Système Triphasé avec Charges Mixtes

Contexte : L'analyse d'une installation électrique industrielle.

Cet exercice simule un cas courant en ingénierie électrique : une petite installation industrielle alimentée par un réseau triphasé équilibréUn système de trois tensions alternatives de même amplitude et fréquence, mais déphasées de 120° les unes par rapport aux autres.. Cette installation comprend deux types de charges distinctes fonctionnant en parallèle : un ensemble de fours (charge purement résistive) et un ensemble de moteurs (charge inductive). Votre objectif est de décomposer le problème, d'analyser chaque charge séparément, puis de tout combiner pour déterminer les caractéristiques globales de l'installation, notamment le courant total appelé et le facteur de puissanceLe rapport entre la puissance active (utile, en W) et la puissance apparente (totale, en VA). Il mesure l'efficacité énergétique. global.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les lois fondamentales de l'électrotechnique triphasée (relations entre tensions, courants, et puissances) pour des montages Étoile (Y)Montage où les trois phases sont reliées à un point commun (le neutre). et Triangle (Δ)Montage où les trois phases sont connectées en boucle, sans point neutre., et à utiliser la méthode de Boucherot (addition des puissances) pour analyser des charges mixtes.

Objectifs Pédagogiques

Différencier et calculer les tensions simples (V) et composées (U).
Analyser une charge équilibrée en montage Étoile (Y) et calculer ses courants.
Analyser une charge équilibrée en montage Triangle (Δ) et calculer ses courants.
Calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) pour chaque charge.
Appliquer le théorème de Boucherot pour trouver les puissances totales.
Déterminer le courant de ligne total et le facteur de puissance global de l'installation.

Données de l'étude

Une installation est alimentée par un réseau triphasé équilibré 400 V / 50 Hz. Elle comprend deux charges équilibrées distinctes :

Charge 1 : Un groupe de résistances de chauffage couplées en Étoile (Y).
Charge 2 : Un groupe de moteurs asynchrones, modélisé comme une charge inductive couplée en Triangle (Δ).

Schéma de l'Installation

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
\( U_L \)	Tension de ligne (composée)	400	V
\( R_1 \)	Résistance par phase (Charge 1 - Y)	30	\(\Omega\)
\( Z_2 \)	Impédance par phase (Charge 2 - \(\Delta\))	\( 15 + j20 \)	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer les courants de phase (\(I_{ph,1}\)) et de ligne (\(I_{L,1}\)) pour la charge 1 (Y - résistive).
Calculer les courants de phase (\(I_{ph,2}\)) et de ligne (\(I_{L,2}\)) pour la charge 2 (Δ - inductive).
Calculer les puissances active (\(P_1\)), réactive (\(Q_1\)) et apparente (\(S_1\)) consommées par la charge 1.
Calculer les puissances active (\(P_2\)), réactive (\(Q_2\)) et apparente (\(S_2\)) consommées par la charge 2.
Déterminer les puissances totales (\(P_{tot}\), \(Q_{tot}\), \(S_{tot}\)), le facteur de puissance global (\(FP_{global}\)) et le courant de ligne total (\(I_{L,tot}\)) de l'installation.

Les bases de l'Électrotechnique Triphasée

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les relations fondamentales en triphasé équilibré.

1. Tensions Simples (V) et Composées (U)
La tension composée \(U_L\) (entre deux phases) est la donnée du réseau (ex: 400 V). La tension simple \(V_{ph}\) (entre une phase et le neutre) s'en déduit : \[ V_{ph} = \frac{U_L}{\sqrt{3}} \]

2. Relations Courants / Tensions par Montage

Montage Étoile (Y) : La tension aux bornes d'une phase est la tension simple (\(V_{ph}\)). Le courant de ligne est égal au courant de phase : \[ V_{phase} = V_{ph} = \frac{U_L}{\sqrt{3}} \quad ; \quad I_{Ligne} = I_{Phase} \]
Montage Triangle (Δ) : La tension aux bornes d'une phase est la tension composée (\(U_L\)). Le courant de ligne est \(\sqrt{3}\) fois plus grand que le courant de phase : \[ V_{phase} = U_L \quad ; \quad I_{Ligne} = I_{Phase} \cdot \sqrt{3} \]

3. Puissances en Triphasé Équilibré (Théorème de Boucherot)
Les puissances actives (P) et réactives (Q) s'additionnent algébriquement.

