Théorème d'Ampère autour d'un Conducteur

Contexte : Le Théorème d’AmpèreLoi fondamentale de l'électromagnétisme qui relie le champ magnétique à la source de courant électrique qui le crée..

Cet exercice a pour but d'appliquer l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, le théorème d'Ampère, pour déterminer le champ magnétique créé par une distribution de courant. Nous étudierons le cas d'un conducteur cylindrique infini parcouru par un courant uniforme, un modèle classique qui illustre parfaitement la puissance de ce théorème dans les situations présentant une forte symétrie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à choisir un contour d'intégration pertinent (contour d'Ampère), à calculer le courant enlacé par ce contour et à déduire l'expression du champ magnétique à l'intérieur comme à l'extérieur du conducteur.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le Théorème d’Ampère dans une situation à symétrie cylindrique.
Déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur et à l'extérieur d'un conducteur.
Analyser l'évolution du champ magnétique en fonction de la distance à l'axe du conducteur.

Données de l'étude

On considère un conducteur cylindrique en cuivre, très long (considéré comme infini), de rayon \(R\), parcouru par un courant continu d'intensité totale \(I\). Ce courant est réparti uniformément sur toute la section du conducteur.

Fiche Technique

Caractéristique	Description
Matériau	Cuivre (non magnétique)
Géométrie	Cylindre de longueur infinie
Courant	Réparti uniformément sur la section

Coupe transversale du conducteur et contours d'Ampère

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon du conducteur	\(R\)	1	\(\text{cm}\)
Courant total	\(I\)	100	\(\text{A}\)
Perméabilité du vide	\(\mu_0\)	\(4\pi \times 10^{-7}\)	\(\text{T}\cdot\text{m/A}\)

Questions à traiter

Exprimer la densité de courant \(J\) (supposée uniforme) en fonction de \(I\) et \(R\), puis calculer sa valeur numérique.
En appliquant le théorème d'Ampère pour un point situé à l'extérieur du conducteur (\(r > R\)), trouver l'expression du module du champ magnétique \(B(r)\).
En appliquant le théorème d'Ampère pour un point situé à l'intérieur du conducteur (\(r < R\)), trouver l'expression du module du champ magnétique \(B(r)\).
Calculer la valeur numérique du champ magnétique pour \(r = 0,5 \text{ cm}\), \(r = 1 \text{ cm}\) (à la surface), et \(r = 2 \text{ cm}\).
Quelle est l'allure de la courbe représentant \(B\) en fonction de \(r\) ?

Les bases sur le Théorème d’Ampère

Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale de l'électromagnétisme qui établit un lien entre les sources de courant électrique et le champ magnétique qu'elles génèrent. Il est particulièrement utile dans les cas où la distribution de courant présente une symétrie élevée (plane, cylindrique ou sphérique).

1. Énoncé du Théorème d’Ampère
La circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'un contour fermé et orienté \(C\) (appelé contour d'Ampère) est égale au produit de la perméabilité du vide \(\mu_0\) par la somme algébrique des courants \(I_{\text{enlacé}}\) qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour. \[ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \]

2. Densité de Courant et Courant Enlacé
Lorsque le courant n'est pas filiforme mais distribué dans un volume, on utilise la notion de densité de courant \(\vec{J}\). Le courant enlacé est alors le flux du vecteur densité de courant à travers la surface \(S\) délimitée par le contour d'Ampère. Si \(J\) est uniforme et colinéaire à la normale de la surface, on a : \(I = J \cdot A\), où A est l'aire de la section.

Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Question 1 : Calcul de la densité de courant J

Principe

Le concept physique est celui de la conservation de la charge en mouvement. La densité de courant \(J\) est une mesure de la concentration du flux de courant. Puisqu'on nous dit que le courant est réparti uniformément, cela signifie que chaque millimètre carré de la section du fil voit passer la même quantité de courant. Notre objectif est de trouver cette "densité" de passage.

Mini-Cours

La densité de courant \(\vec{J}\) est un vecteur qui décrit localement le mouvement des charges électriques. Sa direction est celle du mouvement des charges positives et sa norme est le courant par unité de surface (en \(\text{A/m}^2\)). Pour un courant total \(I\) traversant une surface \(A\) de manière uniforme et orthogonale, la norme de la densité de courant est simplement le rapport \(J = I/A\).

