Densité Énergétique en Électromagnétisme

Nous allons déterminer la densité volumique d’énergie \( u \) dans la région considérée en appliquant la formule générale pour le champ électromagnétique :

\[ u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right) \]

où :

• \( \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\, \mathrm{F/m} \) est la permittivité du vide.
• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \mathrm{H/m} \) est la perméabilité du vide.
• \( E = 50\, \mathrm{N/C} \) est l’intensité du champ électrique.
• \( B = 0,2\, \mathrm{T} \) est l’intensité du champ magnétique.

1. Calcul de la contribution du champ électrique

Le terme correspondant est :

\[ u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 \]

Substitution des valeurs :

• Calcul de \( E^2 \) :
  \[ E^2 = 50^2 \] \[ E^2 = 2500\; (\mathrm{N/C})^2 \]
• Multiplication par \( \epsilon_0 \) :
  \[ \epsilon_0 \, E^2 = 8,85 \times 10^{-12}\, \mathrm{F/m} \times 2500 \] \[ \epsilon_0 \, E^2 = 2,2125 \times 10^{-8}\, \mathrm{J/m^3} \]
• En appliquant le coefficient \(\frac{1}{2}\) :
  \[ u_E = \frac{1}{2} \times 2,2125 \times 10^{-8}\, \mathrm{J/m^3} \] \[ u_E = 1,10625 \times 10^{-8}\, \mathrm{J/m^3} \]

2. Calcul de la contribution du champ magnétique

Le terme correspondant est :

\[ u_B = \frac{1}{2}\,\frac{B^2}{\mu_0} \]

Substitution des valeurs :

• Calcul de \( B^2 \) :
  \[ B^2 = (0,2)^2 \] \[ B^2 = 0,04\, \mathrm{T^2} \]
• Diviser par \( \mu_0 \) :
  On rappelle que
  \[ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \mathrm{H/m} \] \[ \mu_0 \approx 1,2566 \times 10^{-6}\, \mathrm{H/m} \]
  Ainsi,
  \[ \frac{B^2}{\mu_0} = \frac{0,04}{1,2566 \times 10^{-6}} \] \[ \frac{B^2}{\mu_0} \approx 31830,99\, \mathrm{J/m^3} \]
• En appliquant le coefficient \(\frac{1}{2}\) :
  \[ u_B = \frac{1}{2} \times 31830,99\, \mathrm{J/m^3} \] \[ u_B \approx 15915,50\, \mathrm{J/m^3} \]

3. Densité volumique d’énergie totale

En sommant les deux contributions, nous obtenons :

\[ u = u_E + u_B \] \[ u = 1,10625 \times 10^{-8}\, \mathrm{J/m^3} + 15915,50\, \mathrm{J/m^3} \]

Remarque sur l’ordre de grandeur :

• La contribution électrique est de l’ordre de \( 10^{-8} \) joules par mètre cube, tandis que la contribution magnétique est de l’ordre de \( 10^4 \) joules par mètre cube.
• Dans ce cas, la contribution du champ électrique est négligeable devant celle du champ magnétique.

Résultat final :
\[ u \approx 15915,50\, \mathrm{J/m^3} \]