Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Exercice : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Comprendre la Propagation Guidée

Contrairement aux ondes se propageant dans l'espace libre, les ondes confinées dans une structure métallique creuse, appelée guide d'ondes, ne peuvent pas se propager à n'importe quelle fréquence. Pour une géométrie donnée, il existe une fréquence de coupure ($f_c$) en dessous de laquelle aucune propagation n'est possible. Au-dessus de cette fréquence, l'onde peut se propager, mais sa vitesse de phase dépend de la fréquence, ce qui fait du guide d'ondes un milieu intrinsèquement dispersif. Cet exercice se concentre sur le calcul de la fréquence de coupure et de la vitesse de phase pour le mode de propagation le plus simple dans un guide d'ondes rectangulaire.

Remarque Pédagogique : Les guides d'ondes agissent comme des filtres passe-haut : ils ne laissent passer que les fréquences supérieures à leur fréquence de coupure. Cette propriété est fondamentale en ingénierie des micro-ondes pour sélectionner les fréquences désirées. L'étude du mode fondamental, le $TE_{10}$, est la plus importante car c'est le mode le plus efficace et le plus utilisé en pratique.

Données de l'étude

On étudie un guide d'ondes rectangulaire standard WR-90 rempli d'air, utilisé pour les applications en bande X.

Caractéristiques et constantes :

Grande dimension interne ($a$) : $2.286 \, \text{cm}$
Petite dimension interne ($b$) : $1.016 \, \text{cm}$
Fréquence de l'onde injectée ($f$) : $10 \, \text{GHz}$
Vitesse de la lumière dans le vide ($c$) : $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

Schéma d'un Guide d'Ondes Rectangulaire

Questions à traiter

Donner la formule générale de la fréquence de coupure $f_{c,mn}$ pour un mode $TE_{mn}$ ou $TM_{mn}$.
Calculer la fréquence de coupure du mode fondamental, le mode $TE_{10}$.
Calculer la fréquence de coupure du mode suivant, le mode $TE_{20}$.
Donner l'expression de la vitesse de phase $v_\varphi$ en fonction de $c$, $f$ et $f_c$, et la calculer pour le mode $TE_{10}$ à la fréquence de fonctionnement donnée.

Correction : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Question 1 : Formule de la Fréquence de Coupure

Principe :

La fréquence de coupure d'un mode $(m, n)$ dans un guide rectangulaire est la fréquence minimale pour laquelle ce mode peut se propager. Elle est déterminée par les dimensions transversales du guide ($a$ et $b$), qui imposent des conditions aux limites sur le champ électromagnétique.

Remarque Pédagogique : Cette formule est analogue à celle des fréquences de résonance d'une cavité, mais sans le terme lié à la troisième dimension (la direction de propagation). En effet, la coupure est un phénomène purement transversal. Les indices $m$ et $n$ comptent le nombre de demi-variations du champ le long des dimensions $a$ et $b$.

Formule(s) utilisée(s) :

f_{c,mn} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}

Pour les modes TE (Transverse Électrique), $m$ ou $n$ peut être nul (mais pas les deux). Pour les modes TM (Transverse Magnétique), $m$ et $n$ doivent être non nuls ($m\ge1, n\ge1$).

Question 2 : Fréquence de Coupure du Mode Fondamental ($TE_{10}$)

Principe :

Le mode fondamental est le mode non trivial qui a la fréquence de coupure la plus basse. Comme $a > b$ par convention, le terme $ (1/a)^2 $ est plus petit que $ (1/b)^2 $. Le mode fondamental est donc le mode $TE_{10}$ (avec $m=1, n=0$).

Remarque Pédagogique : La fréquence de coupure du mode fondamental définit le début de la bande passante utile du guide d'ondes. Aucun signal de fréquence inférieure ne peut s'y propager, il est simplement réfléchi ou atténué très rapidement (onde évanescente).

Calcul :

On convertit d'abord les dimensions en mètres : $a=0.02286\text{m}, b=0.01016\text{m}$.

\begin{aligned} f_{c,10} &= \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{0}{b}\right)^2} \\ &= \frac{c}{2a} \\ &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2 \times 0.02286 \, \text{m}} \\ &\approx 6.56 \times 10^9 \, \text{Hz} = 6.56 \, \text{GHz} \end{aligned}

Résultat : La fréquence de coupure du mode fondamental $TE_{10}$ est d'environ $6.56 \, \text{GHz}$.

Question 3 : Fréquence de Coupure du Mode Suivant ($TE_{20}$)

Principe :

Le mode d'ordre immédiatement supérieur dépend des dimensions relatives. Les candidats sont typiquement $TE_{20}$ et $TE_{01}$. On les calcule tous les deux pour déterminer le plus bas.

Remarque Pédagogique : La fréquence de coupure du premier mode d'ordre supérieur définit la fin de la bande passante monomode. Entre $f_{c,10}$ et $f_{c,20}$, seul le mode fondamental se propage, ce qui est généralement la plage d'utilisation souhaitée pour éviter la dispersion intermodale.

Calcul :

Mode $TE_{20}$ (m=2, n=0):

\begin{aligned} f_{c,20} &= \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{a}\right)^2} = \frac{c}{a} = 2 \times f_{c,10} \\ &\approx 2 \times 6.56 \, \text{GHz} = 13.12 \, \text{GHz} \end{aligned}

Mode $TE_{01}$ (m=0, n=1):

\begin{aligned} f_{c,01} &= \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{b}\right)^2} = \frac{c}{2b} \\ &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2 \times 0.01016 \, \text{m}} \approx 14.76 \, \text{GHz} \end{aligned}

Résultat : Le mode suivant est le mode $TE_{20}$, avec une fréquence de coupure de $13.12 \, \text{GHz}$.

