Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure dans un Guide d'Ondes

Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure dans un Guide d'Ondes

Comprendre la Propagation Guidée et la Fréquence de Coupure

Les guides d'ondes sont des structures métalliques creuses utilisées pour guider la propagation des ondes électromagnétiques, typiquement aux fréquences micro-ondes. Contrairement à la propagation en espace libre, la présence des parois conductrices impose des conditions aux limites au champ électromagnétique, ce qui conduit à l'existence de modes de propagation discrets (par exemple, TE et TM). Chaque mode est caractérisé par une configuration spécifique du champ et ne peut se propager que si la fréquence de l'onde est supérieure à une certaine fréquence appelée fréquence de coupure (\(f_c\)) propre à ce mode et aux dimensions du guide.

En dessous de la fréquence de coupure, l'onde est évanescente et ne se propage pas efficacement. Au-dessus de \(f_c\), l'onde se propage avec une vitesse de phase (\(v_\phi\)) qui est supérieure à la vitesse de la lumière dans le milieu remplissant le guide, et une vitesse de groupe (\(v_g\)) qui est inférieure. La vitesse de phase est la vitesse à laquelle les plans d'égale phase se déplacent, tandis que la vitesse de groupe représente la vitesse de propagation de l'énergie de l'onde.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la fréquence de coupure, de la longueur d'onde dans le guide, et des vitesses de phase et de groupe pour un mode spécifique dans un guide d'ondes rectangulaire rempli d'air.

Données de l'étude

Un guide d'ondes rectangulaire rempli d'air est utilisé pour transmettre une onde électromagnétique.

Caractéristiques du guide d'ondes et de l'onde :

  • Largeur interne du guide (grande dimension) (\(a\)) : \(2.50 \, \text{cm}\)
  • Hauteur interne du guide (petite dimension) (\(b\)) : \(1.25 \, \text{cm}\)
  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(10 \, \text{GHz}\)
  • Mode de propagation considéré : Mode fondamental TE\(_{10}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (et approximativement dans l'air) (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Schéma d'un Guide d'Ondes Rectangulaire
a (largeur) b Propagation Mode TE10

Guide d'ondes rectangulaire de dimensions internes \(a\) et \(b\).

Questions à traiter

  1. Convertir les dimensions \(a\) et \(b\) du guide en mètres.
  2. Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) pour le mode fondamental TE\(_{10}\).
  3. L'onde de fréquence \(f = 10 \, \text{GHz}\) peut-elle se propager dans ce guide en mode TE\(_{10}\) ? Justifier.
  4. Calculer la longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) pour la fréquence \(f\).
  5. Calculer la longueur d'onde dans le guide (\(\lambda_g\)) pour le mode TE\(_{10}\) à la fréquence \(f\).
  6. Calculer la vitesse de phase (\(v_\phi\)) de l'onde dans le guide.
  7. Calculer la vitesse de groupe (\(v_g\)) de l'onde dans le guide.

Correction : Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

Question 1 : Conversion des dimensions \(a\) et \(b\)

Principe :

Convertir les centimètres en mètres.

Données spécifiques :
  • Largeur (\(a\)) : \(2.50 \, \text{cm}\)
  • Hauteur (\(b\)) : \(1.25 \, \text{cm}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} a &= 2.50 \, \text{cm} \cdot \frac{1 \, \text{m}}{100 \, \text{cm}} = 0.0250 \, \text{m} \\ b &= 1.25 \, \text{cm} \cdot \frac{1 \, \text{m}}{100 \, \text{cm}} = 0.0125 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(a = 0.0250 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.0125 \, \text{m}\)

Quiz Intermédiaire 1 : 1 GHz équivaut à :

Question 2 : Fréquence de coupure \(f_c\) pour le mode TE\(_{10}\)

Principe :