Puissance Active : \( P = 3 \cdot P_{phase} = 3 \cdot R_{ph} \cdot I_{ph}^2 = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\varphi) \) [en Watts (W)]
Puissance Réactive : \( Q = 3 \cdot Q_{phase} = 3 \cdot X_{ph} \cdot I_{ph}^2 = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\varphi) \) [en Volt-Ampères Réactifs (VAR)]
Puissance Apparente : \( S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \) [en Volt-Ampères (VA)]
Totaux : \( P_{tot} = \sum P_i \quad ; \quad Q_{tot} = \sum Q_i \quad ; \quad S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2} \)

Correction : Calcul Complet d'un Système Triphasé à Charges Mixtes

Question 1 : Courants de la charge 1 (Étoile)

Principe

La charge 1 est un ensemble de 3 résistances identiques montées en Étoile (Y). Nous devons d'abord trouver la tension aux bornes d'une seule résistance (la tension simple V), puis utiliser la loi d'Ohm pour trouver le courant dans cette résistance (courant de phase). En montage étoile, le courant de ligne est identique au courant de phase.

Mini-Cours

La loi d'Ohm \(U = Z \cdot I\) est la clé. En triphasé étoile, l'impédance de phase \(Z_{ph}\) voit la tension simple \(V_{ph}\). Le neutre, s'il est présent et que la charge est équilibrée, ne transporte aucun courant.

Remarque Pédagogique

Commencez toujours par identifier le type de montage (Étoile ou Triangle) pour savoir quelle tension (V ou U) appliquer à l'impédance de phase.

Normes

En Europe, la norme CENELEC (et ses transpositions nationales) fixe la tension nominale des réseaux BT à 230 V / 400 V.

Formule(s)

Tension simple (phase-neutre)

V_{ph} = \frac{U_L}{\sqrt{3}}

Courant de phase (Loi d'Ohm)

I_{ph,1} = \frac{V_{ph}}{R_1}

Relation courant Étoile

I_{L,1} = I_{ph,1}

Hypothèses

On suppose le réseau parfaitement équilibré et la source de tension idéale (pas de chute de tension en ligne).

Réseau équilibré.
Source de tension parfaite.
Fréquence stable à 50 Hz.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé (tension du réseau \(U_L\) et valeur de la résistance \(R_1\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de ligne	\(U_L\)	400	\(\text{V}\)
Résistance de phase	\(R_1\)	30	\(\Omega\)

Astuces

Pour un montage étoile, demandez-vous toujours : "Quelle est la tension entre la phase et le neutre ?". C'est la tension simple V !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du montage Étoile (Y). Le courant \(I_L\) qui entre est le même que le courant \(I_{ph}\) qui parcourt la résistance \(R_1\).

Détail Charge 1 (Étoile)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la tension simple \(V_{ph}\)

V_{ph} = \frac{400 \text{ V}}{\sqrt{3}} \] \[ \approx 230.94 \text{ V}

Étape 2 : Calcul du courant de phase \(I_{ph,1}\)

I_{ph,1} = \frac{230.94 \text{ V}}{30 \text{ } \Omega} \] \[ \approx 7.698 \text{ A}

Étape 3 : Détermination du courant de ligne \(I_{L,1}\)

I_{L,1} = I_{ph,1} \] \[ \approx 7.70 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Pour une charge résistive pure, le courant \(I_{ph,1}\) est en phase avec la tension \(V_{ph,1}\).

Diagramme Phrasoriel (Charge 1)

Réflexions

Le courant de ligne consommé par les chauffages est de 7.70 A. Comme la charge est purement résistive, ce courant est en phase avec la tension simple \(V_{ph}\). Le déphasage \(\varphi_1\) est de 0°.