Question 4 : Vitesse de Phase ($v_\varphi$)

Principe :

Pour une fréquence $f$ supérieure à la fréquence de coupure $f_c$, une onde peut se propager. La vitesse de propagation de ses fronts d'onde (vitesse de phase) est toujours supérieure à la vitesse de la lumière $c$ et dépend de l'écart entre $f$ et $f_c$.

Remarque Pédagogique : Plus on s'approche de la fréquence de coupure, plus la vitesse de phase tend vers l'infini, tandis que la vitesse de groupe (qui transporte l'énergie) tend vers zéro. À très haute fréquence ($f \gg f_c$), la vitesse de phase se rapproche de $c$, et le guide se comporte presque comme l'espace libre.

Formule(s) utilisée(s) :

v_\varphi = \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}

Calcul :

On utilise $f=10 \, \text{GHz}$ et $f_{c,10} = 6.56 \, \text{GHz}$.

\begin{aligned} v_\varphi &= \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 - \left(\frac{6.56}{10}\right)^2}} \\ &= \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 - 0.4303}} \\ &= \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{0.5697}} \\ &\approx \frac{3 \times 10^8}{0.7548} \\ &\approx 3.97 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat : La vitesse de phase est $v_\varphi \approx 3.97 \times 10^8 \, \text{m/s}$, soit environ $1.32c$.

Simulation Interactive des Fréquences de Coupure

Utilisez les curseurs pour modifier les dimensions du guide d'ondes. Le graphique à barres montre comment les fréquences de coupure des premiers modes sont affectées. Observez comment la bande passante monomode (l'écart entre $f_{c,10}$ et le mode suivant) change.

Paramètres du Guide

Dimension 'a': 2.29 cm

Dimension 'b': 1.02 cm

Fréquences de Coupure (GHz)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Guide d'Ondes Rempli d'un Diélectrique

Si le guide d'ondes est rempli d'un matériau diélectrique de permittivité relative $\epsilon_r$, la vitesse de la lumière dans le milieu devient $c' = c/\sqrt{\epsilon_r}$. Toutes les fréquences de coupure sont alors divisées par le facteur $\sqrt{\epsilon_r}$, ce qui permet de réduire la taille du guide pour une même fréquence de fonctionnement.

Guides d'Ondes Circulaires

Les guides d'ondes peuvent aussi être circulaires. Leurs modes sont alors décrits par des fonctions de Bessel plutôt que des sinusoïdes, et les fréquences de coupure dépendent des zéros de ces fonctions. Le principe de la coupure et de la dispersion reste cependant le même.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi un guide d'ondes a-t-il une fréquence de coupure ?

Une onde se propageant dans un guide peut être vue comme une onde plane se réfléchissant d'une paroi à l'autre. Pour qu'une onde stationnaire s'établisse dans la direction transverse, il faut qu'un nombre entier de demi-longueurs d'onde "tienne" dans cette dimension. Si la fréquence est trop basse, la longueur d'onde est trop grande pour satisfaire cette condition, et l'onde ne peut pas se propager.

Que se passe-t-il si j'envoie un signal à une fréquence inférieure à la coupure ?

L'onde ne se propage pas. Elle devient une "onde évanescente", dont l'amplitude décroît exponentiellement très rapidement avec la distance. Elle ne transporte pas d'énergie sur une longue distance et est en pratique totalement atténuée après une distance de l'ordre de la dimension du guide.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la grande dimension ($a$) d'un guide d'ondes rectangulaire, sa fréquence de coupure fondamentale $f_{c,10}$ va :

Diminuer.
Augmenter.
Rester la même.
Devenir nulle.

2. Pour un guide d'ondes donné, si on augmente la fréquence de fonctionnement (en restant au-dessus de la coupure), la vitesse de phase $v_\varphi$ :

Augmente.
Reste constante.
Diminue (en se rapprochant de c).
Devient égale à la vitesse de groupe.

Glossaire

Guide d'Ondes: Structure, généralement un tube métallique creux, utilisée pour guider les ondes électromagnétiques à haute fréquence (micro-ondes) avec de faibles pertes.
Fréquence de Coupure ($f_c$): Fréquence minimale en dessous de laquelle une onde ne peut pas se propager dans un guide d'ondes donné pour un mode spécifique.
Mode de Propagation (TE/TM): Configuration spatiale spécifique du champ électromagnétique qui peut se propager dans un guide d'ondes. Le mode fondamental est celui qui a la fréquence de coupure la plus basse.
Vitesse de Phase ($v_\varphi$): Vitesse de propagation des plans d'égale phase d'une onde monochromatique dans un guide. Elle est toujours supérieure ou égale à la vitesse de la lumière $c$.
Onde Évanescente: Onde qui ne se propage pas mais dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la distance. C'est le comportement d'une onde dans un guide à une fréquence inférieure à la fréquence de coupure.

D’autres exercices d’electromagnétique:

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Données de l'étude

Schéma d'un Guide d'Ondes Rectangulaire

Questions à traiter

Correction : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Question 1 : Formule de la Fréquence de Coupure

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 2 : Fréquence de Coupure du Mode Fondamental (\(TE_{10}\))

Principe :

Calcul :

Question 3 : Fréquence de Coupure du Mode Suivant (\(TE_{20}\))

Principe :

Calcul :

Question 4 : Vitesse de Phase (\(v_\varphi\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Simulation Interactive des Fréquences de Coupure

Paramètres du Guide

Fréquences de Coupure (GHz)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Foire Aux Questions (FAQ)

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