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Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Comprendre le Théorème d'Ampère

Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale de l'électromagnétisme qui relie le champ magnétique à sa source, le courant électrique. Il stipule que la circulation du vecteur champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'un contour fermé (appelé contour d'Ampère) est proportionnelle au courant total \(I_{\text{enlacé}}\) qui traverse la surface délimitée par ce contour. Mathématiquement, cela s'écrit : \(\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}\), où \(\mu_0\) est la perméabilité du vide.

Ce théorème est particulièrement utile pour calculer le champ magnétique dans des situations présentant une haute symétrie, comme autour d'un fil rectiligne infini, à l'intérieur d'un solénoïde long, ou d'un tore. En choisissant judicieusement le contour d'Ampère, l'intégrale de circulation peut être simplifiée, permettant de déterminer facilement la magnitude du champ magnétique.

Cet exercice se concentre sur l'application du théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique créé par un long conducteur cylindrique parcouru par un courant, à la fois à l'intérieur et à l'extérieur du conducteur.

Données de l'étude

On considère un long conducteur cylindrique rectiligne de rayon \(R\), parcouru par un courant total \(I_0\) uniformément réparti sur sa section transversale.

Caractéristiques du conducteur et du courant :

  • Courant total dans le conducteur (\(I_0\)) : \(50 \, \text{A}\)
  • Rayon du conducteur (\(R\)) : \(2.0 \, \text{mm}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Schéma d'un Conducteur Cylindrique et Contours d'Ampère
⊙ I0 (sortant) Rayon R Cext (r > R) Bext Cint (r < R) Bint Vue en coupe du conducteur

Conducteur cylindrique de rayon \(R\) parcouru par un courant \(I_0\) (sortant de la page). Contours d'Ampère circulaire de rayon \(r\) pour \(r > R\) et \(r < R\).

Questions à traiter

  1. Convertir le rayon \(R\) du conducteur en mètres.
  2. Cas 1 : Champ magnétique à l'extérieur du conducteur (\(r > R\))
    1. Choisir un contour d'Ampère circulaire \(C_1\) de rayon \(r > R\), centré sur l'axe du conducteur. Quel est le courant \(I_{\text{enlacé,1}}\) par ce contour ?
    2. Exprimer la circulation du champ magnétique \(\oint_{C_1} \vec{B} \cdot d\vec{l}\) en fonction de la magnitude \(B(r)\) du champ et du rayon \(r\), en utilisant les symétries du problème.
    3. Appliquer le théorème d'Ampère pour déduire l'expression de la magnitude \(B(r)\) pour \(r > R\).
    4. Calculer la valeur de \(B\) à une distance \(r_1 = 4.0 \, \text{mm}\) de l'axe du conducteur.
  3. Cas 2 : Champ magnétique à l'intérieur du conducteur (\(r < R\))
    1. Calculer la densité de courant \(J\) (supposée uniforme) dans le conducteur.
    2. Choisir un contour d'Ampère circulaire \(C_2\) de rayon \(r < R\), centré sur l'axe du conducteur. Calculer le courant \(I_{\text{enlacé,2}}\) par ce contour.
    3. Exprimer la circulation du champ magnétique \(\oint_{C_2} \vec{B} \cdot d\vec{l}\) en fonction de la magnitude \(B(r)\) du champ et du rayon \(r\).
    4. Appliquer le théorème d'Ampère pour déduire l'expression de la magnitude \(B(r)\) pour \(r < R\).
    5. Calculer la valeur de \(B\) à une distance \(r_2 = 1.0 \, \text{mm}\) de l'axe du conducteur.
  4. Calculer la valeur du champ magnétique à la surface du conducteur (\(r=R\)) en utilisant les expressions trouvées pour \(r>R\) et \(r

Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Question 1 : Conversion du rayon \(R\)

Principe :

Convertir les millimètres en mètres (1 mm = 0.001 m).

Données spécifiques :
  • Rayon du conducteur (\(R\)) : \(2.0 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= 2.0 \, \text{mm} \cdot \frac{1 \, \text{m}}{1000 \, \text{mm}} \\ &= 0.0020 \, \text{m} \\ &= 2.0 \times 10^{-3} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rayon du conducteur est \(R = 2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\).