Pour un guide d'ondes rectangulaire rempli d'un diélectrique de vitesse de phase \(c\) (ici, l'air), la fréquence de coupure \(f_{c,mn}\) pour un mode TE\(_{mn}\) ou TM\(_{mn}\) est donnée par : \(f_{c,mn} = \frac{c}{2} \sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2}\). Pour le mode fondamental TE\(_{10}\), \(m=1\) et \(n=0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{c,10} = \frac{c}{2a}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Largeur (\(a\)) : \(0.0250 \, \text{m}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{c,10} &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2 \cdot 0.0250 \, \text{m}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8}{0.050} \, \text{Hz} \\ &= 60 \times 10^8 \, \text{Hz} \\ &= 6.0 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &= 6.0 \, \text{GHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fréquence de coupure pour le mode TE\(_{10}\) est \(f_{c,10} = 6.0 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le mode fondamental dans un guide d'ondes rectangulaire standard (avec \(a > b\)) est généralement :

Question 3 : Propagation de l'onde à \(f = 10 \, \text{GHz}\)

Principe :

Une onde peut se propager dans un mode donné si sa fréquence \(f\) est supérieure à la fréquence de coupure \(f_c\) de ce mode.

Comparaison :
  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(10 \, \text{GHz}\)
  • Fréquence de coupure TE\(_{10}\) (\(f_{c,10}\)) : \(6.0 \, \text{GHz}\) (de Q2)
\[10 \, \text{GHz} > 6.0 \, \text{GHz}\]
Résultat Question 3 : Oui, l'onde de \(10 \, \text{GHz}\) peut se propager dans le guide en mode TE\(_{10}\) car sa fréquence est supérieure à la fréquence de coupure de ce mode (\(f > f_{c,10}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la fréquence d'une onde est inférieure à la fréquence de coupure d'un mode dans un guide :

Question 4 : Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\))

Principe :

La longueur d'onde dans le vide \(\lambda_0\) est \(c/f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_0 = \frac{c}{f}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(10 \, \text{GHz} = 10 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{10 \times 10^9 \, \text{Hz}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8}{1.00 \times 10^{10}} \, \text{m} \\ &= 3.00 \times 10^{-2} \, \text{m} \\ &= 0.030 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(\lambda_0 = 3.0 \, \text{cm}\).

Résultat Question 4 : La longueur d'onde dans le vide est \(\lambda_0 = 0.030 \, \text{m}\) (ou \(3.0 \, \text{cm}\)).

Question 5 : Longueur d'onde dans le guide (\(\lambda_g\))

Principe :

La longueur d'onde dans le guide \(\lambda_g\) pour un mode donné est reliée à la longueur d'onde dans le vide \(\lambda_0\) et à la fréquence de coupure \(f_c\) (ou longueur d'onde de coupure \(\lambda_c = c/f_c\)) par la relation : \(\frac{1}{\lambda_g^2} = \frac{1}{\lambda_0^2} - \frac{1}{\lambda_c^2}\) ou \(\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}\]
Données spécifiques :
  • \(\lambda_0 = 0.030 \, \text{m}\) (de Q4)
  • \(f_c = f_{c,10} = 6.0 \, \text{GHz}\) (de Q2)
  • \(f = 10 \, \text{GHz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_g &= \frac{0.030 \, \text{m}}{\sqrt{1 - (6.0 \, \text{GHz} / 10 \, \text{GHz})^2}} \\ &= \frac{0.030}{\sqrt{1 - (0.6)^2}} \\ &= \frac{0.030}{\sqrt{1 - 0.36}} \\ &= \frac{0.030}{\sqrt{0.64}} \\ &= \frac{0.030}{0.8} \, \text{m} \\ &= 0.0375 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(\lambda_g = 3.75 \, \text{cm}\).

Résultat Question 5 : La longueur d'onde dans le guide est \(\lambda_g = 0.0375 \, \text{m}\) (ou \(3.75 \, \text{cm}\)).

