Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de la densité de courant (J)

Calcul de la Densité de Courant (J)

Calcul de la Densité de Courant (J)

Comprendre la Densité de Courant

La densité de courant, notée \(\vec{J}\), est une grandeur vectorielle qui décrit le flux de charge électrique par unité de surface à un point donné dans un conducteur. Elle est fondamentale pour comprendre comment le courant se distribue dans les matériaux et est directement liée au champ électrique et à la conductivité du matériau par la loi d'Ohm locale (\(\vec{J} = \sigma \vec{E}\)). Si le courant est uniformément réparti sur une section droite \(S\) d'un conducteur et que le vecteur densité de courant est perpendiculaire à cette surface, la magnitude de la densité de courant \(J\) est simplement le courant total \(I\) divisé par la surface \(S\). Cet exercice se concentre sur le calcul de \(J\) dans des situations simples.

Données de l'étude

On considère un fil conducteur cylindrique en cuivre.

Caractéristiques du conducteur et du courant :

  • Courant total (\(I\)) traversant le fil : \(5 \, \text{A}\)
  • Diamètre du fil (\(D\)) : \(2 \, \text{mm}\)
  • On suppose que le courant est uniformément réparti sur toute la section du fil.
Schéma : Courant dans un Conducteur Cylindrique
Section S I J Flux de Courant

Courant \(I\) circulant à travers la section \(S\) d'un conducteur cylindrique, avec une densité de courant \(J\).

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon (\(r\)) du fil conducteur en mètres.
  2. Calculer l'aire de la section transversale (\(S\)) du fil en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).
  3. Calculer la magnitude de la densité de courant (\(J\)) dans le fil en Ampères par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
  4. Si le même courant de \(5 \, \text{A}\) circulait dans un fil de même matériau mais de diamètre deux fois plus petit (\(D' = 1 \, \text{mm}\)), quelle serait la nouvelle densité de courant (\(J'\)) ? Comparer \(J'\) à \(J\).
  5. Un courant de \(100 \, \text{mA}\) traverse une piste de circuit imprimé de largeur \(w = 0.5 \, \text{mm}\) et d'épaisseur \(t = 35 \, \mu\text{m}\). En supposant une distribution uniforme du courant, calculer la densité de courant dans la piste.

Correction : Calcul de la Densité de Courant (J)

Question 1 : Rayon (\(r\)) du fil conducteur

Principe :

Le rayon (\(r\)) est la moitié du diamètre (\(D\)). Les unités doivent être converties en mètres pour la cohérence dans les calculs SI.

Formule(s) utilisée(s) :
\[r = \frac{D}{2}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre du fil (\(D\)) : \(2 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D &= 2 \, \text{mm} \\ &= 2 \times 10^{-3} \, \text{m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} r &= \frac{2 \times 10^{-3} \, \text{m}}{2} \\ &= 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \\ &= 0.001 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rayon du fil conducteur est \(r = 0.001 \, \text{m}\) (ou \(1 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre d'un fil est de \(4 \, \text{mm}\), son rayon est de :

Question 2 : Aire de la section transversale (\(S\))

Principe :

L'aire de la section transversale d'un fil cylindrique de rayon \(r\) est donnée par la formule de l'aire d'un disque.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S = \pi r^2\]
Données spécifiques :
  • Rayon du fil (\(r\)) : \(1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= \pi \times (1 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \\ &\approx 3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la section transversale du fil est \(S \approx 3.142 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) (ou \(3.142 \, \text{mm}^2\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le rayon d'un fil double, l'aire de sa section transversale :

Question 3 : Magnitude de la densité de courant (\(J\))

Principe :

Si le courant \(I\) est uniformément réparti sur une section \(S\) et que le vecteur densité de courant \(\vec{J}\) est perpendiculaire à cette surface, la magnitude de la densité de courant \(J\) est le rapport du courant total \(I\) à l'aire de la section \(S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[J = \frac{I}{S}\]
Données spécifiques :
  • Courant total (\(I\)) : \(5 \, \text{A}\)
  • Aire de la section (\(S\)) : \(\approx 3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= \frac{5 \, \text{A}}{3.14159 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.59155 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La magnitude de la densité de courant est \(J \approx 1.59 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\) (ou \(1.59 \, \text{A/mm}^2\)).

