.80 \, \text{kVA}\)
  • \(\text{PF} \approx 0.739\) (en retard)
  • \(I_{L,tot} \approx 32.91 \, \text{A}\)

Quiz Intermédiaire : Dans un système triphasé équilibré alimentant une charge purement résistive en étoile, le courant de ligne est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour une charge triphasée équilibrée connectée en triangle, la tension aux bornes de chaque phase de la charge est égale à :

2. La puissance active totale consommée par un système triphasé équilibré est donnée par \(P = \sqrt{3} V_L I_L \cos(\phi)\). Que représente \(\cos(\phi)\) ?

3. Si un système triphasé alimente une charge purement inductive et une charge purement résistive, la puissance réactive totale du système sera :

Glossaire

Système Triphasé Équilibré
Système de trois tensions alternatives de même amplitude et fréquence, déphasées de 120° les unes par rapport aux autres. Les charges sont dites équilibrées si les impédances dans chaque phase sont identiques.
Tension de Ligne (\(V_L\))
Tension entre deux conducteurs de ligne (phases) dans un système triphasé.
Tension de Phase (\(V_{ph}\))
Tension aux bornes d'une phase d'une charge ou d'une source. Pour une connexion étoile, \(V_{ph} = V_L / \sqrt{3}\). Pour une connexion triangle, \(V_{ph} = V_L\).
Courant de Ligne (\(I_L\))
Courant circulant dans un conducteur de ligne.
Courant de Phase (\(I_{ph}\))
Courant circulant dans une phase d'une charge. Pour une connexion étoile, \(I_{ph} = I_L\). Pour une connexion triangle, \(I_{ph} = I_L / \sqrt{3}\) (pour un système équilibré).
Charge en Étoile (Y)
Configuration où les trois phases d'une charge sont connectées à un point commun (le neutre, s'il existe).
Charge en Triangle (\(\Delta\))
Configuration où les trois phases d'une charge sont connectées en boucle fermée, les lignes étant connectées aux sommets du triangle.
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée par la charge et transformée en travail ou chaleur. Unité : \(\text{Watt (W)}\).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit. Unité : \(\text{Volt-Ampère Réactif (VAR)}\).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit vectoriel (en complexe) ou géométrique (en module) de la tension et du courant. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\). Unité : \(\text{Volt-Ampère (VA)}\).
Facteur de Puissance (PF)
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(\text{PF} = P/S = \cos(\phi)\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance est utilisée.
Analyse d'un Système Triphasé

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