Points de vigilance

Ne jamais diviser la tension de ligne (400 V) par la résistance en montage étoile. C'est l'erreur la plus fréquente ! La résistance "voit" la tension simple (230 V).

Points à retenir

Montage Étoile (Y) : La tension de phase est \(V_{ph} = U_L / \sqrt{3}\).
Montage Étoile (Y) : Le courant de ligne est \(I_L = I_{ph}\).

Le saviez-vous ?

Si le neutre est connecté, un montage étoile peut fonctionner même si les charges sont déséquilibrées, car le neutre absorbe le courant de déséquilibre. Ce n'est pas le cas du montage Triangle.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant de phase est \(I_{ph,1} \approx 7.70 \text{ A}\) et le courant de ligne est \(I_{L,1} \approx 7.70 \text{ A}\).

A vous de jouer

Que deviendrait le courant de ligne \(I_{L,1}\) si les résistances étaient de \(40 \text{ } \Omega\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 (Étoile) :

Tension phase = \(V_{ph} = U_L / \sqrt{3}\).
Courant phase = \(I_{ph} = V_{ph} / Z\).
Courant ligne = \(I_L = I_{ph}\).

Question 2 : Courants de la charge 2 (Triangle)

Principe

La charge 2 est un ensemble de 3 impédances identiques montées en Triangle (Δ). Ici, chaque impédance est directement connectée entre deux phases. La tension à ses bornes est donc la tension de ligne U (400 V). Nous calculons le courant dans l'impédance (courant de phase), puis nous en déduisons le courant de ligne, qui est \(\sqrt{3}\) fois plus grand.

Mini-Cours

En montage Triangle, il n'y a pas de point neutre. Chaque impédance est soumise à la tension composée (entre phases), \(U_L\). Le courant de ligne \(I_L\) est la somme vectorielle de deux courants de phase (ex: \( \vec{I}_{L1} = \vec{I}_{ph,12} - \vec{I}_{ph,31} \)). En régime équilibré, cela se simplifie en \(I_L = I_{ph} \cdot \sqrt{3}\).

Remarque Pédagogique

Pour le triangle, la tension est simple à trouver (\(U_L\)), mais le courant est plus complexe (\(I_L = I_{ph} \cdot \sqrt{3}\)). C'est l'inverse du montage Étoile.

Normes

Les moteurs triphasés industriels sont souvent conçus pour un couplage Triangle sous 400V afin de développer leur puissance nominale.

Formule(s)

Module de l'impédance

|Z_2| = \sqrt{R_2^2 + X_2^2}

Courant de phase (Loi d'Ohm)

I_{ph,2} = \frac{U_L}{|Z_2|}

Relation courant Triangle

I_{L,2} = I_{ph,2} \cdot \sqrt{3}

Hypothèses

On suppose que les trois impédances \(Z_2\) sont rigoureusement identiques (charge équilibrée).

Charge équilibrée.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé (tension du réseau \(U_L\) et impédance \(Z_2\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de ligne	\(U_L\)	400	\(\text{V}\)
Impédance de phase	\(Z_2\)	\(15 + j20\)	\(\Omega\)

Astuces

Pour un montage triangle, demandez-vous : "Quelle est la tension entre les deux bornes de ma charge ?". Ce sont deux phases, donc c'est la tension de ligne U !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du montage Triangle (Δ). Le courant de ligne \(I_L\) se divise en deux courants de phase \(I_{ph}\).