Question 2 : Cas 1 - Extérieur du conducteur (\(r > R\))

a) Courant enlacé \(I_{\text{enlacé,1}}\)

Pour un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r > R\), la totalité du courant \(I_0\) porté par le conducteur est enlacée par ce contour.

\[I_{\text{enlacé,1}} = I_0 = 50 \, \text{A}\]
b) Circulation de \(\vec{B}\)

Par symétrie cylindrique, le champ magnétique \(\vec{B}\) est tangentiel au contour d'Ampère circulaire \(C_1\) et sa magnitude \(B(r)\) est constante sur ce contour. La longueur du contour est \(2\pi r\).

\[\oint_{C_1} \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \cdot 2\pi r\]
c) Application du théorème d'Ampère et expression de \(B(r)\)
\[ \begin{aligned} \oint_{C_1} \vec{B} \cdot d\vec{l} &= \mu_0 I_{\text{enlacé,1}} \\ B(r) \cdot 2\pi r &= \mu_0 I_0 \\ B(r) &= \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r} \quad (\text{pour } r > R) \end{aligned} \]
d) Calcul de \(B\) à \(r_1 = 4.0 \, \text{mm}\)

\(r_1 = 4.0 \, \text{mm} = 4.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\). Comme \(r_1 > R\), on utilise la formule ci-dessus.

\[ \begin{aligned} B(r_1) &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot 50 \, \text{A}}{2\pi \cdot (4.0 \times 10^{-3} \, \text{m})} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 50}{4.0 \times 10^{-3}} \, \text{T} \\ &= \frac{100 \times 10^{-7}}{4.0 \times 10^{-3}} \, \text{T} \\ &= 25 \times 10^{-4} \, \text{T} \\ &= 2.5 \times 10^{-3} \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B(r_1) = 2.5 \, \text{mT}\).

Résultat Question 2 :
  • a) \(I_{\text{enlacé,1}} = 50 \, \text{A}\)
  • b) \(\oint_{C_1} \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \cdot 2\pi r\)
  • c) \(B(r) = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\) pour \(r > R\)
  • d) \(B(4.0 \, \text{mm}) = 2.5 \times 10^{-3} \, \text{T}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Le théorème d'Ampère est particulièrement utile lorsque :

Question 3 : Cas 2 - Intérieur du conducteur (\(r < R\))

a) Densité de courant \(J\)

Le courant \(I_0\) est uniformément réparti sur la section \(A = \pi R^2\) du conducteur.

\[J = \frac{I_0}{A} = \frac{I_0}{\pi R^2}\]
\[ \begin{aligned} J &= \frac{50 \, \text{A}}{\pi (2.0 \times 10^{-3} \, \text{m})^2} \\ &= \frac{50}{\pi \cdot 4.0 \times 10^{-6}} \, \text{A/m}^2 \\ &= \frac{50}{12.56637 \times 10^{-6}} \, \text{A/m}^2 \\ &\approx 3.97887 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]
b) Courant enlacé \(I_{\text{enlacé,2}}\) par \(C_2\) (rayon \(r < R\))

Le courant enlacé est la densité de courant \(J\) multipliée par l'aire du contour \(C_2\), qui est \(\pi r^2\).

\[ \begin{aligned} I_{\text{enlacé,2}} &= J \cdot (\pi r^2) \\ &= \left(\frac{I_0}{\pi R^2}\right) \cdot (\pi r^2) \\ &= I_0 \frac{r^2}{R^2} \end{aligned} \]
c) Circulation de \(\vec{B}\)

Similaire au cas extérieur, par symétrie :

\[\oint_{C_2} \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \cdot 2\pi r\]
d) Application du théorème d'Ampère et expression de \(B(r)\)
\[ \begin{aligned} B(r) \cdot 2\pi r &= \mu_0 I_{\text{enlacé,2}} \\ B(r) \cdot 2\pi r &= \mu_0 \left(I_0 \frac{r^2}{R^2}\right) \\ B(r) &= \frac{\mu_0 I_0 r}{2\pi R^2} \quad (\text{pour } r < R) \end{aligned} \]
e) Calcul de \(B\) à \(r_2 = 1.0 \, \text{mm}\)

