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Exercices Électricité

Densité Énergétique en Électromagnétisme

Densité Énergétique en Électromagnétisme

Densité Énergétique en Électromagnétisme

Comprendre la Densité Énergétique

Les champs électriques et magnétiques stockent de l'énergie. La densité d'énergie électromagnétique décrit la quantité d'énergie stockée par unité de volume dans ces champs. Pour un champ électrique \(\vec{E}\) dans un milieu de permittivité \(\epsilon\), la densité d'énergie électrique est \(w_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2\). Pour un champ magnétique \(\vec{B}\) dans un milieu de perméabilité \(\mu\), la densité d'énergie magnétique est \(w_m = \frac{1}{2\mu} B^2\) (ou \(\frac{1}{2}\mu H^2\)). Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre le stockage et le transport de l'énergie dans les dispositifs électromagnétiques tels que les condensateurs, les inductances, et dans la propagation des ondes électromagnétiques.

Données de l'étude

On considère deux dispositifs : un condensateur plan et un solénoïde long.

Caractéristiques du condensateur plan (rempli d'air) :

  • Surface des armatures (\(A_c\)) : \(50 \, \text{cm}^2\)
  • Distance entre les armatures (\(d_c\)) : \(1 \, \text{mm}\)
  • Tension appliquée (\(V_c\)) : \(100 \, \text{V}\)

Caractéristiques du solénoïde long (avec un noyau d'air) :

  • Nombre de spires (\(N_L\)) : \(500\)
  • Longueur du solénoïde (\(l_L\)) : \(10 \, \text{cm}\)
  • Rayon des spires (\(r_L\)) : \(1 \, \text{cm}\)
  • Courant traversant le solénoïde (\(I_L\)) : \(2 \, \text{A}\)

Constantes :

  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Schémas : Condensateur Plan et Solénoïde
Condensateur +V 0V E d Solénoïde B longueur l I Stockage d'Énergie Électromagnétique

Condensateur plan avec champ électrique E et solénoïde avec champ magnétique B.

Questions à traiter

Partie A : Condensateur Plan

  1. Calculer le module du champ électrique (\(E_c\)) à l'intérieur du condensateur.
  2. Calculer la densité d'énergie électrique (\(w_e\)) stockée dans le condensateur.
  3. Calculer le volume (\(Vol_c\)) de l'espace entre les armatures du condensateur.
  4. Calculer l'énergie totale (\(W_e\)) stockée dans le condensateur. Vérifier que \(W_e = w_e \cdot Vol_c\).

Partie B : Solénoïde Long

  1. Calculer le module du champ magnétique (\(B_L\)) à l'intérieur du solénoïde (en supposant qu'il est infiniment long).
  2. Calculer la densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) stockée dans le solénoïde.
  3. Calculer le volume (\(Vol_L\)) de l'intérieur du solénoïde.
  4. Calculer l'énergie totale (\(W_m\)) stockée dans le solénoïde. Vérifier que \(W_m = w_m \cdot Vol_L\).

Correction : Densité Énergétique en Électromagnétisme

Partie A : Condensateur Plan

Question 1 : Champ électrique (\(E_c\)) dans le condensateur

Principe :

Pour un condensateur plan, le champ électrique entre les armatures est approximativement uniforme et est donné par le rapport de la tension \(V_c\) à la distance \(d_c\) entre les armatures.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_c = \frac{V_c}{d_c}\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Tension appliquée (\(V_c\)) : \(100 \, \text{V}\)
  • Distance entre les armatures (\(d_c\)) : \(1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_c &= \frac{100 \, \text{V}}{1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= 100 \times 10^3 \, \text{V/m} \\ &= 1 \times 10^5 \, \text{V/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le module du champ électrique dans le condensateur est \(E_c = 1 \times 10^5 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension aux bornes d'un condensateur plan double et que la distance entre les plaques reste constante, le champ électrique à l'intérieur :

Question 2 : Densité d'énergie électrique (\(w_e\))

Principe :

La densité d'énergie stockée dans un champ électrique \(\vec{E}\) dans un milieu de permittivité \(\epsilon\) est \(w_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2\). Pour le vide ou l'air, \(\epsilon \approx \epsilon_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_e = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_c^2\]
Données spécifiques :
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Champ électrique (\(E_c\)) : \(1 \times 10^5 \, \text{V/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_e &= \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times (1 \times 10^5 \, \text{V/m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 10^{10} \, \text{J/m}^3 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-2} \, \text{J/m}^3 \\ &= 4.427 \times 10^{-2} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 0.04427 \, \text{J/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La densité d'énergie électrique est \(w_e \approx 0.0443 \, \text{J/m}^3\).