Détail Charge 2 (Triangle)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du module de l'impédance \(|Z_2|\)

\begin{aligned} |Z_2| &= \sqrt{15^2 + 20^2} \\ &= \sqrt{225 + 400} \\ &= \sqrt{625} \\ &= 25 \text{ } \Omega \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du courant de phase \(I_{ph,2}\)

I_{ph,2} = \frac{U_L}{|Z_2|} \] \[ = \frac{400 \text{ V}}{25 \text{ } \Omega} \] \[ = 16 \text{ A}

Étape 3 : Détermination du courant de ligne \(I_{L,2}\)

I_{L,2} = I_{ph,2} \cdot \sqrt{3} \] \[ = 16 \text{ A} \cdot \sqrt{3} \] \[ \approx 27.71 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Pour une charge inductive, le courant \(I_{ph,2}\) est en retard (lag) sur la tension à ses bornes (\(U_L\)). L'angle \(\varphi_2\) est \(\arctan(20/15) \approx 53.1^\circ\).

Diagramme Phrasoriel (Charge 2)

Réflexions

Le courant de ligne consommé par les moteurs est de 27.71 A. Ce courant est déphasé par rapport à la tension. L'angle de l'impédance est \(\varphi_2 = \arctan(X/R) = \arctan(20/15) \approx 53.1^\circ\). Le courant est en retard de 53.1° sur la tension à ses bornes.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de multiplier le courant de phase par \(\sqrt{3}\) pour trouver le courant de ligne. Une autre est d'utiliser \(V_{ph}\) (230V) au lieu de \(U_L\) (400V) pour le calcul de \(I_{ph,2}\).

Points à retenir

Montage Triangle (Δ) : La tension de phase est \(V_{ph} = U_L\).
Montage Triangle (Δ) : Le courant de ligne est \(I_L = I_{ph} \cdot \sqrt{3}\).

Le saviez-vous ?

Les gros moteurs démarrent souvent en Étoile (pour réduire le courant d'appel en les sous-voltant) puis basculent en Triangle pour leur fonctionnement nominal. C'est le démarrage "Étoile-Triangle".

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant de phase est \(I_{ph,2} = 16 \text{ A}\) et le courant de ligne est \(I_{L,2} \approx 27.71 \text{ A}\).

A vous de jouer

Que deviendrait le courant de ligne \(I_{L,2}\) si l'impédance était \(Z_2 = 30 + j40 \text{ } \Omega\)? (Indice: \(|Z_2| = \sqrt{30^2+40^2} = 50 \text{ } \Omega\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 (Triangle) :

Tension phase = \(V_{ph} = U_L\).
Courant phase = \(I_{ph} = U_L / Z\).
Courant ligne = \(I_L = I_{ph} \cdot \sqrt{3}\).

Question 3 : Puissances de la charge 1 (Étoile)

Principe

Nous devons calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) pour la charge 1. Comme cette charge est purement résistive (composée de résistances R), elle ne consomme que de la puissance active. Sa puissance réactive est nulle.

Mini-Cours

La puissance active (W) est l'énergie dissipée par une résistance. La puissance réactive (VAR) est l'énergie stockée puis restituée par une bobine (inductance) ou un condensateur. Une résistance pure n'a pas de partie réactive.

Remarque Pédagogique

La puissance totale est simplement 3 fois la puissance consommée par une seule phase (car la charge est équilibrée).

Normes

La puissance active est celle qui est facturée au consommateur en kWh (des kW pendant des heures). La puissance réactive peut entraîner des pénalités si elle est élevée (facteur de puissance trop bas).

Formule(s)

Puissance Active (par phase)

P_1 = 3 \cdot P_{phase} = 3 \cdot R_1 \cdot I_{ph,1}^2

Puissance Réactive

Q_1 = 0 \text{ (car charge purement résistive)}

Puissance Apparente

\[ S_1 = P_1 \]

Hypothèses

On suppose que les résistances sont pures (pas d'inductance parasite).