\(r_2 = 1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\). Comme \(r_2 < R\), on utilise la formule ci-dessus.

\[ \begin{aligned} B(r_2) &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot 50 \, \text{A} \cdot (1.0 \times 10^{-3} \, \text{m})}{2\pi (2.0 \times 10^{-3} \, \text{m})^2} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 50 \cdot 1.0 \times 10^{-3}}{(2.0 \times 10^{-3})^2} \, \text{T} \\ &= \frac{100 \times 10^{-10}}{4.0 \times 10^{-6}} \, \text{T} \\ &= 25 \times 10^{-4} \, \text{T} \\ &= 2.5 \times 10^{-3} \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B(r_2) = 2.5 \, \text{mT}\).

Résultat Question 3 :
  • a) \(J \approx 3.98 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\)
  • b) \(I_{\text{enlacé,2}} = I_0 \frac{r^2}{R^2}\)
  • c) \(\oint_{C_2} \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \cdot 2\pi r\)
  • d) \(B(r) = \frac{\mu_0 I_0 r}{2\pi R^2}\) pour \(r < R\)
  • e) \(B(1.0 \, \text{mm}) = 2.5 \times 10^{-3} \, \text{T}\)

Quiz Intermédiaire 2 : À l'intérieur d'un conducteur cylindrique parcouru par un courant uniforme, le champ magnétique \(B(r)\) :

Question 4 : Champ magnétique à la surface (\(r=R\))

Principe :

Utiliser les deux expressions de \(B(r)\) pour \(r=R\).

Calcul avec l'expression pour \(r > R\) :
\[ \begin{aligned} B(R) &= \frac{\mu_0 I_0}{2\pi R} \\ &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 50}{2\pi \cdot (2.0 \times 10^{-3})} \, \text{T} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 50}{2.0 \times 10^{-3}} \, \text{T} \\ &= \frac{100 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-3}} \, \text{T} \\ &= 50 \times 10^{-4} \, \text{T} \\ &= 5.0 \times 10^{-3} \, \text{T} \end{aligned} \]
Calcul avec l'expression pour \(r < R\) :
\[ \begin{aligned} B(R) &= \frac{\mu_0 I_0 R}{2\pi R^2} \\ &= \frac{\mu_0 I_0}{2\pi R} \\ &= 5.0 \times 10^{-3} \, \text{T} \quad (\text{même calcul que ci-dessus}) \end{aligned} \]

Les deux expressions donnent la même valeur à la surface du conducteur, ce qui montre la continuité du champ magnétique (pour un courant surfacique nul).

Résultat Question 4 : À la surface du conducteur (\(r=R=2.0 \, \text{mm}\)), le champ magnétique est \(B(R) = 5.0 \times 10^{-3} \, \text{T}\) (ou \(5.0 \, \text{mT}\)). Les deux expressions coïncident.

Quiz Intermédiaire 3 : Le champ magnétique au centre (\(r=0\)) d'un conducteur cylindrique plein parcouru par un courant uniforme est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le théorème d'Ampère relie :

2. À l'extérieur d'un long fil cylindrique parcouru par un courant \(I_0\), le champ magnétique \(B\) à une distance \(r\) varie comme :

3. À l'intérieur d'un long fil cylindrique (rayon \(R\)) parcouru par un courant \(I_0\) uniformément réparti, le champ magnétique \(B\) à une distance \(r < R\) de l'axe varie comme :

Glossaire

Théorème d'Ampère
Loi fondamentale de la magnétostatique qui établit une relation entre la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé et le courant électrique total qui traverse la surface délimitée par ce contour.
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Courant Enlacé (\(I_{\text{enlacé}}\))
Courant électrique total qui passe à travers la surface définie par un contour d'Ampère.
Contour d'Ampère
Boucle fermée imaginaire utilisée dans l'application du théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique.
Circulation d'un Vecteur
Intégrale curviligne d'un champ vectoriel le long d'un chemin fermé.
Densité de Courant (\(J\))
Courant électrique par unité de surface de section transversale. Unité : Ampère par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Tesla (T)
Unité de mesure de l'intensité du champ magnétique (ou densité de flux magnétique) dans le Système International.
Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

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