Remarque Pédagogique

Face à un problème de distribution, le premier réflexe est de quantifier cette distribution. Ici, le mot "uniformément" est la clé. Il nous assure qu'une simple division suffit. Si la distribution n'était pas uniforme, il faudrait utiliser une intégrale pour lier \(I\) et \(J\).

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie (comme les Eurocodes), mais à la définition physique fondamentale de la densité de courant, une pierre angulaire de l'électromagnétisme formalisée dans les équations de Maxwell.

Formule(s)

L'outil mathématique est la formule de la densité de courant pour une distribution uniforme sur une section droite.

J = \frac{I_{\text{total}}}{A_{\text{section}}} = \frac{I}{\pi R^2}

Hypothèses

Le cadre du calcul est défini par l'énoncé. Nous posons explicitement :

Le courant \(I\) est réparti de manière parfaitement uniforme sur toute la section du conducteur.
Le conducteur a une section circulaire parfaite.

Donnée(s)

Nous extrayons les chiffres pertinents de l'énoncé pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant total	\(I\)	100	\(\text{A}\)
Rayon du conducteur	\(R\)	1	\(\text{cm}\)

Astuces

Pour aller plus vite, pensez à l'homogénéité des unités. Une densité de courant est en \(\text{A/m}^2\). Si vous divisez des Ampères par des \(\text{cm}^2\), votre résultat sera faux. La conversion des unités est la première étape cruciale avant tout calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la section du fil. Le courant \(I\) est la somme de toutes les petites contributions de courant (représentées par des points) qui traversent la surface colorée.

Section et densité de courant uniforme

Calcul(s)

Conversion du rayon

R = 1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m}

Calcul de la densité de courant

\begin{aligned} J &= \frac{100 \text{ A}}{\pi \times (0,01 \text{ m})^2} \\ &= \frac{100}{\pi \times 10^{-4}} \text{ A/m}^2 \\ &\Rightarrow J \approx 318309,8 \text{ A/m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la densité de courant uniforme J calculée. Chaque petite zone de la section du conducteur contribue de manière égale au courant total, ce qui est représenté par les flèches de même longueur.

Réflexions

Le résultat, environ \(318 \text{ kA/m}^2\), peut sembler grand, mais c'est un ordre de grandeur typique pour les conducteurs en électrotechnique. Cela signifie que chaque mètre carré de section de cuivre transporte plus de 300 000 Ampères. Cela met en perspective l'efficacité des conducteurs électriques.

Points de vigilance

Attention à la mise au carré du rayon ET de son facteur de conversion ! Une erreur courante est de calculer \((1 \times 10^{-2})^2\) comme \(1 \times 10^{-4}\) (ce qui est juste) mais d'oublier de le faire dans un calcul plus complexe. Écrivez toujours les étapes.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez : Densité = Total / Surface. Cette idée s'applique à de nombreux domaines (densité de population, de masse, etc.). Le point clé ici est d'identifier la bonne surface, qui est un disque (\(\pi R^2\)).

Le saviez-vous ?

Dans les applications à haute fréquence (comme les communications radio), le courant ne se répartit plus uniformément. Il a tendance à se concentrer sur la surface du conducteur. C'est ce qu'on appelle "l'effet de peau" (skin effect).

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

L'expression de la densité de courant est \(J = I / (\pi R^2)\), et sa valeur numérique est d'environ \(3,18 \times 10^5 \text{ A/m}^2\).

A vous de jouer

Si le même courant de 100 A passait dans un fil de rayon \(R=2\) cm, quelle serait la nouvelle densité de courant (en \(\text{A/m}^2\))?

Question 2 : Champ magnétique à l'extérieur du fil (\(r > R\))

Principe

Le concept physique clé est le lien intégral entre le courant et le champ magnétique, décrit par le théorème d'Ampère. L'idée est d'utiliser la symétrie du problème : puisque le fil est un cylindre infini, le champ magnétique qu'il crée doit avoir la même symétrie. Il doit "tourner" autour du fil à une valeur constante pour une distance donnée.

Mini-Cours

Le théorème d'Ampère stipule que la circulation de \(\vec{B}\) sur un chemin fermé \(C\) est proportionnelle au courant \(I_{\text{enlacé}}\) qui traverse ce chemin. L'astuce consiste à choisir un chemin \(C\) (le contour d'Ampère) qui simplifie le calcul de la circulation. Pour une symétrie cylindrique, un cercle centré sur l'axe est le choix parfait, car \(\vec{B}\) y est tangent et de module constant.