Résistances pures.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé (valeur de \(R_1\)) et des résultats de la Question 1 (courant \(I_{ph,1}\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance de phase	\(R_1\)	30	\(\Omega\)
Courant de phase (Q1)	\(I_{ph,1}\)	7.698	\(\text{A}\)

Astuces

Une charge résistive a un facteur de puissance \(\cos(\varphi) = 1\), car \(\varphi = 0^\circ\). Cela signifie que \(P = S\) et \(Q = 0\).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique requis, les calculs sont directs.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance active \(P_1\)

\begin{aligned} P_1 &= 3 \cdot R_1 \cdot I_{ph,1}^2 \\ &= 3 \cdot 30 \text{ } \Omega \cdot (7.698 \text{ A})^2 \\ &= 90 \cdot 59.26 \\ &\approx 5333 \text{ W} \text{ (ou 5.33 kW)} \end{aligned}

Étape 2 : Détermination de \(Q_1\) et \(S_1\)

Q_1 = 0 \text{ VAR}

S_1 = P_1 \approx 5333 \text{ VA} \text{ (ou 5.33 kVA)}

Schéma (Après les calculs)

Le triangle des puissances pour la charge 1 est "plat" : il n'a qu'une composante active (P1).

Triangle des Puissances (Charge 1)

Réflexions

La charge 1 consomme 5.33 kW de puissance active, qui est transformée en chaleur. Elle ne consomme aucune puissance réactive. Son facteur de puissance \(\cos(\varphi_1)\) est de 1.

Points de vigilance

Attention à la formule : \(P_1 = 3 \cdot R_1 \cdot I_{ph,1}^2\). Ne pas utiliser \(I_{L,1}\) si ce n'était pas un montage étoile, et ne pas oublier le facteur 3 (car il y a 3 phases).

Points à retenir

Charge résistive : \(Q = 0\) et \(P = S\).
Facteur de puissance \(\cos(\varphi) = 1\).

Le saviez-vous ?

Les fournisseurs d'électricité apprécient les charges résistives (FP=1) car elles utilisent efficacement le courant fourni, sans nécessiter de puissance réactive qui "encombre" les lignes.

FAQ

...

Résultat Final

Les puissances pour la charge 1 sont : \(P_1 \approx 5.33 \text{ kW}\), \(Q_1 = 0 \text{ VAR}\) et \(S_1 \approx 5.33 \text{ kVA}\).

A vous de jouer

Quelle serait la puissance active \(P_1\) si les résistances étaient de \(40 \text{ } \Omega\) ? (Indice: \(I_{ph,1}\) serait \(5.77 \text{ A}\))

Question 4 : Puissances de la charge 2 (Triangle)

Principe

Nous devons calculer P, Q et S pour la charge 2. Cette charge est inductive (\(Z = R + jX\)), elle consomme donc à la fois de la puissance active (dans sa partie R=15 Ω) et de la puissance réactive (dans sa partie X=20 Ω).

Mini-Cours

Pour une impédance \(Z = R + jX\), la puissance active est consommée par R (\(P = R \cdot I^2\)) et la puissance réactive est consommée par X (\(Q = X \cdot I^2\)). La puissance apparente est \(S = Z \cdot I^2\).

Remarque Pédagogique

Encore une fois, la puissance totale est 3 fois la puissance de phase. Assurez-vous d'utiliser le courant de phase \(I_{ph,2}\) (16 A) pour ces calculs, et non le courant de ligne \(I_{L,2}\) (27.7 A).

Normes

La puissance réactive inductive (moteurs) est notée +Q, tandis que la puissance réactive capacitive (condensateurs) est notée -Q.

Formule(s)

Puissance Active

P_2 = 3 \cdot P_{phase} = 3 \cdot R_2 \cdot I_{ph,2}^2

Puissance Réactive

Q_2 = 3 \cdot Q_{phase} = 3 \cdot X_2 \cdot I_{ph,2}^2

Puissance Apparente

S_2 = \sqrt{P_2^2 + Q_2^2} \text{ ou } S_2 = 3 \cdot V_{ph,2} \cdot I_{ph,2}

Hypothèses

On suppose que le modèle \(R+jX\) de l'impédance est linéaire et correct.