Quiz Intermédiaire 5 : Pour une fréquence \(f > f_c\), la longueur d'onde dans le guide \(\lambda_g\) est toujours :

Question 6 : Vitesse de phase (\(v_\phi\))

Principe :

La vitesse de phase \(v_\phi\) est la vitesse à laquelle les plans d'égale phase de l'onde se propagent dans le guide. Elle est donnée par \(v_\phi = \lambda_g f\), ou \(v_\phi = \frac{c}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_\phi = \frac{c}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_\phi &= \frac{3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{\sqrt{1 - (6.0/10.0)^2}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8}{\sqrt{0.64}} \\ &= \frac{3.00 \times 10^8}{0.8} \, \text{m/s} \\ &= 3.75 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Notez que \(v_\phi > c\), ce qui est caractéristique de la propagation guidée au-dessus de la fréquence de coupure.

Résultat Question 6 : La vitesse de phase dans le guide est \(v_\phi = 3.75 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 6 : La vitesse de phase dans un guide d'ondes rempli d'air, pour \(f > f_c\), est :

Question 7 : Vitesse de groupe (\(v_g\))

Principe :

La vitesse de groupe \(v_g\) est la vitesse à laquelle l'énergie ou l'information se propage. Dans un guide d'ondes sans pertes, \(v_g \cdot v_\phi = c^2\) (pour un guide rempli d'un milieu où la vitesse en espace libre est \(c\)). Donc \(v_g = c^2 / v_\phi\), ou \(v_g = c \sqrt{1 - (f_c/f)^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_g = c \sqrt{1 - (f_c/f)^2}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_g &= (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}) \cdot \sqrt{1 - (6.0/10.0)^2} \\ &= (3.00 \times 10^8) \cdot \sqrt{0.64} \\ &= (3.00 \times 10^8) \cdot 0.8 \, \text{m/s} \\ &= 2.40 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Notez que \(v_g < c\).

Résultat Question 7 : La vitesse de groupe dans le guide est \(v_g = 2.40 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 7 : La vitesse de groupe dans un guide d'ondes rempli d'air, pour \(f > f_c\), est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence de coupure d'un guide d'ondes rectangulaire pour le mode TE\(_{10}\) dépend principalement de :

2. Pour qu'une onde se propage dans un guide d'ondes dans un mode donné, sa fréquence doit être :

3. Dans un guide d'ondes rempli d'air, la relation entre la vitesse de la lumière \(c\), la vitesse de phase \(v_\phi\) et la vitesse de groupe \(v_g\) est :

Glossaire

Guide d'Ondes
Structure qui guide la propagation des ondes, telles que les ondes électromagnétiques ou sonores. Les guides d'ondes métalliques sont couramment utilisés pour les micro-ondes.
Mode de Propagation
Configuration spécifique du champ électromagnétique qui peut se propager dans un guide d'ondes. Les modes communs sont TE (Transverse Électrique) et TM (Transverse Magnétique).
Fréquence de Coupure (\(f_c\))
Fréquence minimale à laquelle un mode particulier peut se propager dans un guide d'ondes. En dessous de \(f_c\), le mode est évanescent.
Onde Évanescente
Onde dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la distance, ne se propageant pas efficacement.
Longueur d'Onde dans le Vide (\(\lambda_0\))
Longueur d'onde d'une onde électromagnétique si elle se propageait dans le vide. \(\lambda_0 = c/f\).
Longueur d'Onde dans le Guide (\(\lambda_g\))
Distance entre deux plans d'égale phase successifs pour une onde se propageant dans un guide d'ondes.
Vitesse de Phase (\(v_\phi\))
Vitesse à laquelle les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) se propagent. Dans un guide, \(v_\phi = \lambda_g f\). Elle peut être supérieure à \(c\).
Vitesse de Groupe (\(v_g\))
Vitesse à laquelle l'énergie ou l'information transportée par l'onde se propage. Dans un guide sans pertes, \(v_g = c^2/v_\phi\). Elle est toujours inférieure ou égale à \(c\).
Mode TE\(_{mn}\)
Mode Transverse Électrique, où le champ électrique est entièrement transversal à la direction de propagation, mais une composante du champ magnétique peut exister dans cette direction. Les indices \(m\) et \(n\) se réfèrent au nombre de demi-variations du champ le long des dimensions transversales du guide.
Vitesse de Phase et Fréquence de Coupure

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