Remarque Pédagogique

Le conseil du professeur est de toujours commencer par analyser les symétries. Demandez-vous : si je tourne autour du fil, le problème change-t-il ? Non. Si je me déplace le long du fil, le problème change-t-il ? Non. La seule chose qui change la situation est de s'éloigner ou de se rapprocher du fil. Donc, \(B\) ne doit dépendre que de \(r\).

Normes

Le théorème d'Ampère est l'une des quatre équations de Maxwell, le fondement de l'électromagnétisme classique. C'est une loi universelle de la physique.

Formule(s)

Théorème d'Ampère

\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Circulation pour un contour circulaire

\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \times (2\pi r)

Hypothèses

Pour que notre calcul soit valide, nous supposons :

Le fil est infiniment long (pour ignorer les effets de bord).
La symétrie cylindrique est parfaite.
Le milieu extérieur est le vide (ou l'air, avec \(\mu \approx \mu_0\)).

Donnée(s)

Pour un contour extérieur, le courant enlacé est le courant total qui parcourt le conducteur.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant enlacé	\(I_{\text{enlacé}}\)	100	\(\text{A}\)
Perméabilité du vide	\(\mu_0\)	\(4\pi \times 10^{-7}\)	\(\text{T}\cdot\text{m/A}\)

Astuces

Une règle d'or : à l'extérieur d'une distribution de courant à symétrie cylindrique ou sphérique, le champ magnétique est le même que si tout le courant était concentré au centre/sur l'axe. C'est un puissant raccourci mental.

Schéma (Avant les calculs)

On dessine le conducteur, le contour d'Ampère \(C\) à l'extérieur, et on représente les vecteurs champ magnétique (B) et élément de longueur (dl) qui sont parallèles en tout point du contour.

Contour d'Ampère et vecteurs (\(r>R\))

Calcul(s)

Le théorème d'Ampère nous donne l'égalité entre la circulation et le courant enlacé.

B(r) \times (2\pi r) = \mu_0 I

Pour isoler \(B(r)\), qui est le module du champ magnétique que nous cherchons, il suffit de diviser les deux côtés de l'équation par la circonférence du contour \(2\pi r\). On obtient alors l'expression finale.

B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre les lignes de champ magnétique (circulaires et concentriques) et le vecteur champ \(\vec{B}\), tangent au cercle, à une distance \(r\) de l'axe.

Lignes de champ à l'extérieur

Réflexions

L'interprétation est directe : le champ magnétique s'affaiblit à mesure que l'on s'éloigne du fil. La décroissance en \(1/r\) est caractéristique d'un phénomène à symétrie cylindrique s'étendant à l'infini. C'est la même loi que pour un fil infiniment fin, ce qui confirme notre astuce.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(r\) (la distance variable où l'on calcule le champ) et \(R\) (le rayon fixe du fil). La formule \(B = \mu_0 I / (2\pi r)\) n'est valide que pour \(r \ge R\).

Points à retenir

Retenez la méthode : 1. Choisir le bon contour d'Ampère (un cercle). 2. Calculer la circulation (\(B \times 2\pi r\)). 3. Déterminer le courant enlacé (ici, \(I\)). 4. Égaliser et résoudre. Cette méthode est la clé pour tous les problèmes de type Ampère.

Le saviez-vous ?

En 1820, Hans Christian Ørsted a découvert qu'un courant électrique déviait l'aiguille d'une boussole. C'est cette observation qui a mis en évidence le lien entre électricité et magnétisme, qu'Ampère a ensuite formalisé mathématiquement.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Pour \(r \ge R\), le module du champ magnétique est : \( B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \).

A vous de jouer

Un courant de 50 A parcourt le fil de 1 cm de rayon. Calculez le champ à 10 cm de l'axe (en Tesla).

Question 3 : Champ magnétique à l'intérieur du fil (\(r < R\))

Principe

Le concept est le même qu'à l'extérieur, mais avec une différence cruciale : le contour d'Ampère, étant maintenant à l'intérieur du conducteur, n'enlace plus la totalité du courant \(I\). Il n'enlace que la fraction de courant qui passe à l'intérieur du disque de rayon \(r\).

Mini-Cours

Le calcul du courant enlacé pour une distribution volumique se fait en multipliant la densité de courant \(J\) par la surface traversée par ce courant à l'intérieur du contour d'Ampère. C'est ici que le calcul de \(J\) de la question 1 devient indispensable. \(I_{\text{enlacé}} = J \times A_{\text{contour}}\).