Modèle R-L série.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé (parties \(R_2\) et \(X_2\) de l'impédance) et des résultats de la Question 2 (courant \(I_{ph,2}\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Partie réelle de \(Z_2\)	\(R_2\)	15	\(\Omega\)
Partie imaginaire de \(Z_2\)	\(X_2\)	20	\(\Omega\)
Courant de phase (Q2)	\(I_{ph,2}\)	16	\(\text{A}\)

Astuces

On peut aussi calculer \(S_2\) en premier : \(S_2 = 3 \cdot V_{ph,2} \cdot I_{ph,2} = 3 \cdot U_L \cdot I_{ph,2} = 3 \cdot 400 \text{ V} \cdot 16 \text{ A} = 19200 \text{ VA}\). Puis trouver P et Q avec le \(\cos(\varphi_2) = R/Z = 15/25 = 0.6\) et \(\sin(\varphi_2) = X/Z = 20/25 = 0.8\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'impédance d'une phase de la charge 2, avec sa partie réelle (Résistance) et sa partie imaginaire (Réactance).

Triangle de l'Impédance \(Z_2\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance active \(P_2\)

\begin{aligned} P_2 &= 3 \cdot R_2 \cdot I_{ph,2}^2 \\ &= 3 \cdot 15 \text{ } \Omega \cdot (16 \text{ A})^2 \\ &= 45 \cdot 256 \\ &= 11520 \text{ W} \text{ (ou 11.52 kW)} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance réactive \(Q_2\)

\begin{aligned} Q_2 &= 3 \cdot X_2 \cdot I_{ph,2}^2 \\ &= 3 \cdot 20 \text{ } \Omega \cdot (16 \text{ A})^2 \\ &= 60 \cdot 256 \\ &= 15360 \text{ VAR} \text{ (ou 15.36 kVAR)} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la puissance apparente \(S_2\)

\begin{aligned} S_2 &= \sqrt{P_2^2 + Q_2^2} \\ &= \sqrt{11520^2 + 15360^2} \\ &= 19200 \text{ VA} \text{ (ou 19.2 kVA)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le triangle des puissances pour la charge 2 (inductive) a une composante P (active) et une composante Q (réactive) positive.

Triangle des Puissances (Charge 2)

Réflexions

La charge 2 (moteurs) consomme 11.52 kW de puissance utile (mécanique + pertes) et "emprunte" 15.36 kVAR de puissance réactive au réseau pour magnétiser ses circuits. Le facteur de puissance de cette charge est \(\cos(\varphi_2) = P_2 / S_2 = 11520 / 19200 = 0.6\).

Points de vigilance

Utilisez \(I_{ph,2}\) (16 A), PAS \(I_{L,2}\) (27.71 A) dans les formules \(P = 3 \cdot R \cdot I_{ph}^2\). Si vous voulez utiliser \(I_L\), la formule est \(P_2 = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_{L,2} \cdot \cos(\varphi_2)\).

Points à retenir

Charge inductive (R+jX) : consomme P (par R) et Q (par X).
\(P = 3 \cdot R_{ph} \cdot I_{ph}^2\)
\(Q = 3 \cdot X_{ph} \cdot I_{ph}^2\)

Le saviez-vous ?

Un \(\cos(\varphi)\) de 0.6 (comme ici) est assez faible. La plupart des fournisseurs d'électricité exigent un \(\cos(\varphi)\) minimum (souvent 0.85 ou 0.9) et facturent des pénalités si l'installation est en dessous.

FAQ

...

Résultat Final

Les puissances pour la charge 2 sont : \(P_2 = 11.52 \text{ kW}\), \(Q_2 = 15.36 \text{ kVAR}\) et \(S_2 = 19.2 \text{ kVA}\).

A vous de jouer

Quelle serait la puissance active \(P_2\) si l'impédance était \(Z_2 = 30 + j40 \text{ } \Omega\)? (Indice: \(I_{ph,2}\) serait \(8 \text{ A}\))

Question 5 : Bilan Total de l'Installation

Principe

Pour trouver le bilan global, nous appliquons le théorème de Boucherot : les puissances actives (P) s'additionnent, et les puissances réactives (Q) s'additionnent. Une fois P_tot et Q_tot connues, nous pouvons calculer la puissance apparente totale S_tot, le facteur de puissance global, et enfin déduire le courant de ligne total \(I_{L,tot}\).