Question 3 : Volume (\(Vol_c\)) du condensateur

Principe :

Le volume de l'espace entre les armatures d'un condensateur plan est le produit de la surface d'une armature et de la distance entre elles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Vol_c = A_c \cdot d_c\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Surface des armatures (\(A_c\)) : \(50 \, \text{cm}^2 = 50 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\)
  • Distance entre les armatures (\(d_c\)) : \(1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Vol_c &= (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^2) \times (1 \times 10^{-3} \, \text{m}) \\ &= 5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le volume du condensateur est \(Vol_c = 5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\).

Question 4 : Énergie totale (\(W_e\)) stockée dans le condensateur

Principe :

L'énergie totale stockée est le produit de la densité d'énergie volumique et du volume. On peut aussi utiliser \(W_e = \frac{1}{2} C V_c^2\), où \(C = \epsilon_0 A_c / d_c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_e = w_e \cdot Vol_c\] \[\text{Ou alternativement : } C = \frac{\epsilon_0 A_c}{d_c} \quad \text{et} \quad W_e = \frac{1}{2} C V_c^2\]
Données spécifiques :
  • Densité d'énergie électrique (\(w_e\)) : \(\approx 0.04427 \, \text{J/m}^3\)
  • Volume du condensateur (\(Vol_c\)) : \(5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_e &= (0.04427 \, \text{J/m}^3) \times (5 \times 10^{-6} \, \text{m}^3) \\ &= 0.22135 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &\approx 0.221 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} C &= \frac{(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^2)}{1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= 8.854 \times 10^{-12} \times 5 \, \text{F} \\ &= 44.27 \times 10^{-12} \, \text{F} \\ &= 44.27 \, \text{pF} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_e &= \frac{1}{2} C V_c^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (44.27 \times 10^{-12} \, \text{F}) \times (100 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 44.27 \times 10^{-12} \times 10000 \, \text{J} \\ &= 22.135 \times 10^{-12} \times 10000 \, \text{J} \\ &= 22.135 \times 10^{-8} \, \text{J} \\ &= 0.22135 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &\approx 0.221 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 4 : L'énergie totale stockée dans le condensateur est \(W_e \approx 0.221 \, \mu\text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 (Partie A) : Si la tension aux bornes d'un condensateur double, l'énergie stockée :

Partie B : Solénoïde Long

Question 5 : Champ magnétique (\(B_L\)) dans le solénoïde

Principe :

Pour un solénoïde long (longueur \(l_L\) grande devant son rayon \(r_L\)) comportant \(N_L\) spires et parcouru par un courant \(I_L\), le champ magnétique à l'intérieur est approximativement uniforme et axial, donné par \(B_L = \mu_0 n I_L\), où \(n = N_L/l_L\) est le nombre de spires par unité de longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n = \frac{N_L}{l_L}\] \[B_L = \mu_0 n I_L = \mu_0 \frac{N_L}{l_L} I_L\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
  • Nombre de spires (\(N_L\)) : \(500\)
  • Longueur du solénoïde (\(l_L\)) : \(10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
  • Courant (\(I_L\)) : \(2 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{500}{0.10 \, \text{m}} \\ &= 5000 \, \text{spires/m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} B_L &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \times (5000 \, \text{spires/m}) \times (2 \, \text{A}) \\ &\approx (1.2566 \times 10^{-6}) \times 5000 \times 2 \, \text{T} \\ &= 1.2566 \times 10^{-6} \times 10000 \, \text{T} \\ &= 1.2566 \times 10^{-2} \, \text{T} \\ &\approx 0.01257 \, \text{T} \quad (\text{ou } 12.57 \, \text{mT}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le module du champ magnétique dans le solénoïde est \(B_L \approx 0.01257 \, \text{T}\).

Question 6 : Densité d'énergie magnétique (\(w_m\))

Principe :

La densité d'énergie stockée dans un champ magnétique \(\vec{B}\) dans un milieu de perméabilité \(\mu\) est \(w_m = \frac{B^2}{2\mu}\). Pour le vide ou l'air, \(\mu \approx \mu_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_m = \frac{B_L^2}{2\mu_0}\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique (\(B_L\)) : \(\approx 0.012566 \, \text{T}\) (valeur plus précise)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \approx 1.2566 \times 10^{-6} \, \text{H/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_m &= \frac{(0.012566 \, \text{T})^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m})} \\ &\approx \frac{0.00015790}{2 \times 1.2566 \times 10^{-6}} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx \frac{0.00015790}{2.5132 \times 10^{-6}} \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 0.00006283 \times 10^6 \, \text{J/m}^3 \\ &\approx 62.83 \, \text{J/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La densité d'énergie magnétique est \(w_m \approx 62.83 \, \text{J/m}^3\).