Remarque Pédagogique

L'erreur classique est d'utiliser le courant total \(I\) dans le théorème d'Ampère même pour un contour intérieur. Visualisez le courant comme de l'eau dans un tuyau : si vous ne regardez qu'une petite section au centre, vous ne voyez pas tout le débit. C'est la même idée ici.

Normes

Aucune norme spécifique, on reste sur les lois fondamentales de l'électromagnétisme.

Formule(s)

Théorème d'Ampère

B(r) \times (2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Courant enlacé

I_{\text{enlacé}} = J \times (\pi r^2)

Hypothèses

Les hypothèses de symétrie du fil infini restent valables. Nous nous appuyons aussi sur l'hypothèse (et le résultat) de la densité de courant \(J\) uniforme.

Donnée(s)

On utilise l'expression et la valeur de \(J\) trouvées à la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité de courant	\(J\)	\(3,18 \times 10^5\)	\(\text{A/m}^2\)
Courant total	\(I\)	100	\(\text{A}\)
Rayon du fil	\(R\)	0,01	\(\text{m}\)

Astuces

Pour vérifier votre résultat final, testez-le à la limite \(r=R\). L'expression pour le champ intérieur doit donner exactement le même résultat que l'expression pour le champ extérieur à cette position. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part.

Schéma (Avant les calculs)

On dessine le contour d'Ampère \(C\) à l'intérieur. Seul le courant contenu dans la surface bleue (\(I_{enlacé}\)) contribue au champ sur le contour.

Courant enlacé (\(r

Calcul(s)

Expression du courant enlacé

On exprime d'abord le courant enlacé en utilisant la densité de courant \(J = I/(\pi R^2)\) et la surface du contour \(\pi r^2\).

\begin{aligned} I_{\text{enlacé}} &= J \times (\pi r^2) \\ &= \frac{I}{\pi R^2} \times \pi r^2 \\ \Rightarrow I_{\text{enlacé}} &= I \frac{r^2}{R^2} \end{aligned}

Application du théorème d'Ampère

On substitue l'expression du courant enlacé dans la loi d'Ampère.

B(r) \times (2\pi r) = \mu_0 \left(I \frac{r^2}{R^2}\right)

Résolution pour B(r)

Pour trouver \(B(r)\), nous divisons par \(2\pi r\). Le terme \(r\) au dénominateur simplifie le \(r^2\) au numérateur, laissant une dépendance linéaire simple en \(r\).

\begin{aligned} B(r) &= \frac{\mu_0 I r^2}{2\pi r R^2} \\ \Rightarrow B(r) &= \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre que le champ \(\vec{B}\) à l'intérieur est proportionnel à la distance \(r\) à l'axe. Les flèches sont plus petites près du centre et grandissent en s'approchant de la surface.

Vecteur Champ à l'intérieur

Réflexions

Le champ magnétique à l'intérieur n'est pas nul ! Il augmente linéairement à partir de zéro au centre (\(r=0\)) jusqu'à sa valeur maximale à la surface (\(r=R\)). Cela est logique : plus on s'éloigne du centre, plus notre contour enlace de courant, et plus le champ est intense.

Points de vigilance

La plus grande erreur est d'oublier que \(I_{\text{enlacé}}\) dépend de \(r^2\) mais que la circulation dépend de \(r\). La simplification finale donne un champ qui dépend linéairement de \(r\), et non de \(r^2\) ou une autre puissance.

Points à retenir

À l'intérieur d'un conducteur plein, le champ est proportionnel à la distance à l'axe (\(B \propto r\)). C'est le deuxième résultat fondamental de cet exercice, contrastant avec la décroissance en \(1/r\) à l'extérieur.

Le saviez-vous ?

Dans un câble coaxial (utilisé pour la télévision ou internet), le courant aller passe par le conducteur central et le courant retour par le blindage extérieur. Grâce au théorème d'Ampère, on peut montrer que le champ magnétique à l'extérieur d'un câble coaxial idéal est nul, ce qui l'empêche de perturber les appareils voisins !

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Pour \(r < R\), le module du champ magnétique est : \( B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} \).

A vous de jouer

Pour le même fil (\(R=1\text{ cm}\), \(I=100\text{ A}\)), calculez le champ à \(r=0,2\text{ cm}\) (en Tesla).

Question 4 : Applications numériques

Principe

Cette question est une application directe des formules théoriques établies précédemment. L'objectif est de transformer les expressions littérales en valeurs chiffrées concrètes, ce qui permet de se faire une idée des ordres de grandeur et de vérifier la cohérence du modèle physique.