Mini-Cours

Le théorème de Boucherot stipule que (pour un même réseau) les puissances actives totales sont la somme arithmétique des puissances actives, et les puissances réactives totales sont la somme *algébrique* des puissances réactives (en faisant attention aux signes +Q inductif et -Q capacitif).

Remarque Pédagogique

C'est la méthode la plus fiable. L'alternative serait d'additionner vectoriellement les courants de ligne \( \vec{I}_{L,1} \) et \( \vec{I}_{L,2} \), ce qui demande de gérer les déphasages (ex: \( \vec{I}_{L,1} \) à 0° et \( \vec{I}_{L,2} \) à -53.1°) et est plus complexe.

Normes

Le courant total \(I_{L,tot}\) est la valeur RMS que l'on mesurerait avec une pince ampèremétrique sur l'une des phases en amont des deux charges. C'est cette valeur qui sert à dimensionner le disjoncteur général de l'installation.

Formule(s)

Puissances Totales (Boucherot)

P_{tot} = P_1 + P_2 \quad ; \quad Q_{tot} = Q_1 + Q_2

Puissance Apparente Totale

S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}

Facteur de Puissance Global

FP_{global} = \cos(\varphi_{tot}) = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}

Courant de Ligne Total

I_{L,tot} = \frac{S_{tot}}{\sqrt{3} \cdot U_L}

Hypothèses

On suppose que les deux charges sont connectées en parallèle sur le même réseau 400V.

Connexion parallèle.

Donnée(s)

Les données proviennent des résultats des Questions 3 et 4 (puissances \(P_1, Q_1, P_2, Q_2\)) et de l'énoncé (tension \(U_L\)).

Paramètre	Valeur	Unité
\(P_1\)	5333	\(\text{W}\)
\(Q_1\)	0	\(\text{VAR}\)
\(P_2\)	11520	\(\text{W}\)
\(Q_2\)	15360	\(\text{VAR}\)
\(U_L\)	400	\(\text{V}\)

Astuces

N'AJOUTEZ JAMAIS les courants de ligne \(I_{L,1}\) et \(I_{L,2}\) arithmétiquement (\(7.7 + 27.7\)) ! Ils n'ont pas le même déphasage. L'addition des puissances (Boucherot) est la méthode la plus sûre pour trouver le total.

Schéma (Avant les calculs)

On additionne les triangles des puissances de la Charge 1 et de la Charge 2.

Addition des Puissances (Boucherot)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\)

\begin{aligned} P_{tot} &= P_1 + P_2 \\ &= 5333 + 11520 \\ &= 16853 \text{ W} \text{ (ou 16.85 kW)} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{tot} &= Q_1 + Q_2 \\ &= 0 + 15360 \\ &= 15360 \text{ VAR} \text{ (ou 15.36 kVAR)} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(S_{tot}\)

\begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2} \\ &= \sqrt{16853^2 + 15360^2} \\ &= \sqrt{283.9 \times 10^6 + 235.9 \times 10^6} \\ &= \sqrt{519.8 \times 10^6} \\ &\approx 22800 \text{ VA} \text{ (ou 22.8 kVA)} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du Facteur de Puissance Global

FP_{global} = \frac{P_{tot}}{S_{tot}} \] \[ = \frac{16853}{22800} \] \[ \approx 0.739

Étape 4 : Calcul du Courant de Ligne Total \(I_{L,tot}\)

\begin{aligned} I_{L,tot} &= \frac{S_{tot}}{\sqrt{3} \cdot U_L} \\ &= \frac{22800 \text{ VA}}{\sqrt{3} \cdot 400 \text{ V}} \\ &= \frac{22800}{692.8} \\ &\approx 32.91 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre l'addition vectorielle des courants de ligne (pour une phase). \(I_{L,1}\) est en phase avec sa tension (angle 0°). \(I_{L,2}\) est déphasé de \(\varphi_2 \approx 53.1^\circ\). L'addition des deux vecteurs donne le courant total \(I_{L,tot}\) avec un angle \(\varphi_{tot} \approx 42.3^\circ\).