Quiz Intermédiaire 3 : L'unité SI de la densité de courant est :

Question 4 : Nouvelle densité de courant (\(J'\)) si \(D' = 1 \, \text{mm}\)

Principe :

Si le diamètre est divisé par deux, le rayon est divisé par deux. L'aire de la section, proportionnelle au carré du rayon, sera divisée par quatre. Pour un même courant, la densité de courant sera donc multipliée par quatre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D' = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \Rightarrow r' = \frac{D'}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}\] \[S' = \pi (r')^2\] \[J' = \frac{I}{S'}\]
Données spécifiques :
  • Courant total (\(I\)) : \(5 \, \text{A}\)
  • Nouveau rayon (\(r'\)) : \(0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S' &= \pi \times (0.5 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times 0.25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.7854 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} J' &= \frac{5 \, \text{A}}{0.7854 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \\ &\approx 6.3662 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]

Comparaison : \(J' / J \approx (6.3662 \times 10^6) / (1.59155 \times 10^6) \approx 4\). La nouvelle densité de courant est quatre fois plus grande.

Résultat Question 4 : La nouvelle densité de courant est \(J' \approx 6.37 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\). Elle est quatre fois plus grande que \(J\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si la section d'un conducteur est réduite de moitié tout en maintenant le même courant total, la densité de courant :

Question 5 : Densité de courant dans une piste de circuit imprimé

Principe :

La section d'une piste de circuit imprimé est rectangulaire, donnée par le produit de sa largeur et de son épaisseur. La densité de courant est ensuite calculée comme le courant divisé par cette section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{piste} = w \cdot t\] \[J_{piste} = \frac{I_{piste}}{S_{piste}}\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Courant dans la piste (\(I_{piste}\)) : \(100 \, \text{mA} = 100 \times 10^{-3} \, \text{A} = 0.1 \, \text{A}\)
  • Largeur de la piste (\(w\)) : \(0.5 \, \text{mm} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la piste (\(t\)) : \(35 \, \mu\text{m} = 35 \times 10^{-6} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{piste} &= (0.5 \times 10^{-3} \, \text{m}) \times (35 \times 10^{-6} \, \text{m}) \\ &= 17.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} J_{piste} &= \frac{0.1 \, \text{A}}{17.5 \times 10^{-9} \, \text{m}^2} \\ &= \frac{0.1}{17.5} \times 10^9 \, \text{A/m}^2 \\ &\approx 0.005714 \times 10^9 \, \text{A/m}^2 \\ &\approx 5.714 \times 10^6 \, \text{A/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La densité de courant dans la piste est \(J_{piste} \approx 5.71 \times 10^6 \, \text{A/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 5 : Une densité de courant élevée dans un conducteur peut entraîner :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La densité de courant est une grandeur :

2. Si un courant \(I\) est uniformément réparti sur une section \(S\), la magnitude de la densité de courant \(J\) est :

3. La loi d'Ohm locale relie la densité de courant \(\vec{J}\) au champ électrique \(\vec{E}\) par :

Glossaire

Courant Électrique (\(I\))
Flux de charges électriques à travers une surface. Unité SI : Ampère (A).
Densité de Courant (\(\vec{J}\))
Vecteur dont la magnitude est le courant électrique par unité de surface de section transversale, et dont la direction est celle du mouvement des charges positives. Unité SI : Ampère par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
Section Transversale (\(S\))
Aire de la surface coupant un conducteur, perpendiculairement à la direction du flux de courant (dans le cas le plus simple).
Conductivité Électrique (\(\sigma\))
Mesure de la capacité d'un matériau à conduire le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité. Unité SI : Siemens par mètre (S/m).
Loi d'Ohm Locale
Relation vectorielle \(\vec{J} = \sigma \vec{E}\), qui relie la densité de courant \(\vec{J}\), la conductivité \(\sigma\) du matériau, et le champ électrique \(\vec{E}\) à un point donné.
Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un matériau conducteur possédant une résistance. La puissance dissipée est proportionnelle au carré de la densité de courant (ou du courant) et à la résistivité (ou résistance).
Calcul de la Densité de Courant (J)

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