Mini-Cours

Le passage de la théorie à la pratique nécessite une rigueur absolue dans la gestion des unités. Toutes les grandeurs doivent être exprimées dans le Système International (SI) avant d'être injectées dans les formules : les longueurs en mètres (m), les courants en Ampères (A), et le champ magnétique sera alors obtenu en Teslas (T).

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de créer un petit tableau de conversion avant de commencer les calculs. Cela évite les erreurs d'inattention. Listez chaque variable, sa valeur dans l'énoncé, et sa valeur en unités SI. C'est une étape qui semble simple mais qui sauve de nombreux points.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application numérique directe.

Formule(s)

Formule pour l'intérieur

B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} \quad (\text{pour } r < R)

Formule pour l'extérieur

B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \quad (\text{pour } r \ge R)

Hypothèses

On suppose que les formules établies aux questions 2 et 3 sont correctes et applicables.

Donnée(s)

Voici toutes les données nécessaires, converties en SI :

Paramètre	Symbole	Valeur (SI)
Courant total	\(I\)	100 \(\text{A}\)
Rayon du conducteur	\(R\)	0,01 \(\text{m}\)
Perméabilité du vide	\(\mu_0\)	\(4\pi \times 10^{-7}\) \(\text{T}\cdot\text{m/A}\)
Distances de calcul	\(r\)	0,005 \(\text{m}\), 0,01 \(\text{m}\), 0,02 \(\text{m}\)

Astuces

Le terme \(\mu_0 / (2\pi)\) apparaît souvent. Il vaut exactement \(2 \times 10^{-7}\) \(\text{T}\cdot\text{m/A}\). Utiliser cette valeur simplifiée accélère les calculs et réduit les risques d'erreur de frappe sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma situe les trois points de calcul par rapport au conducteur : un à l'intérieur, un à la surface, et un à l'extérieur.

Points de calcul du champ

Calcul(s)

Calcul pour \(r = 0,5 \text{ cm} = 0,005 \text{ m}\) (Intérieur)

\begin{aligned} B &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0,005}{2\pi \times (0,01)^2} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 100 \times 0,005}{10^{-4}} \text{ T} \\ \Rightarrow B &= 1 \times 10^{-3} \text{ T} \end{aligned}

Calcul pour \(r = 1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m}\) (Surface)

\begin{aligned} B &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2\pi \times 0,01} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{0,01} \text{ T} \\ \Rightarrow B &= 2 \times 10^{-3} \text{ T} \end{aligned}

Calcul pour \(r = 2 \text{ cm} = 0,02 \text{ m}\) (Extérieur)

\begin{aligned} B &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2\pi \times 0,02} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{0,02} \text{ T} \\ \Rightarrow B &= 1 \times 10^{-3} \text{ T} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma représente visuellement les résultats. On voit que le vecteur champ magnétique est le plus long (le plus intense) à la surface du fil (\(r=R\)), et qu'il a une longueur égale (intensité égale) à \(r=R/2\) et \(r=2R\), illustrant la montée linéaire suivie de la décroissance hyperbolique.

Visualisation des résultats numériques

Réflexions

Les résultats sont cohérents avec la théorie : le champ augmente de 0 à 1 cm, puis diminue. On note que la valeur à 0,5 cm (la moitié du rayon) est bien la moitié de la valeur maximale à 1 cm. De même, la valeur à 2 cm (le double du rayon) est aussi la moitié de la valeur maximale. C'est une belle illustration des dépendances en \(r\) et \(1/r\).

Points de vigilance

Le piège est d'utiliser la mauvaise formule. Avant chaque calcul, comparez \(r\) et \(R\) pour décider si vous êtes à l'intérieur ou à l'extérieur. L'erreur de conversion des centimètres en mètres reste la plus grande source d'échec à cette étape.

Points à retenir

Cette question vous apprend à finaliser un problème de physique. La mise en application numérique est aussi importante que la théorie. Retenez la méthode : 1. Choisir la bonne formule. 2. Convertir TOUTES les données en SI. 3. Calculer. 4. Exprimer le résultat avec la bonne unité (Tesla ou milliTesla).

Le saviez-vous ?

Le champ magnétique terrestre, qui nous protège des vents solaires, a une intensité d'environ 50 microTeslas (\(5 \times 10^{-5}\) T). Le champ de 2 mT calculé à la surface du fil est donc environ 40 fois plus intense que le champ terrestre !