Addition Vectorielle des Courants de Ligne

Réflexions

L'installation complète appelle 32.91 A sur le réseau. Le facteur de puissance global est de 0.739 (inductif, car Q > 0), ce qui est moyen. On pourrait l'améliorer en ajoutant une batterie de condensateurs pour "compenser" la puissance réactive des moteurs.

Points de vigilance

L'erreur fatale est d'additionner les puissances apparentes : \(S_1 + S_2 \neq S_{tot}\) (\(5.33 + 19.2 \neq 22.8\)). On ne peut additionner que les P et les Q. C'est le cœur du théorème de Boucherot.

Points à retenir

Théorème de Boucherot : \(P_{tot} = \sum P_i\) et \(Q_{tot} = \sum Q_i\).
Calcul final : \(S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}\)
Courant final : \(I_{L,tot} = S_{tot} / (U_L \cdot \sqrt{3})\)

Le saviez-vous ?

Améliorer le facteur de puissance (le rapprocher de 1) s'appelle "compensation d'énergie réactive". On le fait en ajoutant des condensateurs en parallèle, qui fournissent de la puissance réactive (-Q), annulant ainsi le +Q des moteurs.

FAQ

...

Résultat Final

Bilan total : \(P_{tot} \approx 16.85 \text{ kW}\), \(Q_{tot} = 15.36 \text{ kVAR}\), \(S_{tot} \approx 22.8 \text{ kVA}\), \(FP_{global} \approx 0.74\) (inductif), et \(I_{L,tot} \approx 32.9 \text{ A}\).

A vous de jouer

Calculez le courant de ligne total \(I_{L,tot}\) si \(R_1=40 \text{ } \Omega\) et \(Z_2=30+j40 \text{ } \Omega\). (Indices des questions précédentes: \(P_1=4 \text{ kW}, Q_1=0\), \(P_2=5.76 \text{ kW}, Q_2=7.68 \text{ kVAR}\))

Outil Interactif : Simulateur d'Installation

Utilisez les curseurs pour modifier les paramètres des charges et voir leur impact en temps réel sur les puissances totales consommées par l'installation.

Paramètres d'Entrée

Résistance Chauffage (Y) - \(R_1\) 30 Ω

Réactance Moteurs (Δ) - \(X_2\) (avec R2=15Ω) 20 Ω

Résultats Clés

Puissance Active Totale (\(P_{tot}\)) - kW

Puissance Réactive Totale (\(Q_{tot}\)) - kVAR

Glossaire

Charge Équilibrée: Une charge triphasée où les impédances sur les trois phases sont identiques.
Facteur de Puissance (FP): Rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Il mesure l'efficacité d'une installation. \(FP = P / S\). Un FP de 1 est idéal.
Montage Étoile (Y): Couplage triphasé où les trois phases sont reliées à un point commun (le neutre). Le courant de ligne est égal au courant de phase (\(I_L = I_{ph}\)).
Montage Triangle (Δ): Couplage triphasé où les trois phases sont connectées en boucle. La tension aux bornes d'une phase est la tension de ligne (\(V_{ph} = U_L\)).
Puissance Active (P): La "vraie" puissance, celle qui produit un travail (chaleur, mouvement). Mesurée en Watts (W).
Puissance Réactive (Q): La puissance "échangée" avec le réseau, nécessaire pour créer les champs magnétiques (moteurs, transfos). Mesurée en Volt-Ampères Réactifs (VAR).
Puissance Apparente (S): La puissance "totale" que le réseau doit fournir, combinaison vectorielle de P et Q. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\). Mesurée en Volt-Ampères (VA).
Tension Composée (\(U_L\)): La tension mesurée entre two phases (ex: 400 V).
Tension Simple (\(V_{ph}\)): La tension mesurée entre une phase et le neutre (ex: 230 V). \(V_{ph} = U_L / \sqrt{3}\).