Question 7 : Volume (\(Vol_L\)) du solénoïde

Principe :

Le volume intérieur d'un solénoïde cylindrique est le produit de l'aire de sa section transversale (\(S_L = \pi r_L^2\)) et de sa longueur (\(l_L\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_L = \pi r_L^2\] \[Vol_L = S_L \cdot l_L = \pi r_L^2 l_L\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Rayon des spires (\(r_L\)) : \(1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\)
  • Longueur du solénoïde (\(l_L\)) : \(10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_L &= \pi (0.01 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times 0.0001 \, \text{m}^2 \\ &\approx 3.14159 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Vol_L &= (3.14159 \times 10^{-4} \, \text{m}^2) \times (0.10 \, \text{m}) \\ &= 3.14159 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le volume intérieur du solénoïde est \(Vol_L \approx 3.142 \times 10^{-5} \, \text{m}^3\).

Question 8 : Énergie totale (\(W_m\)) stockée dans le solénoïde

Principe :

L'énergie totale stockée est le produit de la densité d'énergie volumique et du volume. On peut aussi utiliser \(W_m = \frac{1}{2} L I_L^2\), où \(L = \mu_0 N_L^2 A_L / l_L = \mu_0 n N_L A_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_m = w_m \cdot Vol_L\] \[\text{Ou alternativement : } L = \mu_0 \frac{N_L^2 S_L}{l_L} \quad \text{et} \quad W_m = \frac{1}{2} L I_L^2\]
Données spécifiques :
  • Densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) : \(\approx 62.83 \, \text{J/m}^3\)
  • Volume du solénoïde (\(Vol_L\)) : \(\approx 3.14159 \times 10^{-5} \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_m &= (62.83 \, \text{J/m}^3) \times (3.14159 \times 10^{-5} \, \text{m}^3) \\ &\approx 197.39 \times 10^{-5} \, \text{J} \\ &\approx 0.0019739 \, \text{J} \\ &\approx 1.974 \, \text{mJ} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} L &= (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \frac{(500)^2 \times (3.14159 \times 10^{-4} \, \text{m}^2)}{0.10 \, \text{m}} \\ &\approx (1.2566 \times 10^{-6}) \frac{250000 \times 3.14159 \times 10^{-4}}{0.10} \\ &\approx (1.2566 \times 10^{-6}) \frac{78.53975}{0.10} \\ &\approx 1.2566 \times 10^{-6} \times 785.3975 \, \text{H} \\ &\approx 0.00098696 \, \text{H} \\ &\approx 0.987 \, \text{mH} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_m &= \frac{1}{2} L I_L^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (0.00098696 \, \text{H}) \times (2 \, \text{A})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.00098696 \times 4 \, \text{J} \\ &= 2 \times 0.00098696 \, \text{J} \\ &= 0.00197392 \, \text{J} \\ &\approx 1.974 \, \text{mJ} \end{aligned} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 8 : L'énergie totale stockée dans le solénoïde est \(W_m \approx 1.974 \, \text{mJ}\).

Quiz Intermédiaire 2 (Partie B) : Si le courant dans un solénoïde double, l'énergie magnétique stockée :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La densité d'énergie électrique dans le vide est proportionnelle à :

2. La densité d'énergie magnétique dans le vide est proportionnelle à :

3. L'unité SI de la densité d'énergie (électrique ou magnétique) est :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force électrostatique agissant sur une charge électrique positive unitaire. Unité SI : Volt par mètre (V/m) ou Newton par Coulomb (N/C).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel décrivant les forces magnétiques. Unité SI : Tesla (T).
Densité d'Énergie Électrique (\(w_e\))
Énergie stockée par unité de volume dans un champ électrique. \(w_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2\).
Densité d'Énergie Magnétique (\(w_m\))
Énergie stockée par unité de volume dans un champ magnétique. \(w_m = \frac{B^2}{2\mu}\).
Permittivité (\(\epsilon\))
Mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
Perméabilité (\(\mu\))
Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu = \mu_r \mu_0\).
Condensateur
Composant qui stocke l'énergie dans un champ électrique créé entre deux conducteurs séparés par un diélectrique.
Solénoïde
Bobine de fil conducteur, souvent enroulée en hélice, qui produit un champ magnétique relativement uniforme en son intérieur lorsqu'elle est parcourue par un courant.
Énergie Électrique Stockée (\(W_e\))
Énergie totale stockée dans le champ électrique d'un dispositif, par exemple un condensateur (\(W_e = \frac{1}{2}CV^2\)).
Énergie Magnétique Stockée (\(W_m\))
Énergie totale stockée dans le champ magnétique d'un dispositif, par exemple une inductance (\(W_m = \frac{1}{2}LI^2\)).
Densité Énergétique en Électromagnétisme

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