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Les valeurs du champ sont : \(B(0,5 \text{ cm}) = 1 \text{ mT}\), \(B(1 \text{ cm}) = 2 \text{ mT}\), et \(B(2 \text{ cm}) = 1 \text{ mT}\).

A vous de jouer

Avec les mêmes données (\(R=1\text{ cm}\), \(I=100\text{ A}\)), quel serait le champ magnétique à une distance de 4 cm de l'axe (en milliTesla) ?

Question 5 : Allure de la courbe B(r)

Principe

La courbe se compose de deux parties : une droite linéaire croissante de \(r=0\) à \(r=R\), puis une branche d'hyperbole décroissante pour \(r>R\). Le champ est nul au centre et maximal à la surface du conducteur.

Mini-Cours

Ce type de graphique est un excellent exemple de fonction définie par morceaux. En physique, il est courant que le comportement d'un système change radicalement lorsqu'on traverse une frontière (ici, la surface du fil). La loi physique reste la même (Théorème d'Ampère), mais son application change car la source (le courant enlacé) n'est pas la même à l'intérieur et à l'extérieur. On a donc deux expressions mathématiques distinctes qui se "raccordent" à la frontière \(r=R\).

Schéma (Après les calculs)

Évolution de B en fonction de r

Points de vigilance

Les erreurs fréquentes lors du traçage de cette courbe sont :

Oublier la continuité : La valeur du champ à \(r=R\) doit être la même qu'on utilise la formule "intérieure" ou "extérieure". S'il y a un "saut" dans votre graphique à la jonction, c'est le signe d'une erreur de calcul.
Mauvaise forme de courbe : Ne confondez pas la droite linéaire (\(B \propto r\)) avec une courbe (comme une parabole), et ne dessinez pas la décroissance hyperbolique (\(B \propto 1/r\)) comme une simple droite descendante.

Points à retenir

L'allure de la courbe du champ magnétique pour un conducteur cylindrique plein est un résultat classique à mémoriser :

Nul au centre : \(B(0) = 0\).
Croissance linéaire à l'intérieur : \(B \propto r\) pour \(r < R\).
Maximum à la surface : \(B_{\text{max}} = B(R)\).
Décroissance hyperbolique à l'extérieur : \(B \propto 1/r\) pour \(r > R\).

Le graphique ci-dessous illustre cette évolution.

Réflexions

Cette forme de courbe est caractéristique du champ magnétique d'un fil cylindrique plein. La continuité de la fonction à \(r=R\) confirme que nos deux expressions sont cohérentes. Le champ atteint sa valeur maximale à la surface, là où tout le courant est "juste" enlacé.

Outil Interactif : Simulateur du Champ Magnétique

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier l'intensité du courant total \(I\) et le rayon du conducteur \(R\). Observez en temps réel l'impact sur le champ magnétique et sur la forme de la courbe \(B(r)\).

Paramètres d'Entrée

Courant total I (A) 100 A

Rayon du fil R (cm) 1 cm

Résultats Clés (en mT)

Champ à r = R/2 -

Champ à r = R (surface) -

Champ à r = 2R -

Glossaire

Théorème d’Ampère: Loi fondamentale reliant la circulation du champ magnétique sur un contour fermé au courant électrique qui traverse la surface délimitée par ce contour.
Champ Magnétique (B): Champ de force créé par des charges électriques en mouvement (courants). Son unité est le Tesla (T).
Densité de Courant (J): Vecteur représentant le courant électrique par unité de surface. Son unité est l'Ampère par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
Perméabilité du vide (\(\mu_0\)): Constante physique qui caractérise la capacité du vide à permettre aux lignes de champ magnétique de se former. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) \(\text{T}\cdot\text{m/A}\).
Contour d'Ampère: Contour fermé imaginaire utilisé pour appliquer le théorème d'Ampère. Son choix judicieux, basé sur la symétrie du problème, simplifie grandement les calculs.

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Coupe transversale du conducteur et contours d'Ampère

Questions à traiter

Les bases sur le Théorème d’Ampère

Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Question 1 : Calcul de la densité de courant J

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Section et densité de courant uniforme

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Champ magnétique à l'extérieur du fil (\(r > R\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère et vecteurs (\(r>R\))

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Lignes de champ à l'extérieur

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Champ magnétique à l'intérieur du fil (\(r < R\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Courant enlacé (\(rI_enlacéContour C

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Champ à l'intérieur

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Applications numériques

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Courant enlacé (\(r